Если существует предел |
|
|
|
|im г« + Ы ) - г « ) |
=[im |
А г ^ |
дг-»о |
At |
41—п |
At |
то он называется производной вектор-функции г = г(/) по скалярному
аргументу t и обозначается г'(0 или J J . Производная J J есть вектор,
направленный по касательной к годографу вектора г в сторону возра-
стания параметра |
, |
с |
. |
dr |
I. |
Если |
/ — время, то — — вектор скорости конца |
вектора г, а d~r |
— вектор ускорения. |
|
Перечислим основные правила дифференцирования вектор-функции |
скалярного аргумента: |
|
|
n |
|
|
|
dri |
-i- |
• |
1) ^■(f' + r2)- - 5 r± -dT’ |
2) |
— = 0, где с — постоянный вектор; |
3) |
d{\г) |
dr |
|
dk |
|
|
= Я,— |
|
+ г — , где Я, = я,(0 — скалярная функция от t\ |
|
d |
. |
/dti |
\ . / |
dr? |
4 )^ (Г1, Г>)=( - |
r, ) + (fl. ^ ) ; |
5' i ......
Уравнения |
касательной к |
пространственной кривой г(<) = x(t)i + |
+ y(0j + z(f)k |
в точке Л(п(Л{|, |
уе, 2в) записываются в виде |
|
X — X» |
У — У о |
Z — Zo |
|
*'(*о) |
у’(to) |
z'{tо) ’ |
где хо — x(t0); у0 — у(/<,); го = z{U).
Нормальной плоскостью называется плоскость, проходящая через точку касания и перпендикулярная к касательной. Уравнение нормаль ной плоскости имеет вид
(х — + (У — yo)y'(to) + (z — zo)z'(to) — 0.
Производная от функции г'(/) в точке t называется второй произ водной вектор-функции г(/):
-ЁЛ |
= _1/_Ё1\ = d'x II |
dly I I d~zIt |
di% |
di{di) df + |
dt2 i+ |
Пусть кривая в плоскости Оху является годографом вектор-функции.
Кривизной линии в точке М называется число
К = lim |Д<л>/Д^1.
&S-*-О
где Дф — угол поворота касательной к линии при переходе от точки Мс к точке М; As — длина дуги М,,М (рис. 3.16).
Рассмотрим следующие случаи:
|
|
Рис. 3.16 |
|
1) |
если уравнение кривой имеет вид r = r(i), то |
2) |
если кривая задана уравнением y = f(x), то |
|
K = ly "l/ (l + у 'У '\ |
(3.19) |
3) |
если криваязадана уравнениями x = x(t), |
y = y{t),I £ (a; ft], то |
|
|
. I jf' у' I |
|
|
K = |
, / , |
(3-20) |
|
|
(x' + y' )3/- |
|
4) |
если кривая задана уравнением г = r(ip) в падярвых люордина- |
тах, то |
|
_ |
|
|
« - |
{Г* +Г'уя |
(3.2!) |
Радиусом кривизны R называется величина, |
обратная кривизне |
К: R — 1/К. Так как крнвизна лниии, вообще говоря, изменяется при переходе от данной ее точки к другой, то и радиус кривизны является переменной величиной.
Во всякой неособой точке M(x, i/, z) пространственной кривой г = г(0 можно построить трехгранник с вершиной в точке М, состоящий
из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 3.17): |
векторы |
1) |
соприкасающейся плоскости ММ,Мг,содержащей |
dг |
d2т |
|
dt ” |
d ? ’ |
dr |
2)нормальной плоскости ЛШг/Из, перпендикулярной к вектору ~ ;
3)спрямляющей плоскости MMtMs, перпендикулярной к двум первым плоскостям.
В попарных пересечениях этих плоскостей получаются три прямые:
1)касательная ЛШ|, определяемая вектором Т =
2)бинормаль ЛШз, определяемая вектором В = Г— ,
[и/ at J 3) главная нормаль ЛШ 2. определяемая вектором N = [В, Т]
Р Н С. 3.17
Единичные векторы т = Т/|Т|, Р = В/^Ж|, v =*« W/1Н( могут выть вычислены по формулам;
dr
- dr - ds ~ - -
Т= 5Р у~ ~ г .- Р=1т' 4
| ds |
где ds — элемент длины дуги.
