М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

систему уравнений

у = 2х\

1

а) у _ х+ 1 ■

б)

у = е*со$х;

X- 1’

г)

у = -^? — х-{[х.

Решение, а) Применяя

формулы {u/v)'~(u'v —

— uv')/v2 и х' = 1, с' = 0, получаем

_ / * +

1 V _ ( j+ 1)' (дг —1) —(х+ 1)(д— 1)' _

у U - i )

(* - п 2

_

I -(х — 1) — (де -|- 1). 1 _

- 2

( x - lf

(х — I )2

б) Применяя формулы (о у )'

= u'v + uv\ (*")' — пх” ~

находим

в)

Используя формулы (к/у)' = {u'v — uv')/v2, (а*)' =

= а* In о, (ху = 1, получаем

/ __/ х \ ' __ (х )'■4х — х(4сУ

m 4Д— х •4' In 4

__

-

4^(1 — дс In 4)

1— дс1п4

4й

¥

‘

г)

Имеем

Тогда

у = Щ ? - х \ Р ^ х 2^ ~ ^ А.

и' — — г-'/ъ— Л х 1/4

3

4

7.

Найти производную функции:

а)

6) у — £ = £ ± :

•) и=

si" '

е* + In х

1+со$дг

_

\Og3 X

_tgx_ .

COS2 X

х In 3

б)

и '

/ £*—

'

(е<— ln-t)'(g* + lnx)—(е*— In х)(^ + In х )'

l<?‘- M n ;J

(*4 - in *)2

_

(<?* — i/x)(ex+ In х) — (ес — In x)(e‘ + l/x ) _

(S + In x f

__

e?‘ — e'/x -b-e' \n x — In x/x — e2' + In x •g* — g'/ж + In x/x

__

_

•

(e' + ln*)2

“

2g* In x — 2e*/x __

2gjr(ln x — \/x) .

(e’ -f In xf

(e‘ + In xf

, __f

sin x

N ' __

(sin x)'(i + cos дг)— sin jc(I -(- cos x)'

\

1-f cos x )

( I + cos x)*

__

cos x ■(1 + c°s ■»•) -f- sin x sin x __

1

cos x

__

(l- fc o sx f

(I + cosxf

I-|-cos л:

8.

Найти производную данной функции:

а)

у = 52*-3;

б)

j/ = lnsinx;

в)

у = sin2*;

г)

у ~ arctgV*.

Решение, а)

Введем обозначение 2х — 3 = ы. Тогда

у — 5й, и, применив формулу для

производной сложной

функции, получим:

У ' = ( 5 7 = 5 “ !п 5 - и ' =

5 2 i- 3 In 5 •(2 х —

3 ) ' => 5 2* “

31п5 •2.

б)

Пусть и = sin х ,

тогда у = 1п и. Имеем:

у' = (In4

и)' = —I t и' = ~С 1п—Г (sinV

ху =

С I

Y

= ctg® л:.

a

sin дг

'

sin х

в)

Если и = sin х, то у = и*2 и

уf = (и2)' = 2ии' = 2 sin * -{sin х)' = 2 sin xcos * = sin 2x.

г)

Если « = -\fx, то у = arctg w и

у' = (arctg ы)' = —

■ и' «ш

1+ иг

■ b P)'—

A r r - ^ = -

1+Ы*)2

1+*

2л[х

2ijx(l + х)

9.

Найти производную данной функции:

а)

у = In tg Sjf4+ 1;

б)

у = log2(log3(iog5*));

в)

у —

Г)

]Ql—sin1Зде.

д) у = arcsin2(ln(a3+ *3)).

Решение, а)

Пусть

и = tg 2 4х 1, тогда у — \пи и

___L..,

—

1

2* +

I V

,

1

i

у

« и

2дс + 1 V S

4/ ~

2*+ I

, 2* + 1'

tg—т-- 4

•'

tg --- cos2

X I

. 2х + 1

2х + 1 2

. 2* +

W- sin- ---cos —-—

sin —

4

4

2

б)

Запишем данную функцию в виде y — \og2u, где

и= log3(log5*). Тогда

O' = - Л Г У ■

“ log,(log!,).In 2 <loe»<loe>* » ' =

log3(log51дг) •In 2 logs х1•In 3 (logs*)'-

I

I

log3(log5x) •In 2

logs x •In 3

x in 5 *

в)

Записав данную функцию в

виде

у = е“, где

и = -д/1п(шс2+ Ьх + с), имеем

у ' = еии ' » .

