(Ответ: — -f-VO + 3cos2x)3.^
4.27. у |
х — д/arctg 2х dx. |
|
|
|
|
|
Т+4хГ |
|
|
|
|
|
(Ответ: у |
ln(l + 4Х2) — y^/(airctg2xf + С.^ |
|
|
4.28. j- |
|
|
|
|
|
|
|
(I +^)1п(х+ l/l +лг) |
|
|
|
|
(Огвег: 2*^1п(х + д/l + х2) + С.) |
|
|
|
f |
sln4ja** |
/Ответ: — — arctg С05*2* |
+ С . \ |
) |
cos (2дс-(-4) |
V |
4 |
2 |
|
^ У |
4.30. j |
. (Ответ: j- In \е** - |
11+ С.J |
|
4.31. [ |
* + 1 dx, |
|
|
|
|
|
J |
-д/jc2 — 4 |
|
|
|
|
|
|
(Ответ, д/х2—4 + 3 In jx + д/дг2—41+ C.) , |
|
|
4-32' |
|
|
<0геет' |
- 2ctg 2 *+ C .) |
|
* ОО r |
C0s2x<fjc |
/_ |
1 |
. -V^r+sin2x| |
, |
„ч |
4'33' \7T — i3“ -( Ответ: — |
In |
------ |
+ C.\ |
J 4+cos 2лс |
V |
|
|
sin 2x I |
|
/ |
4.34. (Oreer. y - ^ + *-21n |x+ 11+ C .)
4 - 3 5 - S'^fp5 ^ (0твет: л/^'^У?) -
-^1 п|хд /з + д^+ 3х2|+ СЛ
уз |
/ |
4.36. С- -5 5дс+ 6 dx. |
J |
**+ 4 |
5
(Ответ: х — yln(x2 + 4)+ arctgy + C.^
4-37- S<тттг (0твет'' 1п|дг+ 1+ (ГГо + с)
4-38- S «4 - £ + 5 - ( 0твет: T arcte J i ¥ J1 + C')
4.39.^xctg(x2-f-1)dx. (Ответ: y in |sin(x2-f-l)| + C.'j
4.40.Jsin35xco£5xdx. (Ответ: ^sin45x-j-C.'J
4.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Пусть требуется найти интеграл \f{x)dx, где функция /(дг) опреде лена на некотором множестве X. Перейдем к переменной ( по формуле
* = q>(/): Т— Х,
где функция <р(0 дифференцируема на некотором множестве Т и осуще ствляет взаимно однозначное отображение Т на X, т. е. имеет обратную функцию <= ф~‘(*)' Х^-Т.
Подставив * = ф(() в исходное подынтегральное выражение, получим
f(x)dx = f{y(t))<p'{t)dt = g(t)dt.
Далее, справедливо равенство
S/W^=^(4>(0)<p/(0^M'-*-W=U(0rf<l'-p-'W'
т. е. вычисление интеграла \f(x)dx сводится к вычислению интеграла
\g(t)dt и последующей подстановке / = <р |
!(х). |
|
Если t = ip(x), где / — новая переменная, то формула замены пе |
ременной при такой подстановке имеет вид |
|
|
^(*(*))Ф'(*К* = и(0Л- |
|
Если и(дг), и(.с) — дифференцируемые |
функции, то |
справедлива |
следующая формула интегрирования по частям: |
|
\udv = uv ~\vdu. |
(4.1) |
С помощью этой формулы нахождение интеграла \ udv сводится к отысканию другого интеграла \ vdti. Применение формулы (4.1) целесо
образно в тех случаях, когда интеграл \ i’du более прост для нахожде ния, чем исходный, либо подобен ему. При этом в качестве и следует брать такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv — ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден. Формула (4.1) может применяться неоднократно.
Например, для интегралов вида
$Pixj^’dx, J P(jr)sin axdx, JP(x)cos axdx,
где P(x) — многочлен, в |
качестве |
и следует |
взять Р(х), а к качестве |
dv — выражения e°xdx, |
sin axdx, |
cos axdx |
соответственно. |
Для ин |
тегралов вида |
|
|
|
|
Jp(jr)ln xdx, |
J P(jc)arcsin xdx, J P(x)arccos xdx, |
|
5 f^Jarctg xdx, J />(.v)arcctg xdx |
|
в качестве и берут функции In х, |
arcsin х, |
arccos х, arctg х, |
arcctg х, |
а в качестве dv — выражение P(x)dx. |
|
|
Примеры
Найти интегралы методом замены переменной.