Примеры
1. Какая линия является годографом вектор-функции r{/) = a cos /i + a sin /j + c/k?
Реш ение. Параметрические уравнения линии имеют
вид jc^acos/, y = asin/, z = ct (винтовая линия). |
^ и |
2. Показать, что векторы r(f) — cos ti + sin |
^ перпендикулярны. |
|
Реш ение. Так как |
|
=х'(0< + y'(0J + z'(*)k— — sin/i + cos/j + 0 ■ k,
то
(г, = —cos t sin 14- sin / cos /+1*0 = 0.
Следовательно, векторы г н dr перпендикулярны.
3. Найти ■ если n(0 = ti /2j -f- ^k, гг(0^
= i1 + /3j + tb.
Реш ение. Найдем векторное произведение векторо*
п(/) Иг?{/):
i |
i |
[Г|, Гг]= |
= (f3— /6)i + (t* - 12)j + (/*—(4)k — |
|
/3 |
|
= (t3— <6)i + (/5 — i2)j + 0 •k. |
Тогда |
|
^Гг| = (3/2- 6/5)i + (51*- 20j + 0 . k.
4.Найти уравнения касательной прямой и нормаль ной плоскости к винтовой линии
r(/) = cos/i+ sin /j+д/з/к
в точке / = я/2. |
|
|
|
Реш ение. Так как ^ |
= —sin t, ^7 = cos/, ^ |
=л!з, |
at |
dt |
at |
v |
то канонические уравнения касательной в точке / = я/ 2
имеют вид
х — cos л/2 |
у — sin л/2 z — v5T•я/2 |
—sin л/2 |
cos л/2 |
или
- j - w s ;
л/5"
Тогда уравнение нормальной плоскости к винтовой линии в этой же точке:
- I •(х- 0)+0 •(у - 1) + ф(г - лУз/2) = 0,
~ х + Ф г — у я — 0 или х—д/3г+ -|-л = 0.
5. |
На кривой х = t |
1, у = t2— 1, z = t2 найти точку, |
в которой касательная параллельна |
плоскости х + 2у + |
+ г - |
1=0. |
|
|
|
Реш ение. Имеем: ~ |
= 1, ~r = 2(, ^7 = |
т- е' |
|
dt |
cti |
4* |
|
|
— V Условие параллельности касательной |
dt I dt dt dt J |
|
|
|
и данной плоскости имеет вид ^п, |
= 0 или в коорди |
натной форме |
|
|
|
|
А — 4-В^-4-С— =0 |
|
|
dt + |
dt + dt |
|
|
Так как п=(1, 2, 1), то в нашем случае получим: I . 1 +2-2<+ 1 -3/2= 0, З/2•+•4/ + 1 = 0.
Отсюда t\ = —1/3, |
/2 = — 1. Таким |
образом,найдены |
две точки: М|(2/3, |
—8/9, |
— 1/27) и |
ЛЬ(0, 0, — 1). |
в. Найти кривизну К винтовой линии х = acost, у = |
= a sin t, г = -д//?2—а2/ (0 < а < R). |
кривая — годограф |
Реш ение. В |
данном |
случае |
функции г = г(/). Для вычисления кривизны воспользуем
ся формулой (3.18). Имеем:
= ( — a sin t, а cos t, -\JR2— а2),
- ^ r= ( —acost, —asint, 0).
J #2
Haftae* векторное произведение векторов — и
dt d r
|
Г— |
d1г I __ |
i |
j |
k___ |
|
—asinfacos^ -yjR2— a2 |
|
d t* \ ~ |
|
Ld( ’ |
—acost |
—asin/ |
0 |
|
|
|
= a sin t\j7t2 — a2i — ад//?2— a2cos t\ -f- a2(sin21+
+ cos20k = osin t^jR2—a2i — a cos t^ R 2 —a2j + a2It,
lfr £ ]|-
*= д/а2 sin2t(R2 — a2) + a2cos2 /(/?2 — a2) + a4=
Учитывая, что |
= -у/а24-R2— а2= R, получаем |
„ __aR ___ |
а |
|
А ~ R3 ~~ |
R2 ' |
|
7.Вычислить кривизну кривой у = х2в точках 0(0, 0)
иМ(1, 1).
