М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Задачи для самостоятельного решения

1.108. Даны векторы О А = л и ОВ =Ь. Вектор ОС =

= с — медиана треугольника ОАВ. Разложить аналити­

чески и геометрически вектор с по векторам а и Ь, а век­ тор а — по векторам b и с. (Ответ: с = (а + Ь)/2, а = = 2с - Ь .)

1.109. На сторонах ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы i и j. Точка М — середина стороны ВС, N — середина стороны АС. Выразить через

i и j векторы ОАу АС, ВО, ОС, ОМ, ON, МN , если

1041 =3, \ОВ\ =4. (Ответ: ОА = 31, ЛС = 4jt В О = - 4j,

О С= 3i + 4j, ОМ = (3/2)i + 4j, 0/V = 3i + 2j, MN =

= (3/2)i-2j.)

1.110. Даны радиусы-векторы n, га, r3трех последова­

тельных вершин А, В, С параллелограмма ABCD. Найти радиус-вектор четвертой вершины D. (Ответ: Г| + Гз —

— г*.)

1.111. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА =

= 60°, ОВ — ВС = СА = 2, точки М и N — середины сторон ВС и АС. Выразить векторы АС, ОМ, ON и MN

через единичные векторы ш и п направлений ОА и ОВ.

(Ответ: АС = 2(п — т), ОМ = 2л + т , ON = З т + п,

MN = 2т — п.)

1.112. Даны три последовательные вершины паралле­ лограмма: Л(1, —2, 3), В(3, 2, 1), С(6, 4, 4). Найти его

60

четвертую вершину D и угол между векторами АС и

BD. {Ответ: D (~ 1, 1, 1), <р=120°.)

1.117. Найти угол между векторами а = 2т 4 4п и b =

— т — п, если т , п — единичные векторы, (m /n)= 120°.

(Ответ: 120°.)

1.118. Найти угол между векторами а и Ь, если вектор а 4- 2Ь перпендикулярен к вектору 5а — 4Ь и |а| = Jbf = I.

(Ответ: 60°.)

1.119. Даны векторы a — i4j-j-2k и b = i — j 4 4k. Найти npi>a, праЬ и cos (а, Ь). (Ответ: прьа = 4д/2/3,

пр.Ь = 4-\/б/3, cos (af'i») =4/(3-\/3).)

1.120. На плоскости даны два вектора р = (2, —3), q = = (1, 2). Найти разложение вектора а = (9, 4) по базису р, q. (Ответ: а = 2р 4 5q.)

1.121. Даны векторы ai =(3, 1, 2), аг=(2, 1, 2), а3= = ( — I, 2, 5), d=(5, 0, — 1) в некотором базисе. Показать, что векторы at, аг, аз образуют базис, и вычислить коорди­

по базису а, Ь. (Ответ: р = 2а — ЗЬ.)

1.123. Даны векторы: а>=(3, —2, I), ая = (— 1, I, —2), аз = (2, 1, —3). Найти разложение вектора а = (П , —6, 5)

по базису ai, а2, а3. (Ответ: а = 2aj — Заг 4 а3.)

1.124. Векторы а и b образуют угол <р= 120°. Зная, что j а | = 3, 1Ы = 4, вычислить: 1) (а, Ь); 2 ) |а|г; 3) |а4 Ы 2;

1.125. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, вектор

с образует с ними углы, равные л/3. Зная, что |а| = 3,

ABC: ОЛ = i -f 2j 4 3k, OB = 3i + 2j 4 k, ОС = i + 4j -f k. Показать, что треугольник ABC — равносторонний.

1.127. Найти вектор х, коллинеарный вектору a = i —

— 2j — 2k, образующий с ортом j острый угол и имеющий

длину |х| = 15. (Ответ: х = —5i 4- 10j 4 10k.)

1.128. Радиус-вектор точки М составляет с осью

Оу угол 60°, а с осью Ог — угол 45°, |O M j= 8. Найти

61

координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.

(Ответ: М( —4, 4, 4-^2).)

1.129. Даны вершины треугольника ABC: А (I, 2, I).

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ж, Ь, с называ­ ется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а к b и от b к с кажутся происходящими против хода часовой стрелки. В против­ ном случае данная тройка называется левой.

Векторным произведением векторов а и Ь называется вектор, обо­

+ (b*a, — aj>t) j + (a,b,, — b,a*) k.

