М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 5.57—5.71 найти объем тела, образованного

вращением фигуры, ограниченной данными линиями, во­ круг указанной оси координат,

64я/5.)

5.59. t/ = sin лг (JC£ [0; л]), у — 0, Ox. (Ответ: л2/2.)

5.60.у — sin2х (х £ [0; л]), у = 0, Ох. {Ответ: Зл2/8.)

5.61.у=4х —дс2, у=х, Ох. (Ответ: 21,6я.)

5.62.у= х2/24-2х-\-2, у=2, Оу. (Ответ: 64я/3.)

5.63.х2/а2+ у /Ь2=1, Оу. (Ответ: 4па2Ь/3.)

5.64.у=1/(1 +дс2), х = ± \, у = 0, Ох. (Ответ: (я +

+2)л/4.)

5.65.х2— у2= а2, х = 2а (а > 0), Ох. (Ответ: 4jui3/3.)

5.66.у = хех, х= 1, у = 0, Ох. (Ответ: л(е2— 1)/4.)

5.67.ху= 4, 2jc+y —6=0, Ох. (Ответ: 4л/3.)

5.68.у= --^2 — , дс—а, х—Ь, Ох.

5.69.у= х2, 4х—у = 0, Оу. (Ответ: 20л/3.)

5.70.у2= дг, х= 1, у = 0, Ох. (Ответ: я/4.)

5.71.у2= 4ах, х—а, Оу. (Ответ: 16ла3/5.)

5.72.Найти объем тела, образованного вращением во­

круг оси Ох области, содержащейся внутри петли кривой

(х—4а)у2 = ах(х—За) (а > 0) ( Ответ: (15— 16 In 2).^ 5.73. Найти объем тела, ограниченного однополостным

390

гиперболоидом x2/c? + yi/b2—£/c2=\ и плоскостями z= 0, z~h. (Ответ: nabh(\ + ft2/(3c*)).)

5.74. Найти объем прямого эллиптического конуса, основание которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высо­

та равна h. (Ответ: яаЫг/Ъ.)

Ри с. 5.22

5.75.Найтн объем тела, полученного при вращении од­ ной арки циклоиды* = а (/—sin/),у = o (l — cos/), t б [0; 2л], вокруг оси Ох. (Ответ: 5л2а3.)

5.76.Найти объем тела (рис. 5.22), отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр

основания, если /?= 10 см, И = 6 см. (Указание. Принять за ось абсцисс ось симметрии основания.) ( Ответ: у R2H =

= 400 см3.)

5.4. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

6] и функция у=1(х) имеет непрерывную производную в указанном про­ межутке, то длина дуги кривой, содержащейся между двумя точками с абсциссами х=а, х=Ь, определяется по формуле

d _________

Рассмотрим правила вычисления площади поверхности вращения

3 ЕЙШлривая задана уравнением в полярных координатах г=г(<р),

4 Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оса, то площадь поверхности вращения выражается интегралом

в

где R — расстояние от точки на кривой до оси вращения, dl — диффе ренииал дуги, А, В — пределы интегрирования, соответствующие концам дуги При этом R и Л должны быть выражены через переменную интегри рования

392

Примеры

1. Найти длину дуги линии у = 1пх (от x\=^j3 до

Х2= Ф ) .

Реш ение. Применим формулу (5.14). Так как l/х, то имеем

= \ х~'(\+х2) mdx.

V?

Подынтегральное выражение есть дифференциальный бином, где m= — 1, п= 2, р= 1/2, (m-|-1) / « = ( — 1+

+ 1)/2 = 0. Используем подстановку 1+ д:2 = /2, х —

= (t2— l ) l/2» dx= у (/2 — l ) l/! •2/d/. Если x —л/з, то

/=s2; если х= ^8, то / = 3. Тогда получим

/== ^ (/*_1 )- 1'ч(((* _ l ) “ v2/d/=

= 1+ у 1(1 т-

2. Найти длину дуги эвольвенты окружности

JC= /?(C O S/+ / sin /), y = /?(sin/ — / cos /), 0 < /< л .

Реш ение. Так как x'(i) = Rt cos /, y'(t) = Rt sin /, t o , применив формулу (5.16), получим

1= J -yjR?t2cos2t+ R?? sin2/ J7 =

= /?! -yjF(cos2/ + sin2 /) dt =

39;

3. Найти длину дуги кардиоиды r = a { \ — costp). Решение. Применив формулу (5.18), где г' (<р) —

= о ^ -\j2 —2 cos ф£?ф = 2а ^ sin у dy= —4acos-|-| д — = —4а(cos л —cos0) = ( —4а) ( —2) =8а.

4. Найти площадь поверхности вращения, полученной

Р и с 523

вращением фигуры, ограниченной линиями у2=*4ах, JC = 0 ,

х = 3а, вокруг оси абсцисс (рис. 5.23).

Решение. Применив формулу (5.19), где у — 2-yfax,

у' =^\[а / -\[х, получим

+ . > ■ - * - « . * * * я г -

(ia JT a - a f a ) _ (8а f a -

394

5.Найти площадь поверхности, образованной враще­

Ри с. 5.25

Решение. Применим формулу (5.20). Из уравнений x ~ t — sin t, у — I —cos / имеем: при х=0 / = 0, при х= 2п /=2я. Так как *'(/) = ! —cos/, i^(/)=sin/, то

Qx=»2п $ (I —cos /) ■\J(I —cos /) + sin tdt =

о

=- 1 6 л ( - 1 + у - 1 + 4 ) = | - д .

