М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfТ.А.СУХАЯ В.Ф. БУБНОВ
ЗАДАЧИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЧАСТЬ I
т. А . С У Х А Я
В . Ф . Б У Б Н О В
ЗАДАЧИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В двух частях
Ч а с ть 1
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для инженерно-технических специальностей втузов
Минск- «Вышгёшяя школа»
1993
ББК 22.11я73
С91 УДК 51 <075.8)
Р е ц е н з е н т ы : кафедра высшей математики Белорусского аграрно-технического университета; кафедра высшей математики Мин ского радиотехнического института
Сухая Т. А., Бубнов В. |
Ф. |
|
C9I |
Задачи по высшей |
математике: учеб. пособие. |
В |
2 ч. Ч. 1,— Мн.: Выш. шк., 1993.—416 с.: ил. |
|
|
ISBN 5-339-00683-2. |
|
Содержатся краткие теоретические сведения, примеры реше ния задач и задачи для самостоятельного решения по следую щим разделам: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, неопределенный интеграл, определенный интеграл.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов всех форм обучения, ИТР, а также для тех, кто самостоятельно изучает курс высшей математики.
1602010000— >01 |
ББК 22.11я73 |
----- 13-92 |
|
М304(03>—93 |
|
Учебное издание
Сухая Тамара Александровна, Бубнов Владимир Федорович
ЗАДАЧИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В двух частях
Ч а с т ь I
Заведующий редакцией Л. Д. Духвалов. Редактор М. С. Молчанова. Оформление и художественное редактирование А. Г. Звонарева. Техни-
. ческий редактор Г. М. Романчук. Корректоры И. И. Ганелес, В. В. Не верно, Д. А. Щлыкович
ИБ № 3251
Сдано в набор 30.09.91. Подписано г печать 1611 92. Ф ор м ат 84X 108/32, Бум ага тнгг, Л? 2. Гарнитура литературная. О фсетная печать. Уел. гтеч. л. 21,34. Уел. кр.’ Огт. 21 ,&4. У ч .-изд. л.
24,43. Тираж 5000 эха. Зак. 1699Цена 54 р.
И здательство «В ы ш эй ш ая школа* М инистерства информаций Республики Беларусь, 220048. М м т к , проспект М атерое а, II .
Минский ордена Трудового Красного Знамени п&лиграфкомбккат М П П О км. Я. Коласа. 220005. Минск, ул. Красная, 23.
ISBN |
5-339-00683-2 (ч. 1) |
© Т. А. Сухая, В. Ф. Бубнов, 1993 |
ISBN |
5-339-00682-4 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие составлено на основе опыта многолетнего преподавания
авторами курса высшей математики в Белорусской поли
технической академии. Оно написано в соответствии с программой курса высшей математики в объеме 350—400 часов для инженерно-технических специальностей вузов.
Для освоения курса высшей математики самостоятель ная работа студентов является определяющей. При состав лении настоящего пособия авторы стремились: во-первых, оказать помощь студентам в самостоятельном овладении
методами решения задач по курсу высшей математики,
во-вторых, дать достаточное число упражнений для выра ботки навыков решения типовых задач, в-третьих, при
вести задачи, способствующие разъяснению основных математических понятий и их взаимосвязи. Это и опреде лило структуру пособия. В начале каждого параграфа даются краткие теоретические сведения, необходимые
для решения задач, затем приводятся типовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения с ответами. (В данном пособии был использован ряд задач, взятых из известных сборников задач по выс
шей математике.)
У настоящего учебного пособия достаточно широ кий адрес. Оно может быть использовано студентами
инженерно-технических специальностей вузов всех форм
обучения при подготовке к практическим занятиям, вы полнении контрольных работ и индивидуальных заданий, а также преподавателями втузов при проведении практи
ческих занятий и организации самостоятельной работы
3
студентов. Кроме того, пособие может быть полезно инженерам, а также тем, кто самостоятельно изучает высшую математику.
Пособие состоит из двух частей. В первую часть вклю чены следующие разделы: элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, неопределенный интеграл, определенный интеграл.