Смешанным произведением векторов a, b, с называется число, обозначаемое (а, Ь, с) и определяемое как скалярное произведение вектора [а, Ь,| и вектора с:

(a, b, с) = ([а, bj, с).

62

Приведем геометрические свойства смешанного произведения век­ торов:

1) если V — объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, то

2)для того чтобы векторы а, Ь, с были компланарны, необходимо

идостаточно выполнение условия (а, Ь, с) = 0.

Перечислим алгебраические свойства смешанного произведения век­ торов:

Если а = (а„ а„, аг), Ь = (6*, Ь „ 6г). с = (с„ ся, £Г). то

Примеры

1. Доказать, что |[а + Ь, а — Ь]| = 2|[Ь, а]|. Выяснить геометрический смысл этого равенства.

Реш ение. Воспользуемся свойствами векторного про­ изведения:

[а+ Ь, а — Ь]=[а+ Ь, а!— [а+ Ь, Ь]=

= [а, aj + [b, a] — [a, b] — [b, bj.

Так как [а, а]= |а|2sin 0° =0, [b, Ь] = 0, [а, Ь] =

=— [Ь, а], имеем

[а + b, а — Ь] = 2[Ь, а), |[а + Ь, а — Ь]1 — 2 ЦЬ, а]|.

Поскольку |[Ь, а]| равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 1.13), приведенных

к общему началу, а ([а + Ь, а — Ь]| — площади парал­ лелограмма, построенного на векторах а -f-b, а — Ь, то

из доказанного равенства следует, что площадь второго параллелограмма в два раза больше площади первого.

5длвс= -j \[АВ, АС\\.

63

так как S лЛВС= \BD\ \АС\/2, то \BD\ = 2S/\AC\ =

=25/5 = 5.

3.Найти вектор х, если известно, что он перпендику­ лярен к векторам ai = (2, —3, 1), а2 = ( 1, —2, 3) и удов­

летворяет условию (х, i + 2j — 7k) — 10.

Реш ение. Так как вектор х перпендикулярен к плос*

64

кости векторов ai и аг, а вектор [аь аг] также перпендику­

лярен к плоскости этих векторов по определению, то отсюда следует, что x||[ai, а2|. Имеем

JD : АВ = (3, 3, 3), АС = (2, 4, 4), л 5 = (1, 3, 6). Объем тетраэдра, построенного на векторах АВ, АС,

AD, составляет 1/6 часть объема параллелепипеда, по­ строенного на тех же векторах:

6, Найти длину высоты пирамиды, опушенной на грань

BCD, если известно, что ее вершинами являются точки /4(0, 0. 1), В(2, 3, 5), С<6, 2, 3), Z>(3. 7, 2) (рис. 1.16) .

Задачи для самостоятельного решения

Л

1.132. Дано: |а| = |Ы = 5, (а, Ь) = л/4. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а — 2Ь

и За + 2Ь. ( О т в е т : 50-^2.)

1.133. Векторы а и b образуют угол <р= 60°. Зная, что

|а| = 3, |Ь| ~ 5, вычислить |[а, Ь]|, |[а + Ь, а — Ь]|, |[3а +

+ Ь, а — ЗЬ]|. ( О т в е т : 15^/2, 15^3, 75- $ . )

1.134. Даны точки А(2, - 1 , 2), В<1, 2, -1). С(3, 2, 1).

66

рами а = (2, —2,1), b = (2, 3,6). (Ответ: sin ф=5-^17/21.) 1.136. Вектор Ь, перпендикулярный к оси Oz и к вектору а = (8, — 15, 3), образует острый угол с осью Ох. Зная,

что | b| — 51, найти его координаты. (Ответ: b = (45,24, 0).) 1.137. Сила F = (3, 4, —2) приложена к точке С(2, — I,

— 2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат. (Ответ: 15, cos а — 2/3, c o sP = —2/15, cos у = 11/15.)

1.138. Найти вектор с =■[а, Ь], построить его и вычис­

лить площадь параллелограмма, построенного на векторах

1.139. Вычислить площадь треугольника с вершинами /4(7, 3, 4), В {I, 0, 6), С(4, 5, 2). (Ответ: 24,5.)