Реш ение. Кривая задана уравнением у = f(x), поэто му для вычисления ее кривизны воспользуемся формулой (3.19). Найдем: у' = 2х, у" = 2, у'(0) = 0, #'(!) = 2. Тогда:
^|о = 7 Г + 0 Г = 2 , К \м = (1+ 4 f /s
8. Вычислить кривизну кривой r = a(\ — cos<p) в лю
бой точке и при <р= л.
Реш ение. Так как кривая задана уравнением г =
г=г(ф), то |
длявычисления ее кривизны |
воспользуемся |
формулой |
(3.21). Имеем:r'(<p) = a sin ф, |
г"(ф)= acos ф, |
г2 4- г'г = а2(1— cos ф)2 4~ a2sin2g>=
=а1— 2a2cos ф 4- a2cos2ф + a sin®<р= 2йг(1 — cos ф) =
=2а •2 sin2((p/2) = 22а2sin2(9/2).
Тогда:
(г2 + г^ Г 2= 23a3 sin3(jp/2),
г2 4- 2г'2— гг" = а2((1 — cos qpf + 2 sin2 ф —
— (1 — cos ф)соэ ф) = a2(1— 2cos ф 4- cos ф 4-
4-2 sin2 ф— cos ф 4-cos ф) = a2(3 — 3cos ф) =
= За2-2 sin (ф/2) = 6a2sin2(<p/2).
Следовательно,
„ __ 60* sina(<y/2) __ |
3 |
23a9sin3(<p/2) |
4a sin(ф/2) * |
9. Составить уравнение соприкасающейся плоскости, спрямляющей плоскости, нормальной плоскости кривой х = 61, у = З/2, z s= /3 в точке / = 1.
Реш ение. При /=1 получаем точку Л1о(6, 3, 1).
Соприкасающаяся плоскость проходит через точку Afo
и перпендикулярна к вектору бинормали В = |
j. |
Найдем этот вектор. Так как
т. с. В = (18, —36, 36). Тогда уравнение соприкасающейся
плоскости имеет вид
18(х - 6) - 36{у - 3) + 36(z - 1)= 0, х — 6 — 2(у — 3)4- 2(г — 1) = 0
или
х — 2у + 2г — 2 = 0.
Спрямляющая плоскость проходит через точку ЛЦб, 3, 1) перпендикулярно к вектору главной нормали N =
= I В, -jf - В данном случае имеем:
= -324!+ 162j + 324k.
Так как вектор N коллинеарен вектору (—2, 1, 2), то последний можно считать нормальным вектором спрям
ляющей плоскости, уравнение которой имеет вид
2(х — 6) + у — 3— 2{z — 1)= 0 или 2х -+-у — 2z — 7 =0.
Нормальная плоскость проходит через точку Л40(6, 3, 1)
перпендикулярно |
к вектору касательной at |
Так как |
^ | (= | =(6, 6, 3), |
то уравнение нормальной |
плоскости |
имеет вид
6(jc — 6) + 6(у — 3) + 3(z — 1)= 0
илн
2x+2y + z — 19= 0.
Задачи для самостоятельного решения
3.206. Составить уравнение касательной прямой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляющей плоскости к данной линии в точке М:
|
1) |
JC = sin /, y = cos/( z = tg/, |
Л4(д/2/2, д/2/2, |
1); |
|
2) |
x = t3— t |
— 5, |
y=3/z+ 1, |
г = 2/ — 16, |
точка |
M |
соответствует значению параметра |
f = 2. (Ответ: |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
V2 |
- V2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
> + 3 |
^ + г - 5 _ 0 ; |
' " |
i f ' * |
= |
= |
|
~ ,3х + 3У + Ч 2г + |
+ д/2 = 0; 2) |
|
= Л-,2* + Зу + 62 |
-37 = 0; |
^L±J- =iL=_i» = |
|
|
6* + 2t/— 3z |
— 20 = 0;-^±1 |
=у , 3 *- 6 y + 2z + 81 = 0 .)