Авторы выражают глубокую благодарность рецен
зентам — коллективу кафедры высшей математики Бе лорусского аграрно-технического университета (заведую
щий кафедрой — доктор физико-математических наук, профессор А. П. Рябушко) и коллективу кафедры высшей математики Минского радиотехнического института (за ведующий кафедрой — доктор фнзнко-математических
наук, профессор Л. А. Черкас) — за |
ценные замечания |
и советы, способствовавшие улучшению книги. |
|
Все отзывы н пожелания просьба присылать по адресу: |
|
220048, Минск, проспект Машерова, |
11, издательство |
«Вышэйшая школа». |
|
Авторы
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексная плоскость. Алгебраическая форм* комплексного числа. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициен тами. Простейшим из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, является
х2+ 1 = О,
Необходимо расширить множество действительных чисел до такого множества, в котором уравнение I = 0 уже имеет корень. В каче стве «материала», из которого будет строиться это множество комплекс ных чисел, возьмем точки плоскости.
Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат. Условимся обозначать точки плоскости строчными буквами греческого алфавита а, р. у, ... и записывать точку а с абсциссой а н ординатой Ь так: (а, ft), т. е. а = (а, ft).
Суммой точек а = (а, ft) и р = (с, d) будем называть точку ot -f- р = (й с, Ь -1- d).
Произведением точек а = (а, ft) и 0 = (с, d) называется точка
ар = (а, Ь) (с, d) = (ас — bd, ad + be).
Эти две операции обладают всеми основными свойствами, прису щими операциям в множестве действительных чисел: они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и для них существуют обратные опера ции: вычитание и деление (кроме деления на нуль).
Разностью а — fl точек а = (а, 6) и р = (с, d) называется точка (дс, у), такая, что (с, d) -\-(.с, у) = (а, 6), (с + х, d + y) = (a, ft). Отсюда с + х = a, d + у = Ь. Тогда х — а — с, y — b — d. Итак,
а — Р = (а, Ь) — (с, d) — (a — c, b — d).
Точка 0(0, |
0) является нулевой. Точкой, противоположной а = |
||
= (о, Ь). будет точка —<*={—а, |
—Ь). |
|
|
Частным ~ |
точек а = (a, ft) u Р = (с, d) называется точка |
||
Р |
(с, d) |
v |
|
(*. у), такая, что выполняется равенство |
— (х, у). Отсюда (а, Ь) = |
||
= (с, d) (х, у) или (а, 6) = (сл — dy, dx + су), т. е.
сх — dy = а, 1 dx + cy = b.f
5
Решая полученную систему, находим:
ас -+-bd |
be — ad |
с2+ d2 ' ^ |
с2+ d2 |
Таким образом, |
|
ас + bd |
be — ad \ |
р V с2-f- d2 |
-) |
с* + d2) |
|
Положив р = а, получим |
|
т. е. единицей при умножении служит точка (1, 0). При а = 1 имеем
т. е. точку, обратную точке (S = (с, d).
Таким образом, построено множество чисел, изображаемых тачка ми плоскости, и определены операции над этими числами. Это множе ство называется множеством комплексных чисел и обозначается С.
Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс, т. е. точки вида (о, ОХ Ставя в соответствие точке (а, 0) действительное число а, получаем взаимно однозначное соответствие между указанным множеством точек и множеством всех действительных чисел. Применяя к точкам (а, 0) формулы сложения и умножения, имеем:
(а, О) + (Ь, 0) = (а + Ь, 0),
(а , 0 ) ( 6 , 0 ) = (aft — 0 , о •0 + 0 - 6 ) = (ab, 0 ).
Таким образом, точки (а, 0) складываются и перемножаются друг с другом как действительные числа.
Покажем, что среди комплексных чисел содержится корень урав нения ^ + 1 = 0, т. е. такое число, квадрат которого равен действи тельному числу — I. Это точка (0, 1), лежащая на оси ординат. Дейст вительно,
(0, 1)(0, 1>= (0 -0 — 1 ■I, 0 - 1 + I -0) = (— 1, 0)= - 1.
Условимся обозначать эту точку буквой i = (0, I), так что i2= — 1.