1.140. Вычислить площадь параллелограмма, построен­ ного на векторах а = р + 2q н b = 2р + q, где р, q — еди­ ничные векторы, образующие угол, равный 30°. (От­ вет: 1,5.)

1.141. Дан^ вершины тетраэдра /4(>Ач, /43, Л4. Вычис­

лить cos (;4|<4г, /4Из), площадь треугольника А 1А2А3, объ­

объем. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов а, Ь, с. (Ответ: У =51; левая.)

67

1.146. Дан тетраэдр с вершинами в точках А х{2, 0, 0), Л2(0, 3, 0), Лз(0, 0, 6), Л*{2, 3, 8). Вычислить его объем и

высоту, опущенную на грань Л1Л2Л3. (Ответ: V = 14,

Н = ^[\Т.)

1.147. Дан тетраэдр с вершинами в точках 0(0, 0, 0), А (5, 2, 0), В (2, 5, 0), С(1, 2. 4). Найти площадь грани

ABC, объем тетраэдра и его высоту, опущенную из точки

О на грань ABC. ( Ответ: S = бд/з, V — 14, И = 7д/з/Э.) 1.148. Вычислить длины диагоналей н площадь парал­ лелограмма, построенного на векторах а = —j -J- к и

b = i + j + k. (Ответ: |а + Ь| = |а — Ы =-\/б, S = д/б.)

1.149. Вычислить площадь параллелограмма, диагона­ лями которого служат векторы 2 т — п, 4т — 5п, где т

и п — единичные векторы; (т, п) — я/4. ^Ответ: у У 2 )

1.150. Векторы а и b образуют угол 30°, |а| = 6, |Ь| = 3. Вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь. Зная, что |с | — = 3, вычислить (а, Ь, с). (Ответ: ±27.)

1.151. Проверить,компланарны ли векторы а, Ь, с, если:

I.В L введена операция сложения элементов, т. е. для любых х,

у£ L определено отображение

О , У) ^ г = х + L,

обладающее свойствами (иногда их называют аксиомами):

1)х + у = у + х\

2){х + у) + г = х + (у + г);

3)в множестве L существует нулевой элемент (будем обозначать

его через 0), такой, что дг + 0 = х для любого х £ L,

+(—х) —0.

II.В множестве L введена операция умножения элементов на

(X, *)-»-</££ обладает свойствами:

68

5) I •х = х\

6) *()»*)=(ад*.

Операции сложения элементов н умножения их на числа удовлетво­ ряют законам дистрибутивности:

7 } l ( x + !f) = l x + X!r.

8) (X + ц)х = Ях+ рх.

Элементы х, у, г, ... линейного пространства называются векто­ рами и обозначаются х, у, г, ... Пространство L называется действи­ тельным, если в нем операция умножения вектора ка число определена только для действительных чисел, н комплексным, если эта операция определена только для комплексных чисел.

в противном случае система векторов Х|, х-...... х, называется линейно независимой.

Пусть в линейном пространстве L выполняются следующие условия:

а) существует п линейно независимых векторов;

б) любая система п + I векторов линейно зависима.

Тогда число п называют размерностью пространства и обозначают dim L.

Линейное пространство L размерности п будем называть

п-мерным.

Базисом п-мерного пространства называется любая упорядоченная система п линейно независимых векторов.

Если «|, ег, .... е„ — базис линейного пространства L, то для любого х L существует единственная система чисел oci, аг, ..., а„, та­ ких, что

Выражение (1.7) называется разложением вектора х по базису ей t2, ..., е„, а числа а, — координатами вектора х в базисе «■, ег, .... е„.

Примеры

1. Является ли множество Z всех целых чисел линей­ ным пространством?

Реш ение. Для любых х, у£ Z Jс + у € Z; однако для любых х £ Z и любого X £ R Хх не всегда принадлежит

множеству целых чисел. Например, для * = 3 и X =1/5

Хх = (1/5) •3 = 3/5 — не целое число. Поэтому множество Z не является линейным пространством.

2. Образуют ли линейное пространство векторы плос­ кости, каждый из которых лежит на одной из осей коорди­

нат: Ох или Оу?

Реш ение. Если вектор а принадлежит оси Ох, а век­

тор Ь — оси Оу, то а + Ь не принадлежит ни Ох, ни Оу (рис. 1.17). Следовательно, множество данных векторов

69