Решение. Выполним подстановку |
t ~ cos х. Тогда |
d t~ —sin xdx |
к интеграл сводится к |
двум табличным |
интегралам: |
|
~ ' )dt — — |
+ ^ t~2d t~ |
COS4= |cos x = t\ = — |
sina х ^ _____ г sin8х(— sin x )d x |
Г (' — cosg x)rf(cos x) _ |
X |
J |
COS4 X |
J |
COS* X |
- - ^ + 3 f + c - J r - - r + c.
где t — cos x. dx
x-^A —x2
Решение. Произведем подстановку д:= 2/t. Тогда
2
d x ~ — —dt. Подставив в подынтегральное выражение
найденные данные, получим табличный интеграл:
и = Н * = 7 ^ = - 7 Л 1=
= _2 t______—_____ = |
д Г ?dt „ |
|
' |
., 2 |
Г .-----------Г |
J 2 / 2У 4 / 5 - 4 |
|
|
' т л / 4 ~ 7 |
|
— |
у ^ г т |
- |
+ с, |
где t = 2/х. |
|
|
|
3. \ |
dx |
|
|
|
) |
JC+ л/х |
|
|
|
Р е ше йГи е. Применяя подстановку x= t2, получаем |
\ ^ |
= U |
= t |
^ = |
= |
=2 In U -HI+ C= 21n I V^ + H + C .
4.[-£= ■
'Уз+е*
Решение. Полагая |
3 + е’ = i2, е* « /2— 3, х = . |
— ln(/J — 3), dx = |
имеем |
|
2tdt |
|
|
, ---- |
J t —Z |
|
((2- 3 )t |
1 , |
| / - v ? |
|
“ т г 1" |
<+V^I |
+ C ’ |
где i= д/^ + 3 .
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
5. \ ( х 2+ 1 ) е - ^ х .
Решение. |
Положим |
и = х2-\- 1, dv~2xdx. Тогда |
v = — f |
du = 2xdx. Использовав формулу (4.1) ин |
тегрирования |
по частям, |
получим |
$ (**+ !) * - **,= _ ! |
(х*+ 1) «“ **+ |
Итак, мы понизили степень х на единицу. Чтобы найти
^xe~2xdx, применим еще раз интегрирование по частям.
Положим и = х, dv = e~2xdx. Тогда v = — у e~2x,du = dx.
Для упрощения вычислений при переходе от dy к у можно
считать, что С = 0. Следовательно,
^ (х2 + 1)е |
X |
-2х |
2xdx= — у (/ + 1)е 2s — у |
е 2*-Ь |
+ | j e - 2^ = - |
| (/+ 1 )е - 21- |
|1 е '^ + С. |
У*-Н
Реш ение. Применяя метод интегрирования по час тям, находим
|
|
, |
d x |
arcsin xdx |
и= arcsin х, dv\ |
V*+ r’’ |
\ V*+T |
dx |
|
|
du = y/\-x‘ |
|
г.л/jf+i |
= 2-y/x+ arcsin л—2J —dx |
= 2-у/лг + I arcsin x+ |
+2^(1 —x) _I/V(1 —x) = 2 д/x-j-T arcsin*+
+4д/1 -х+ С .
7.Jxtg*xdx.
Р е ш е н и е Положим и= х, du= tg2xdx. Тогда v = \ tg 2x d x = y ~ o™ X dx=\l - ~ - \ d x =
= tg jc—x, du = dx.
