4.188. \j?(\—3?)-3/2dx.(Ответ: - 2~ — +С.
\
4.8. И Н ТЕГРА Л Ы ВИДА ^/?<ж, -у[ш?+ Ьх+с )dx
Некоторые частные случаи нахождения интегралов данного вида уже рассмотрены в § 4 3 Существуют различные методы их нахождения Рас смотрим один нз таких методов, основанный на применении тригономет
рических подстановок |
полный квадрат |
В квадратном трехчлене выделяют |
« Ч * * + С .а ((,+ 0 |
- |
затем с помощью подстановки / ■=х + — приводят исходный интег-
рал к интегралам одного из следующих трех типов
5/? (л V *2- * 2 )dt, 5/? (/, V *2+ ' 2 )dt. $ *(*, V '2- * 2 )dt
Эти интегралы с помощью следующих подстановок для первого интегра ла / = fcsm« (или / = fe cos а), для второго (=fetgu, для третьего t= k/co$u, приводятся к интегралам от рациональной функции относи
тельно sm и и cos и, т е к интегралам вида ^R(sm u, cos u)du.
Примеры
Найти интегралы.
1. J jе2д/9— i? dx.
Реш ение. Положим х = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos tdl н
интеграл примет вид |
|
|
|
^■ ^9 —х2 |
$9 sin2/д/9—9 sin? / -3cos tdt=> |
|
|
s=8I $sin21cos2(dt. |
|
Применив |
формулу (4.9), получим |
|
81 |
^ sin2i cos2tdt= 81 * |
^sin22tdt. |
С помощью |
формулы |
(4,10) |
находим |
81 f |
1— cos4f |
81 |
/ . |
I - 1 л |
T -З |
|
2 ~ d t = т ( ( ~ T s m 4 t ) + ' |
где / = arcsin
2 [ , dx ~
3 V 7 7 ^ ¥
Реш ение. Применив подстановку х= а/cos t, полу
чим
a sin tdt
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
I |
Г |
sin |
|
|
__ |
I f |
|
sin tdt |
7 |
5 |
Y \ |
cos2/ |
V |
~ |
7 1 |
|
cos ' |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
1 Г . - 2 |
, • |
,v |
I |
sin-1 t |
. _ |
|
= —s- j sin |
W(sin t) = |
|
---3 7 |
-- |-C= |
|
|
|
|
1 |
+C, |
|
|
|
|
|
a2 sin f |
|
|
|
|
^где /i = arccos уо.
Тчк как
sin /= У 1—cos21= У 1—а = '\Jx2—cr/x,
то окончательно имеем |
|
f |
о2Vл2—а2 |
' VT^—a2)3 |
з С rf*
Реш ение. Применим подстановку * = 2tg/. Тогда dx= 2dt/co$21 и интеграл преобразуется к виду
f |
dx |
f |
__________ ъи_____________ |
^ х2 yjV+ x2' |
cos2 |
/ •4 tg2 / "^4 + 4 tg2 i |
|
|
__ |
I |
Г |
cos tdt |
|
|
|
4 |
J |
smin2 / |
Отсюда
Г cos tdt |
1 |
f |
rf(sin t) __ |
1 |
J sin2 1 |
4 |
j |
sin2 1 |
4 sin / |
где f= arctg y .
Так как
cos t=
|
|
У 4+*2’ |
TO |
|
|
sin |
|
У7+/ |
|
|
и окончательно |
имеем |
|
f |
dx _ |
^4 +J |
4. J myJ 3^~— 2jf-j- 10rfx.
Реш ение. Выделим в квадратном трехчлене полный
квадрат
J д/*2~2дг+ 10dx= J д/ (jc— 1)* + З2 d(д:— 1).
Применим подстановку х— 1=3 tg d(je— 1) =3tft/cos2 i, получим
5VT*-i)!+3!d(%-i)= 5V 91/ ^ 9^77 “
_ e t_3 £ L^ Z L<« _ e t _ ^ _ .
J cos t J cos'1t
Так как R (sin t, —cos f) = —/?(sin t, cos t), то, исполь
зуя подстановку z=sin/, / = arcsinz, dt=dzf-\j\ —z2,
имеем
9B r - |
9S - ^ 7 F |
? 7 - 9S i T ^ 7 - |
“ 9$i i |
^ ^ d2“ 9 |
$ 7 ^ + 9 $ T = V ' |
Второй интеграл найдем интегрированием по частям, где u—z, du = dz, dv~zdz/( \—z2) 2,
Тогда получим
a f |
i_ J L |
|
£ _________ JL ( |
) |
- d z = |
y J 1_г2 T |
2 |
, _ z2 |
2 |
t_ z2 |
- T - n b - T ' " I S f l + c - |
где z = sin arctg :Цр-- Так |
как |
tg / = |
* 3 ' > TO |
гsin /
1 — г 2 cos2 t '
COS t — |
[ |
1 |
|
|
|
|
|
1 + |
tg2 < |
1 + |
|
|
_ |
9 |
|
|
|
/ - 2 * - H O ’ |
|
9 |
г |
_ (ж - 1) ^ X2~2 X +IQ |
|
2 1-г2 - |
2 |
|
В результате |
получаем |
|
|
j V ^ - 2 4 - 1 0 * = 1 ~ j - f i n | |
+C , |
где z= sin arctg или
X — I ^JX 2- 2 X + 10 - |-ln
, JC — 1 .
sin a r c t g — ------- 1 |
+C. |
i x — I , , |
sin arctg—s-- 1-1 |
5. J д/Ax—^ dx.
Реш ение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
\ -yj4* —дс2 = j V 4 - (x—2)2<f(x—2).
