М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

2.3.СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Пусть а(х), р(дг) — сравнимые бесконечно малые при X-+XQ и пусть,

Ctf-f)

для определенности, существует iim - ■. — с Тогда:

x-*xt р (*)

210

ким образом, ft(.v) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а(х), т. е. (j(.v) = о(<х(л:)).

нечно малой порядка k относительно р(л‘).

Отметим следующие свойства бесконечно малых:

1) произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если ct(а)р(л) —

= ?(*), ТО у{х) = о{а{х)) и vW = о(Р(л));

2) бесконечно малые a U) и р(А) эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность f(*)= oc(jc) — £{*) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с « (х) и р(х), т. е, у(х) = о(я(х)), у(х) = о(р(х});

3) если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквива­

Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых при л— 0:

Подобно тому, как это сделано выше для бесконечно малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их классификация.

Примеры

I . Сравнить бесконечно малые а(х) = х2sin2х и р{лг) =

—Л'tg А' при *->-0.

Ре ш е н и е. Так как предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если эти бесконечно малые заменить

равносильными им величинами, то имеем

Отсюда следует, что a(x) = o(P(x)).

2.Сравнить бесконечно малые а(х)— 1— л/х и р(дг):

=1—-фс при х-*1.

211

Решение. Находим

lim ^ I = lim - L ^ i =

_ ]jm(1 - Щ +л/х+ Ух*)Ь + V*) _

{l —Ух)(| + л/*+ л/^")0 + V*)

Отсюда следует, что р(дс) = o{a(*)).

4. Определить порядок малости бесконечно малой £*(*) = х* + ЮООх2 относительно P(jc) = x при х~+0.

Решение. Вычисляем

= lim(Jc+ ЮОО)* lim x2“ * = 1000 lim x2~k = 1000,

л— 0 г — 0 х-гО

если к — 2. Следовательно, а(^) является бесконечно ма­ лой порядка к = 2 по сравнению с бесконечно малой р(х)

при де->-0.

5. Определить порядок малости бесконечно малой

если k = \. Отсюда следует, что а(х) и p(.v) эквивалентны

при *->-0.

6. Определить порядок малости бесконечно малой a(x) = e'J* — 1 относительно р(х) = х при х-*-0.

малой порядка k = 1/2 по сравнению с бесконечно малой р(х) при *->-0.

7. Определить порядок малости а(л) = |п([ + х3) —

—2Ц(е* — 1)3 относительно |}(*) = jr при jf-^0. Решение. Имеем

нечно малой порядка fe — 4/3 по сравнению с бесконечно малой fi(x) при

раскрытия которой воспользуемся свойствами бесконечно

малых величин и соотношениями (2.1). Находим

213

Задачи для самостоятельного решения

Взадачах 2.97—2.103 сравнить бесконечно малые.

2.97.а(х )~ 3^+~ 4, Р(д:) = дг3при дг—►О. {Ответ: р(*)— высшего порядка малости.)

В задачах 2.104—2.115 определить порядок малости а(х) относительно х при *-к0.

2.104. а(лг) = 1n( 1-j-^Jx*). (Ответ: k = 5/4.)

2.105. а{дг) = sinful + х — 0- (Ответ: k = \.)

2.108. a (jr )= l— cos32jf. (Ответ: k = 2.)

214

2.111. a(x) = -\/T+j?tgnx/2. {Ответ: A = l.)

2.112. а{х) — 1п2(1 + 2х). (Ответ: k = 2.)

2.113. a(jc) = 3sin2-c — х4. (Ответ: k = 2.)

2.114. а(х) = ]n( 1-(-д/дс sin *®). (Ответ: 6 = 7/2.)

2.115. а(х) — In(I + 2х) + ^е*г— Г. (Ответ: k = 2/3.)

2.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ

Рассмотрим функцию f(x), заданную на множестве Л', состоящем из одного или нескольких промежутков.

/.Функция y=^f{х) называется непрерывной в точке дг0, если:

1)Ц х ) определена в точке х0 и ее окрестности;

2)существует конечный предел функции }(х) в точке х0;

3)этот предел совпадает со значением функции в точке х0, т. е,

lim /(*) = /(-го).

Х-*-Х9

На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке.

П. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке лг0. если выполняются условия:

1)((х) определена в точке х0 и ее окрестности;

2)существуют конечные односторонние пределы

она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому при­ ращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функ­ ции, т. е.

lim Ay = lim iflx0 + Ах) — ]Uo)) =0.

Дл—о

Точка дг = *о называется точкой разрыва, если нарушено хотя бы одно из четырех усиливающихся требований:

1)односторонние пределы /(дг0—-0), Цха + 0) существуют;

2)/(Лп — 0), /{.<о + 0) конечны;

3)f{xa- 0 ) = f(xa + 0y,

4)f(xa - 0) = f(jr„ + 0) = /(*,).

