М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Щ4л/3; 5л/3] получаем такие же лепестки, симметричные

относительно лучей ф = 5л/6 и ф = Зл/2 соответственно. Таким образом, графиком функции является кривая, на­ зываемая трехлепестковой розой (см. рис. 1.81). Все «ле­ пестки розы» располагаются внутри окружности ра­ диусом а.

З а м е ч а н и я . 1. Графиком функции г = а cos 3<р также является трехлепесткован роза, которая получается из розы г = a sin 3<р поворотом

еена угол л/6 по ходу часовой стрелки.

2.Кривые, определяемые уравнениями г = a sin кц>или г = a cos (а > 0, k > 0), называются розами. Так как г <; а, то все розы распо­

лагаются внутри круга с центром в полюсе и радиусом а. Если k = = 2п — i , п £ N, то роза состоит из к лепестков, а если к = 2л, п С N, — из 2k лепестков. При этом все лепестки симметричны относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен а.

5. Составить таблицу значений функции г2 = = 2а2 c o s 2ф (а > 0) и построить ее график.

Решение. Положим а = 1. Так как левая часть урав­ нения неотрицательна, то угол (р может изменяться только в тех пределах, при которых cos 2ф^ 0, т. е. для ф6[ —л/4; л/4]11[Зл/4; 5л/4] (для ф£(л/4; Зл/4)11{5л/4; 2л) графи­

ка не существует). Имеем г ~ a-yj2cos 2ф. Составим табли­

цу значений функции для ф £[0; л/4] (табл. 1.4). Построим

ее график для этих значений ф (рис. 1.82). Затем, восполь* зовавшись периодичностью и четностью функции cos 2ф, построим график функции для ф £ [~ л/4; 0](_|[Зл/4; 5л/4]. В результате получим кривую, которая называется лемни­ скатой Бернулли (см. рис. 1.82). Найдем ее уравнение в декартовой прямоугольной системе координат. Имеем

180

г2= 2а2cos 2ф= 2a2(cos2ф — sin2ф). Применив формулы:

Г = д/г-’ + i f , cos ф = х/г = Л '/ д / .Г 4- У 2,

sin ф = у/т = у/л/х2 + у 2,

получим

^ + г

Тогда искомое уравнение имеет вид (*2+ у2)2= 2а2(*2- у 2).

Ри с. 1.82

6.Записать уравнение заданной кривой в декартовых

прямоугольных координатах и построить эту кривую:

= 9 + 4г cos ф. Подставив в последнее уравнение г =

= -\jx2+ у2, х = г cos ф, имеем 5-\/х2 У1= 9 4- 4лг, откуда 25(де2 + у2) = 81 + 72*4- 16*2

или

9л2 — 72л: + 25у2 = 81.

181

Выделив полный квадрат при переменной х, приведем

последнее уравнение к каноническому виду:

9{{х — 4)2— 16) + 25у2 = 81, 9(дс— 4)2 + 25у2= 225,

(х-4?/25 + у2/9= \.

Это уравнение эллипса с центром в точке 0 '(4, 0) и полу­

-\jx2+ у2= 3 + х или х2-j- у2= 9 + бх + д:2,

откуда у2= 6(х + *.5). Это уравнение параболы с верши­ ной в точке 0 '( — 1,5; 0) (рис. 1.84).

7.Записать уравнение линии в декартовых прямо­

угольных координатах и построить ее график: а) г = а;

б) rcostp = 2.

182

ее уравнение в декартовых прямоугольных координатах. Решение. Так как х2 = сг cos2 у2 «= a2sin21, то х2-(- + у2= а2. Это уравнение окружности с центром в точке

0(0, 0) и радиусом а.

З а м е ч а н и е . Легко показать, что уравнения х = a cos (, у = = Ь sin I определяют эллипс х2/а2+ У2/Ь2= 1•

9, Функция задана параметрическими уравнениями х = a cos3 t, у = а sin31. Построить график данной функ­ ции н записать ее уравнение в декартовых прямоугольных

координатах.