Используют также запись |
= i. |
Тогда: |
|
(fr = (0, |
1)(Ь, 0) = (0 - Ь - |
I -О, 0 -0 -1- I -6) = (0, Н |
|
|
о = (а, |
Ь) = (а, 0) + (0, 6) = <1 4-ib. |
|
Комплексное число i называют мнимой единицей, число а — дейст |
|||
вительной частью |
числа |
а (обозначают а — Re а), а число ib — его |
|
мнимой частью (обозначают ib = !m а). Выражение a + ib называется
алгебраической формой комплексного числа а. .
Плоскость, все точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоско сти называется действительной осью, так как ее точки изображают -действительные числа, а ось ординат — мнимой осью.
6
Число а — IЬ называется сопряженным к числу а = а -|- ib и обозна
чается а.
Приведем операции над комплексными числами в алгебраической
форме: |
|
|
|
|
1) |
(о + ib) + (с + id) — (а + с) + 1(6 4- dy, |
|
||
2) |
(a + ib) — (c + id) = (o - c )+ i(* - d ); |
|
||
3) |
(а + ib) (с + id) = (ас — bd) + i(bc + ad); |
|
||
’ * |
а -j- ib |
(a + ib) (c — id) |
ac + bd + i(bc — ad) _ ac + bd |
|
1 ~ |
T" I •J4 / . ТТГ |
.2 I J 2 |
.2 . 7? I |
|
|
c + id |
(c + irf) (c — id) |
cl + <r |
|
be — ad |
|
|
|
|
+ i e5-(- rf2 |
|
|
|
|
Тригонометрическая форма комплексного числа. Число r=~<Jx' + у2 |
||||
называется модулем комплексного |
числа z~x-\-iy |
и обозначается |
||
|2 ). Модуль числа г равен расстоянию от точки Л), изображающей это число, до начала координат (рис. 1.1).
|
Всякое решение ф системы уравнений |
|
|
||||||||
|
|
|
|
■Ч>= x/^Jx2+ у\ ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin 4) = у/л/х2+ г~ ч |
|
|
числа |
|
||||
называется |
аргументом комплексного |
|
|||||||||
г = .* + iy. Все аргументы числа г различают |
|
||||||||||
ся |
на |
целые, кратные 2л, н |
обозначаются |
|
|||||||
единым символом Argz. Каждое значение |
|
||||||||||
аргумента совпадает с величиной <р некото |
|
||||||||||
рого угла, на который следует повернуть ось |
|
||||||||||
Ох до совпадения ее с радиусом-вектором |
|
||||||||||
ОМ точки |
М (при этом <р> 0, если поворот |
|
|||||||||
совершается |
против |
хода часовой стрелки, |
|
||||||||
и if < 0 в противном случае). |
|
|
|
|
|
||||||
|
Значение Arg 2, удовлетворяющее условию 0 < Arg 2 < 2л, назы |
||||||||||
вается главным значением аргумента и |
обозначается arg 2. В некото |
||||||||||
рых случаях главным значением аргумента |
называют значение Arg 2, |
||||||||||
удовлетворяющее условию —л < Arg г < л. |
|
|
|||||||||
|
Для |
всякого |
комплексного |
числа |
справедливо равенство |
||||||
|
|
|
|
2 = |
|z| (cos ф + i |
sin <р)= r(cos <f>+ / sin >f), |
|
||||
где |z| = г; ц>= arg г |
Такая форма записи называется тригонометри |
||||||||||
ческой формой комплексного числа г. |
|
|
|
||||||||
|
Операции над комплексными числами в тригонометрической форме |
||||||||||
имеют следующий вид: |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 ) |
2 |22 = Г I (cos <р| + / Sin q>t)/"2(C0S <р2 + i |
sin ЧР2)= |
(соз(ф| + ф 2) + |
|||||||
+ |
<?in(qn |
+ |
фтг)); |
|
|
|
г, , |
, |
|
|
|
|
.. |
21 |
|
ГI(COS ф, + ( sin ф|) |
, , - |
■ / |
|||||
|
2) |
— |
= — у------ р : :-- |
= — |
(cos(<pi — <рг)+ 1 |
sm(<j>, — <рг)); |
|||||
|
3) |
гг |
то (cos <j>2+ 1 Sin q>2) |
r2 |
i sin л<р) |
|
|||||
|
г" = (r(cos <j> |
i sin <p))” = г*(cos пц< |
|
||||||||
Корнем п-й степени из комплексного числа г называется такое комплексное число г», п-я степень которого равна подкоренному числу. Справедлива формула
пГ *Г ,---------------------------------------- г г |
1--- |
;"Г / ф+2л |
|
2*=-уг = д/г(со$ ф + <sin у) = л]г1 cos—— ---- |
1-‘ sin —— --- |
, ( 1.1) |
|
где У г — арифметический корень степени п\ к = 0, п — I. Геометри чески эти п значений корня г» представляют собой вершины правиль
ного «-угольника, вписанного в окружность радиусом \/7 с центром в точке 0(0, 0). Вершины я-угапьннка имеют полярные координаты
( у ? + ы « у * _ г ^ п .