6.Найти площадь поверхности вращения, образован­

= a/cos2тт. г' (ф) =asin^-/cos3-^, получим

395

= —8ЯЯ2 ^ cos 4у d(cos у ) = —8л° 2

(2д/2 - 1 ).

Задачи для самостоятельного решения

Взадачах 5.77—5.84 найти длину дуги кривой.

896

5.85. Найти длину дуги первого витка винтовой линии x= acos/, у = a sin /, z= bt. (Ответ: д/a2 + b2•2л.)

5.86. Найти длину дуги архимедовой спирали г= ац>от

начала до конца первого витка. [Ответ: лад/Т+4л2+

5.88.Найти длину дуги кривой у= х2/2— 1 между точ­

ками ее пересечения с осью Ох. (Ответ: ^6-|-1п(^2 +

5.89.Найти длину дуги астроиды x — aoos^t, у —

=csin3/. (Ответ: 6а.)

5.90.Вычислить длину петли линии 9ауг=ж(дг—За)2.

(Ответ: 4а ^3.)

5.91.Дуга окружности хс2+ у2= а2, лежащая в первом квадранте, вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вы­ числить площадь получающейся при этом поверхности.

(Ответ: ла2^2 (2 —л/2).)

5.92. Найти площадь поверхности «веретена», получен­

ного в результате вращения одной полуволны синусоиды

у — sin х вокруг оси Ох ( Ответ: 2л(-\[%+ in ( I +л/2) ) •)

5.94. Найти площадь поверхности вращения, образо­ ванной вращением вокруг оси абсцисс дуги линии

х = ё sin /, y = el cost от Л = 0 до /2= л/2. ( Ответ:

(е*~2).)

5.95. Найти площадь поверхности вращения, образо­

ванной вращением вокруг оси абсцисс астроиды

JC~acos3f, y = asin3/. ( Ответ: -^-ла2.^

5.96. Найти площадь поверхности, образованной вра­

щением петли кривой x= a(/2+ l), у= у (3 —? ) во­

круг оси Ох. (Ответ: Зла2.)

Э97

5.97.Найти площадь поверхности, образованной вра­

щением окружности r = 2R sin q> вокруг полярной оси.

(Ответ: 4л Rг.)

5.98.Найти площадь поверхности, образованной при

вращении лемниската r2 = a2cos 2<р вокруг полярной оси. (Ответ: 2ла2(2— ^2 ).)

5.5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШ ЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ

Статическим моментом относительно оси I материальной точки А,

имеющей массу m и отстоящей от оси I на расстоянии d, называется чис­ ло Mt=md

Статическим моментом относительно оси Ох системы п материальных

точек А,{х„ у,), 1= 1, п, имеющих массы mi, называется сумма произ­ ведений масс этих точек на их ординаты:

ft

мх= Y,

It—L

Статический момент относительно оси Оу системы материальных то­

чек определяется по формуле

П

ма= £ mb*k-

Если массы непрерывно заполняют дугу или фигуру плоскости Оху, то за статические моменты плоских дуг и фигур принимаются моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью, равной единице. Статические моменты в этом случае вы­ ражаются ннтегралачи.

Если дуга плоской материальной кривой задана уравнением y= f(x), где х £ (а, 6), и имеет плотность р = р(*), то статические моменты этой дуги Мх и Му относительно координатных осей Ох и Оу находят по фор­ мулам:

ь___________

a

Моментом инерции относительно оси I материальной точки массой т,

имеющих массы ш„ относительно осей Ох и Оу называются суммы про­ изведений масс этих точек на квадраты их расстояний до соответствую­ щей оси:

Яп

' х = I Щ У к - l g = I Щ Ч

398

Моменты инерции дуги плоской материальной кривой y ^ f{x ), где

Jp< x)*V i + ( n * ) ) 3"dr

а

м

(5.27)

а

м

где массу дуги М находят по формуле

ь

а

Работа переменной силы F= f(x ) , действующей в направлении оси Ох на отрезке («■; ,v2J, вычисляется по формуле

Если пластинка находится в горизонтальном положении на глубине h от поверхности жидкости, то сила давления Р жидкости на эту пластин­ ку вычисляется по закону Паскаля:

P=pghS,

где g ~ ускорение свободного падения: g =9,8 м/сг; 5 — площадь пла­ стинки, р — плотность жидкости.

Если же пластинка погружена в жидкость вертикально, то сила дав­ ления жидкости ка единицу площади изменяется с глубиной погружения. Пусть пластинка, имеющая вид криволинейной трапеции, погружена вер­ тикально в жидкость так, что боковые стороны этой трапеции параллель­ ны поверхности жидкости. Выберем систему координат так. как показано на рис. 5.26. Если пластинка ограничена линиями у — }(х). х = а, х = Ь, у — 0, то сила давления жидкости на эту пластинку вычисляется по формуле

ь

(5.29)

а

Если же в жидкость вертикально погружена пластинка, ограничеи-

3Q0