Применив подстановку JC — 2 = 2sinf, d ( JC —2) =2cos/d/, получим:
J -^4— {x —2)2d (r— 2) =» J y ^ —'Tsifi2/ -4 cos tdt —
= 16J cos2tdt —S\ (1+cos 2t)dt= 8(/ + 4 sin20 + C
x—2
где f = arcsin - -• . Так как
j |
V x_2 / |
у |
sin 2/= sin t cqs t= —^— y4 x —x2. |
TO
^ -\j4x—Ji? dx= 8 arcsin * 2 2 + (x—2) 'yjix—j? + C.
6 f |
dx________ |
|
J (/ + D (X + V ^ + T ) |
|
Реш ение. Применив замену переменной |
, |
dx=dt/cos21, |
имеем |
|
|
( ________ * * _________ |
|
|
J |
(x2+ \ )(x + V ^ + ‘ ) |
|
|
|
dt |
|
- s — |
I |
|
J c o s t-
cos i
cos tdt
tg(+ cos i
- $ ^ ё ^ и- - 1 »|- п < + н + с,
где /«arctgjc. Так как
|
I+ tg 2/ |
l+ x 2' |
TO |
|
|
|
|
sin t |
|
V 1+**' |
|
|
|
|
In I sin / + 11= In |
., |
+ 1 |
|
I |
V '+ ^ |
|
= ln I * + V *+ ^ I _j-C |
|
I vn -*2 |
I |
t — |
(*+ V ^ - и ) |
^ln I |
^ ^ -1 + C |
' |
* |
' |
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 4.189—4.208 найти интеграл.
4-,89' $ |
T ^ |
F |
( 0гвег7 7 ^ + с) |
4 -,9 в - |
\ ~ j h |
- |
|
|
(Ответ: Y |
In |лг+ д /?—3 | 4- у д/дс* —3 + С.) |
4.191. ^ ^ ? +~ dx' |
|
|
^Ответ: In |х+ д/*2+ 3 | ---У-^+3 + С.^ |
|
4.192. J |
|
dx- |
{огвет: - |
+ С ) |
4.193. [ ------йх, |
|
|
|
J |
(*?+4)У4х2+\ |
|
(< * ~ w » " I ^ r S r o l « ) |
|
4.194. j |
V (9 ~ ^ )3 |
^ Ответ: - V |
^ Y + c j |
4.195. |
t |
^ |
|
|
|
|
J i-h -\/V+2*-i-2 |
|
^Огвет: |
|
^ ^ 2Л+2- + In \х+1 + ^Х*+2х + 2 |+ C .) |
4 .1 9 6 . |
j |
- \ j / ~ 2 x — 1 dot. |
|
(О т в е т ; у |
(дг— 1) д/JC2 — |
2лс— 1 — In |JC— 1+ |
|
|
|
|
|
-+ д /?-2 д с- I l+ C .) |
4.Г97. |
J |
jTrfx |
|
|
|
|
|
|
|
- 1—2.t—*2 |
|
|
^Ответ: -i- (3—JC) д/ l—2JC—J * + 2 arcsin |
-f C.) |
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ |
ИНТЕГРАЛ |
|
|
5.1.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, |
|
|
|
ЕГО СВОЙСТВА |
И ВЫЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
Пусть функция { (я) определена на отрезке |
[а, 6] Разобьем отре |
зок [а, Ь] |
на п частичных отрезков [JC , _ [, |
х,] |
точками |
а = х0< |
<дг,<д:г < |
< дс„ = Ь |
На |
каждом |
нз отрезков |
(jc,_i; |
х,] |
возьмем |
|
|
|
|
ч |
|
|
|
произвольную точку I, |
и |
составим |
сумму £ |
/(Е,,) Ал',, |
где Дх, = |
= дс, — дг,_1 |
|
|
|
i=i |
|
|
|
Она называется п-й интегральной |
суммой функции fix) |
на отрезке [a, |
|
|
|
|
|
|
|
Предел интегральной суммы при условии, что число отрезков п стре мится к бесконечности, а длина наибольшего из них — к нулю, называ ется определенным интегралом функции f (х) в пределах от х= а до х = Ь
и обозначается
Ь |
|
п |
t f ( jc )d * = |
lim |
У /(£,) Ддсг* |
J |
тахДх,-»-0 |
I " ! |
Л |
* |
Если функция /(дс) непрерывна на отрезке р, Ь\, то она интегрируема на [а, 6], т е предел интегральной суммы существует и не зависит от спо соба разбиения [а, 6) на частичные отрезки н от выбора точек I, при
каждом таком разбиении
ь
Геометрически J f (дс) dx представляет собой алгебраическую сумму
а
площадей фигур, ограниченных графиком функции y = f(x ), осью Ох и прямыми х=аа, х=&, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком *4-». а площади, расположенные ниже оси Ojc,— со знаком *-—»
Перечислим основные свойства определенного интеграла
ьь
1) ^f(x)dx= — ^}(x)dx;
аа
й
2) |
\f(x)dx= О, |
|
|
а |
с |
Ь |
|
ft |
3) |
\f(x)dx= ^(дс)Л:+ |
|
|
а |
а |
с |