Если нарушены условия 1, 2 определения, то точка ха называется

точкой разрыва второго рода, а если нарушены условия 3, 4 — точкой разрыва первого рода. При нарушении условия 1 точка ха называется

точкой неопределенности, при нарушении условия 2 — точкой бесконеч­ ного скачка, при нарушении условия 3 — точкой конечного скачка, а при нарушении условия 4 — точкой устранимого разрыва.

215

Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке хц справа или слева (т. е. одностороннюю непрерывность). Пусть функ­

она непрерывна во внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом конце интервала н непрерывна слева на правом конце интервала.

Укажем основные свойства непрерывных функций.

1. Простейшие элементарные функции непрерывны во всех точках,

на соответствующем отрезке оси Оу существует и является также не­ прерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Примеры

1. Доказать, что функция у = 4х2+ 3х— 5 будет

всюду непрерывной.

Решение. Областью определения дайной функции

является вся числовая ось.

Придадим аргументу х приращение Ах и найдем Ду:

by = f(x + Ах) — f{x) = 4(х + Ах)2 + 3(х-f Дх) - 5 -

—{Ах2+ 3* — 5) = 4л:2+ 8хДх + 4(Дх)2 +-Зх -+-ЗА* — 5 —

—4х2— Зх -f 5 = A(Axf 4-8хДх + ЗДх.

Тогда

lim Ay — Гнп(4(Дх)2+ 8хДх + ЗДх) = 0.

Д*-*0 Дх-Щ

Так как lim Ay — 0 при любом значении х, то, согласно

определению непрерывности, функция будет непрерывна при любом значении х, т. е. во всей своей области опреде­ ления.

2. Функция у = j не определена при х= — I.

Каким должно быть значение f( —J), чтобы доопределен­

ная им функция стала непрерывной?

Решение. Функция не определена в точке х = — 1. Вычисляем:

216

Так как f( ~ 1— 0) = /(— 1-f- 0), а при x= — I f(x) не определена, то x = — 1 является точкой разрыва первого

рода (устранимый разрыв).

Вчем различие графиков функций у = {1-f- дг3)/(1 + -*)

иу = 1— х + х2? Г рафик функции у = 1— х + jc2 пред­

ставляет собой параболу (рис. 2.5) с вершиной в точке

А (1/2, 3/4). Точка ( — 1,3) не принадлежит графику функ­ ции у — (I + г*)/(1 + х); следовательно, он представляет

собой параболу (рис. 2.6), на которой «выколота» точка В (- 1 , 3).

разрыв можно устранить, и функция становится непре­ рывной, так как выполняются равенства f(— 1+0) =

=/ ( - 1 - 0) = / ( - 1).

3.Найти точки разрыва функции f(x) = \х— 3|/(х — 3), определить их характер и построить схематичный график

функции.

217

Решение. Точка х — 3 — точка разрыва, так как

функция определена в любой ее окрестности, за исключе* нием самой этой точки.

Поскольку

Таким образом, в точке х = 3 функция имеет конечный скачок, и эта точка является точкой разрыва первого рода (рис. 2.1).

4. Определить точки разрыва функции f(x) = 31/* н их характер. Построить схематичный график функции.

Решение. Функция f(x) определена на всем множе­

стве R, за исключением точки х = 0. Следовательно, точка

* = 0 является точкой разрыва данной функции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние

пределы в этой точке.

Так как lim — = — оо, то

Л ч ~ 0 X

lim f(x)= lim 3|/д: = 0.

-г-* —0 х——0

Поскольку lim — = + оо, то

Х-»+0 X

Следовательно, в точке х = 0 данная функция имеет

точку разрыва второго рода (бесконечный скачок). Для

218

схематичного построения графика функции у = 31/* най­

lim f(x)= lim 31Л = 3° = I.

Схематичный график функции изображен на рис. 2.8.

Р н с. 2.9

5. Дана функция

*2>если

" } (2дс+ 1, если *> 3 .

Является ли она непрерывной? Если нет, определить точки

ее разрыва и их характер.

Решение. Данная функция непрерывна для *£(— оо;

3)U (3; + оо), так как на каждом из этих интервалов фор­ мулы, задающие функцию, определяют элементарные

непрерывные функции. Точкой разрыва может быть лишь точка х = 3, в которой меняется аналитическое выражение функции /(*). Найдем односторонние пределы:

/(3-0) = Д т / = 9, f(3 + 0) = Н т0(2* + I) = 7.

Так как /(3 — 0), /(3 -+-0) конечны и f(3 — 0) Ф /(3 -j- 0), то в точке х =■3 исходная функция имеет точку разрыва первого рода (конечный скачок) (рис. 2.9).

6. Определить точки разрыва функции у= l/lg|x|, их характер и построить ее схематичный график.

219