Решение. Положим а= I и составим таблицу зна­

Соединив найденные точки плавной линией, получим график для /£[0; л/2] (рис. 1.86). В случае /£(л/2; 2л] используем симметричность графика относительно осей координат. Полученная кривая называется астроидой

(см. рис. 1.86) и является траекторией точки, лежащей

Рис. 1.86

183

на окружности радиусом а/4, которая катится по внутрен­ ней стороне неподвижной окружности радиусом а. Ха­ рактеристическое свойство астроиды состоит в следующем: всякая точка М этой кривой есть основание перпендику­ ляра РМ к отрезку АВ постоянной длины а, движущемуся

так, что концы его все время находятся на координатных

осях.

Найдем уравнение астроиды в декартовых прямоуголь­ ных координатах. Так как х2/3 = а2/3cos2/, у2/3 = a2/*sin2/,

то имеем х2/3 + у2/3 — а2/3.

10. Построить график функции, заданной параметри ческими уравнениями х — a{t — sin /), у = a(l — cos t).

Решение. Положим a= 1 и составим таблицу зна­ чений х и у для <рб[0; 2л] (табл. 1.6).

Соединим найденные точки плавной линией. Получен­ ная кривая называется циклоидой (рис. 1.87). Приведем

характеристическое свойство циклоиды: эта кривая совпа­ дает с траекторией точки М окружности радиусом а, которая катится без скольжения по оси Ох (в начальный

момент точка М находится в начале координат). При /£(— оо; -j- оо) получаем бесконечное множество дуг,

называемых арками (см. рис. 1.87); каждая дуга соответ­ ствует полному обороту катящейся окружности.

Задачи для самостоятельного решения

1.358. Построить кривую, заданную указанным урав­

нением:

184

Таблица 1.6

В задачах 1.359— 1.372 линия задана уравнением

г = г(ф) в полярной системе координат. Требуется: 1) по­

строить эту линию по точкам от ср = 0 до ф = 2л, придавая ф значения с шагом л/8; 2 ) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить тип этой линии; 4) записать урав­ нение линии в прямоугольных координатах.

рабола.)

186

=1 — ЭЛЛИПС.^

1.370. г = 3/(1 -2cos<p). (Ответ: (х + 2)2/ 1 - у 2/3 =

= 1 — гипербола.)

=1 — Э ЛЛИ П С .^

1.372. г = 21/(5 — 2 cos <р). (Ответ: (x — 2f/b2 -f

4-y2/(V 2Г)2 = I — эллипс.)

В задачах 1.373— 1.379 записать уравнение кривой

1.378. дг2 + у2 = 6у. (Ответ: r = &sin<p.) 1.379. у = х. (Ответ: <р= л/4.)

1.380. Построить линию, заданную уравнением в по­

лярных координатах, записать ее уравнение в декарто­ вых прямоугольных координатах, если:

В задачах 1.381— 1.390, исключив параметр t из дан­ ных параметрических уравнений линии, записать ее урав­ нение в виде у = }(х) или F(x, у) = 0. Построить данную линию.

1.381. x = 2-j-5cos/, у = —3 + 5sin/. (Ответ: (х —

— 2)2 + (у + З)2= 52— окружность.)

1.382. л = 2е‘, д = е~‘. (Ответ: у = 2/х— гипербола.) 1.383. х = 3/, y = 6t — t2. (Ответ: у — 2х — х2/9 —

парабола.)

1.384. x = t2— 2/ + 1, y = t — 1. (Ответ: х = у2—

парабола.)

1.385. x = sin/, у — cos 2/. (Ответ: у = 1— 2лс2— па­ рабола.)

187

2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.1. ФУНКЦИЯ И ЧИСЛОВАЯ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть даны два непусты* множества X н У. Если каждому элементу X по определенному правилу f поставлен в соответствие один и только один элемент у£ У, то говорят, что на множестве X задана функция у = f(x). Символически функцию можно записать в виде /: Л' -«- V. Если X, Y 6 R, то функцию называют числовой. Множество X называют

областью определения функции f и обозначают D(f\ а множество У — множеством значений функции f н обозначают £(}).

Аналитический способ задания функции является наиболее распро­ страненным. При этом область определения функции обычно не указы­ вают, понимая под нею то множество значений аргумента #, для которого данная функция имеет смысл (естественная область определения функции).

композицией функций у и F.

Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции называются основными элемен­ тарными функциями. Все функции, которые можно задать одним анали­ тическим выражением, составленным из основных элементарных функ­ ций с помощью конечного числа арифметических операций и компози­ ций, образуют к4 асс элементарных функций.

Функция, областью определения которой является множество N натуральных чисел, называется функцией натурального аргумента или

189