П римеры |
|
|
1. |
Выполнить следующие действия: |
|
а) |
(1 + 20(4-3/); |
б) (1 |
в) |
± ± . |
|
|
3 + 2( |
(1 + 2t)(4 — 3() = 4 + Ы — 3/ — 6< — |
Реш ение, а) |
||
= |/2= — 11* = 10 + 5t.
б) Применим формулы сокращенного умножения;
(I - О3~ (1 + if = ((I - 0 — {1 + »))«! - < ?+ ,
+ (1 - 0 ( 1 + 0 + 0 + 02) = ( - 2 0 ( 1 - 2 <+ <2 + 1 - 1 +
+ 1+ 2/ + /2) = (- 2 0 (3 + £2) = |(2 = - 11 = - 4 t.
в) |
Умножив числитель и знаменатель дроби на выра |
||||
жение, сопряженное знаменателю, получим л |
|||||
|
6 - « _ |
(6 - 0(3 - 21) |
_ 18 — 3/— 12. + 2f2_ = |
||
|
3 + 2» |
(3 + 2t)(3-20 |
|
9 — 4(2 |
|
|
|
__ 1615( _ |
16 _ 15 |
• |
|
|
|
13 |
13 |
13 |
* |
2. Найти корни квадратного уравнения: |
|||||
а) |
х* + 4х+ 13 = 0; б) |
4*2- 2 х + 1 = 0 . |
|||
Реш ение, а) По формуле корней квадратной |
|||||
нення имеем: |
|
|
|
|
|
|
jc, г = —2 ± -\/4—-13 = —2 ± 3i, |
||||
|
Х\ = — 2 +- 3/, X i — |
— 2 — 3i. |
|||
б) |
Имеем: |
|
|
|
|
|
_ |
2 ±-\/4- 16 |
|
2 ± V - |
12 |
|
|
2 ± 2л/з« _ |
I |
л/з . |
|
8Т
*Здесь и далее при записи решений примеров все промежуткам выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.
8
3. Найти действительные корни уравнения (1 + 0 * + (—2 + 5 % = —4 + 17г.
Реш ение. Выделим влевой части уравнения действи тельную и мнимую части:
(jt - 2 if ) + i(* + 5 y ) - - 4 + 1 7 * \
Приравняв действительные н мнимые части, получим:
х — 2у= —4л х+ Ьу= \7, )
откуда Ту = 21, у = 3, х = 17 — by = 2.
4. Представить в тригонометрической форме числа,
изображенные на рис. 1.2: a) zt = 1+/; б) г2= —-\fZ —i; в) Zs = 2i; г) 74= —5.
Реш ение, а) |
Имеем: \гЛ = -\j12-4- 12= |
cos (pi = |
= l/-^2, sin <pi = |
1/^2, ф|=л/4, argZi=n/4. Тогда |
|
1+ |
г =-y^cos + <sin -^. |
|
б) Число |г2| = д/( —д/з)2+ (— I)2=^[а ~2 , cos(рз =
= —V^/2» sin фг = — 1/2; следовательно, точка Zi на ходится в третьем квадранте. Тогда arg гг = 7л/6 или
argz2= —5л/6, а