Согласно формуле (4.1), имеем
\x\g* xdx=x(tgx —x )— $(tgx —x)dx = xtgx —x2—
f |
sm* |
. . x1 |
. |
x2 |
f d(cosx) _ |
— \----dx+ — =x tgx--- s-+ \------- \-C= |
J |
cos* |
2 |
b |
2 |
J W S J |
|
|
= x tg x -- 2~+In |
|cosx|-j-C. |
8. J (x?+ x—3) sin Zxdx.
Реш ение. Найдем данный интеграл, применив после довательно два раза формулу (4.1) интегрирования по ча стям, так как одним из множителей является многочлен
второй степени:
|
|
|
$(х2+ х—3) sin Злtdx= |
|
|
|
|
ы = / + х—3, dw = sin 3xdx, |
j _ |
|
|
du= (2x4- \)dx, i>= —cos 3x/3 | |
|
|
x --л—3 |
cos 3x+ -j- J (2*+ 1) cos Zxdx—— |
|
|
| |
|
|
|
m= 2jc+1, dp = cos Zxdx, |
|
|
|
du= 2dx, |
|
|
x2+x —3 cos 3x4- |
|
|
|
4~sin3x |
|
|
+ у |
(2x+ 1) sin 3x— |
J sin 3xdx= — xJ + x - 3 cos 3x+ |
|
|
+ 2x^-— sin Зле 4- |
cos 3x-\-C= 2x^~1 sin 3x+ |
|
|
4- y ( —x—**4- ^ co s3 x + C . |
|
9. |
$e“ cos {bx)dx. |
|
|
|
|
Решение. Обозначив исходный интеграл через /, пу |
|
тем интегрирования |
по |
частям получим |
|
|
/= ^e^cos (bx)dx = |
и= еах, dv=scos (bx)dx, |
|
du= aeaxdx, v= у |
sin (6x) |
|
|
|
|
|
|
|
eaxsin (bx) |
|
a f о* - |
/ 1 w |
|
|
— - — ъ------т у sm (bx)dx. |
|
|
К |
полученному интегралу |
вновь |
применим |
формулу |
(4.1) |
интегрирования |
по |
частям. |
Приняв |
и = еах, |
do= sin (bx)dx, имеем: |
и= — yco s |
(bx), |
du = aeaxdx, |
откуда
/= |
eaxsin (bx) |
+ |
- |
-2 |
|
|
e9*cos (bx) — -p- ^ eaxcos(bx)dx. |
Применив дважды операцию интегрирования по час тям, в правой части последнего равенства получим исход ный интеграл, т. е.
ах |
|
2 |
/= —j- (b sin (bx) -|~acos (bx)) — |
1. |
b |
|
b |
Из последнего |
уравнения находим |
|
(о2 + 6 )г . |
|
чч |
"2+ Ш |
|
|
— ■f — ‘ = —j- (b s*n (&x) + a cos (6x)). |
b2 |
b2 |
|
Отсюда |
|
|
/= —Y —Y |
s'n (bx) + a cos (bx)) + C. |
a -(-b |
|
|
">■ \ ^ k r
О + Л
Реш ение. Находим
Гx2dx
u—x, d v= (l+ x *)~ 2xdx.
du= dx,v= у |
J (1+ *2) |
2d (l + ./) = — 2(\+X?) |
_ |
* |
4 . _L |
[ |
dx |
______ u |
|
2 ( 1 + / ) |
2 |
J |
I -(-JC2 |
2 ( 1 + x 2) |
+ -y arctg лг + C.
Г dx
11. Получить рекуррентную формулу для /„= Vj^rp^r.
Решение. Представив числитель в виде ((а2+ х2) —
— х2) и почленно разделив его на знаменатель, получим два интеграла. Применяя ко второму из них формулу
(4.1), имеем |
|
|
|
|
|
1 f |
(о2+дс2) —х2 dx= |
In ~ |
\ |
(x2 + a2r |
|
|
|
a2 S |
(х? + а2) п |
_ |
I |
f |
dx___________I f |
x2dx _ |
|
a2 J |
(x1+ a2y - 1 |
|
|
a2 J |
(jr2 + e2)'1 |
u—x, dv= (x2 -\-a2)~ nxdx, |
|
du=dx, |
о* у |
J(jc2+c2)-nd(x24-a2) = |
(/+a2)1-" |
|
|
|
|
|
|
2(1 - n ) |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2~ I ft—I + |
2o2( n - I ) ( / + o2)" -1 |
|
|
- |
|
1 |
|
[ |
dx |
|
|
|
2a2 in — I) |
|
1 |
|
|
итсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
L — |
|
|
|
|
|
|
2a2 |
( 2 |
2a2{n - \ )(x 2 + a2) " " 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/1—3 |
2а2(л~1)(л2+аг)"*' |
2a2(/t— 1) , |
Учитывая, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
f |
dx |
|
|
l |
x |
|
|
/i = \ -9 ■ |
|
= — arctg — > |
|
|
|
J х*+а2 |
|
<J |
s a |
и полагая n= 2, |
находим |
|
интеграл [2. Затем, полагая |
/1= 3, получаем интеграл /з. Таким образом, можно найти
1п при любом целом положительном п.
12. \ ^ + t?dx.
Решение. Обозначив исходный интеграл через I и применив метод интегрирования по частям, получим
«= у/х2+ а2, dv = dx,
/= j V * 2-\-c?dx= , xdx
au = — ....... , v ~ x
Отсюда
2/ = х д / / - f a 2 + а 2 I n U + д / л:2+ а 2 | - j - C .