3.207. Найти —[a, b], если a = i + /j + /2k, b = /i +
+ } + /2k. {Ответ: (3t2— 2f)i + (312- 2/)] - 2/k.)
3.208. Записать уравнение касательной и уравнение нормальной плоскости к кривой x = acht, у = ash /, х = = at при t — 0. (Ответ: у = z, х — а — касательная; у +
+ г = 0 — нормальная плоскость.) |
z = 2(/ — sin/)i + |
3.209. Дано уравнение |
движения |
+ 2(1— cos/)j. Определить |
ускорение этого движения. |
Построить векторы ускорения для |
моментов времени |
t = n/2, t = п. {Ответ: <о= 2 sin /i + 2cos /j, ы [<=,л/2 = 21,
= —2j.)
3.210. Вычислить кривизну кривой * = /2, у = / — /3/3
при /= 1. (Ответ:
3.211. Вычислить кривизну кривой r2= a2sin2<p при Ф= л/4. (Ответ: 3/а.)
3.212. Вычислить кривизну кривой ху = 4 в точке (2, 2).
(Ответ: д/2/4.)
3.213. Вычислить кривизну кривой tf = 8x в точке
(9/8, 3). (Ответ: 0.128.)
3.214. Записать уравнения плоскостей, образующих
|
|
|
|
естественный |
трехгранник кривой лг=*/д/2, |
у = //д/2, |
г = !л sin t при t = л/2. {Ответ: у = х — соприкасающая |
ся плоскость, |
х + У = л/л/Я — нормальная |
плоскость, |
2 = 0 — спрямляющая плоскость.) |
|
|
3.215. Найти единичные векторы т, vJ |
и составить |
уравнения касательной, главной нормали |
и |
бинормали |
кривой х= е‘, y = e~',z = t при t =0. (Ответ: т = —W(i — |
|
|
|
V |
дЯ |
- j + k), ; = |
> (i + j), р= J _ ( _ |
i + j + 2k); x - l = |
|
д/2 |
V6 |
|
|
— (у— I)= z — касательная; |
х = у, |
z = 0 — главная |
нормаль; x~i |
= — = -^— |
бинормаль.^ |
В задачах 3.216—3.222 найти радиус кривизны (в лю |
бой точке) данной линии. |
|
|
|
3.216. х2/а2 + у2/Ь2= 1. |
(Ответ: |
R = (Ь4х2 + |
+ a Y f '2/a*b\)
3.217. х = ф /4 — In у/2. (Ответ: R = (ф + I f/(4y).) 3.218. x = 2cos3/, y = 2sin3/. (Ответ: R = 13sin 2/|.)
3.220. г = а(1 + cos ф). (Ответ: R = |-|-а cos -f-|^
4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ИНТЕГРАЛЫ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ТАБЛИЧНЫМ
Функция F(x) называется первообразной функции Цх), заданной
на некотором множестве X, если она дифференцируема |
для любых |
х£Х и F |
(х) = f(x) для всех |
же функции |
Если |
Ф(де), F(x) — две первообразные одной и той |
/(х), то Ф(дс) = f(x)-b С. |
|
Совокупность F(x)-\-C всех первообразных функций f(x) на мно |
жестве X |
называется неопределенным интегралом н обозначается |
\f(x)dx = F(x)+ C .
Здесь J — знак интеграла, }{х) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, х — переменная интегрирования.
Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется
интегрированием функции /(дг).
Если функция /(дг) непрерывна на отрезке [a; ft], то для нее суще ствует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се мейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получа ются одна нз другой путем параллельного сдвига вдоль оси Оу.
Перечислим основные правила интегрирования:
1)(S/(*)rf*y =/(*);
2)\y(x)dx = /(*)+ С;
3)\af(x)dx~a\f(x)dx (а = const);
4)\(/, (х) ± f2(x))dx = \ }i{x)dx ± ^f,(x)dx;
5) если $/(*)<!* = F (дс) ■+-С, u = <р(х), то J f(u)du = F(u) + С.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:
I) \ I ■ dx= x+ C;