Следовательно,
у ( * У * 2+ ° 2 + °2ln |* + л]'х2 + а2 |)+ С .
Задачи для самостоятельного решения В задачах 4.41—4.65 найти интеграл
Y4-41- S"TT7T' (0твет: 2(V*-in (1 + у*))+с.)
4.42. |
\ |
' t U d * . |
|
|
J |
xyjx —2 |
|
(Ответ: 2^jx —2 + ^2 arctg |
+ £•) |
4.43. |
t. |
. |
|
|
J |
V* — >/* |
|
(oreer. дг+уУх5 +yV^ + 2 |
+ 3 VJf + |
|
|
-j-6Vjt -f 6 In | V * _ 1| + C .) |
4-44. |
f |
Л » ; |
Положить £*-f- I —t\) |
\ — - - ■(Улязаиае |
(Oreer: -±- (3 ^ - 4 ) V V + I ) 3+ C .)
4.45. f ------- dx.- .r-,. |
(Указание. Положить * = ~Л |
J V ^ +й2 |
v |
' |
{0,вет - |
+с) |
|
4.46. |
JjcMn (l+x)dx. |
|
|
Ответ: |
(^ + 1) In (1+дс) |
/ |
л2 |
|
|
- т |
+ - ё - - т + с ) |
4.47. |
\xi s\nxdx. |
|
|
|
{Ответ: |
—х3cos х+ Зде2 sin x+ 6x cos х—6sinx + C.) |
4.48. |
J х arctg xdx. ^ Ответ: — у — arctg л — у -|- |
4.49. C i^ L .
Jу /
^Ответ: ----^= -^yln2x+ 31n |х|+ 2 ^ +С.^
4.50.Jx ln (x — l)dx.
(Ответ: *2~ l In |х— 1| — ^ — у + С.)
4.51. ^х cos 3xdx.
( Ответ: у (Зх sin Зх+ cos Зх) + С.^
4.52.\e^*dx. (Ответ: 2е^* ( д/х ~ 1) + С.)
1.53.dx.
■у/1— дг
{Ответ: 2(д/х — ^1 —х arcsin д/х ) +С.)
4.54. Jcos(lnx)dx.
^Ответ: у (co§Jn x-j-sin lnx) + C.^
4.55. |
J х2e~x/2dx. {Ответ: |
_ 2 е _ */2(х2+ 4х+ 8) + С.) |
4.56. |
(Ответ: у |
{ f - 2 ) ^ e x+ l + С.) |
-f arccos - J x
157 |
\ ^ т~ г- “ х |
{Ответ: |
—2-^1—х arccos -^х—2yjx + С.) |
4.58. |
^-^^~-dx. (Указание. Положить .t—tg/.) |
^ О т в е т : -\//-Ы — In | — ■ |
| +С.^ |
4.59.5(х2-2х + 5)e~xdx. (Ответ: —е~х(х2+ 5) + С.)
4.60.\ ^ ^ - d x .
|
J |
sin х |
|
( 0твет: - |
Ж У + 1п I |
+ с ) |
4.61. |
J arcsin2xdx. |
|
(О т в е т : |
х |
arcsin2х + 2 -\j 1—я2 arcsin jc— 2x+C.) |
4.62.\ ^ d x .
(Указание. Положить sin‘ x= 1~ <^>s2jr.)
(to u r: |
Sf b - lO ib |
- | ) + C.) |
|
4.63. |
J (3JC+ 1) cos 2xdx. |
|
|
| О т в е т : |
у (3jc—|- 1) sin 2jc+ |
cos 2x-j- C.^ |
|
4.64. |
$(2x? + 7) sin Zxdx. |
|
|
( О т в е т : |
— у (2л^-|-7) cos 3jc+ x sin 3jf+ |
|
|
|
+ |
cos Zx+ C.^ |
4.65. |
^(2дгН-3) In (* - 2 )4 JC. |
|
(О т в е т : |
(jc2-(-3jc) In (jc— 2) —//2 — 5jc— |
|
|
|
— 10 In U - 2 I+ C .) |
4.3.И Н ТЕГРА Л Ы ОТ ФУНКЦ И Й,
СО Д ЕРЖ АЩ И Х КВАД РАТН Ы Й ТРЕХЧЛ ЕН
Рассмотрим интегралы |
вида |
|
Г |
dx |
f |
dx |
J |
я*2 + |
J |
ах2+ bx с |
С помощью выделения полного квадрата