+ Ьх +

с ))' =

_

ет/щ<и'+*дг+с)—

1(\п(ах2-+-Ьх

2-\/|п{адс2 + Ьх + с)

---- 1

.(а** + Ьх + с)' =

2^j\n(ax? + bx + <г) <*х* +

Ьх + с

еУ\п{ах?+Ьх-±с)

|

-{2ах + Ь) =

2-0п(а** + ** + с) №г + Ьх+ с)

__

^йГ(«ч»*+г) (2ах + Ь)

2

Vln(<w2-f- Ьх + с)(ая2+ Ьх 4- <?)

г)

Пусть и = 1— sm43jc, тогда у = 10“ и

у '= 10“ In 10*ы' = 101- ,,n';iMn 10-(1 — sin43jc)' =

=

10,- "n,**ln 10 •( —4 sin33*)(sin 3x)' =

_

ю'-яп’з* |n io . ( —4 sin33x)cos 3x •3 =

= — 12 In 10- 10'-5,n,3*sin33Jr:cos3Jt.

д)

Если и = arcsin ln(6 + г 3), то у = w2 и

у' j» 2иы' = 2 arcsin ln(6 + дс3) •(arcsin ln(6 + jk3))' =

= 2arcsin(ln(jc3+ 6)) •

■ 1

(ln(6 + JC3))' =

V i -

ln2<6 + X*)

= 2arcsin(ln(jc3+ 6))* —

1 ---

. 1

(6 + -r3)' =

Vi — ln2(6 + ^)

6 + x^

=2a,csi„(ln(x» +e». i/i-rTsljR 7 f T & -

~

6jc5aresin(In (x3 + 6))

(6+^)^! -ln2(6 + AJ )'

3.8. t/ = x ln x — х,

(Ответ: у' = \пх.)

3.9. f/ = (l + x2)arctgx. (Ответ:

у' = I + 2xarctgx.)

3.10.

(Ответ: у '^

\

у х '

2хл]х cos2 х

_

arccos х

/ ~

,

2х arccos х — л/l — \

З.П. S - - T 3 J - . (О гм г: ( , ------ JJ— ^ ----- .)

3.12. I / =

3 * arcsin х. ( О т в е т :

у ' =

— 3 .. -{-ЗМпЗУ

X arcsin jc.)

v

У ' - * 2

3.16. у = Ц 2з^ ~ 4^)*. ( Ответ: у' = |6х(|

Л

'

-2х) '

3.17. iv = — —

1 ---- . ( Ответ: y' = —

Л

v(* +

—•)

2V<JC + 2f(-ca — I)3-7

3.18

i f

( 0TeeT- » ' —

~ 5(7

"

)

-18- « = 4

5 + *

V

(5 + x)2V 5 - r

/

3.19. у

( Отвег. y'=

*г(3 + 2^

Л

3 V i+ ^

V

3(i + дгг) V i+ J^2 7

^ y * T A

V V< f •» ; у 1

a

3.22. y = arcsin—. ( Ответ: у' — ---- 1■

Л

'

x

'

x^jx-— 1

3.23. у = д/е\ ^ Ответ: у' =

3.24. г/ = In sin jcН—

cos2лт. / Ответ: у' =

--

- А

2

\

г

sm лт )

3.25. y = \ n ^ L z L . ( Ответ:

у' = 2(6

)

*

х'

\\

*

3.26.. у = In д/jc2+ У * 4— 5.

^ 07в£г: у'

д-(лД' — 5 + л2)

\

С

) У * - - 5

'

(ж2 4 У * ‘ - 5

3.30. и = 1 п ^ х+ '~ 2^ .

( Ответ: у' -

~ 2sec?jr -Л

V^tg Jt+ I + 2V (g*

-

V*g^(4tgH-lr

Ответ: у =

„»гс!гV1+in(2»+3>

— \

(2ж + 3)(2 +

ln(2x + 3 ))V l + In ( 2 x 4 3)/

3.36. y =

y i ^ p

(Ответ: у' =

3.37. у= In

2In2sin ж + 3

(Ответ: у' =*

2 In2sin дг — 3

3.46. у = In —

х + 2arctg-^sin jr.

( Ответ: у' =

I — \js\nx

COS к

3.47. у =~ х In £±-j- + i . In

+ у

arctg x. (Oreer;

для нахождения производной от

показательно-степейной

функции

У= и‘\ где ы, v — функции от х.

у = и", где u = f{x);

v = ф(я).

Найдем производную

функции

Прологарифмировав данную функцию по основанию е, имеем

In у = v In и.

Продифференцируем обе. части полученного равенства:

У '

I

* -

— = v in и 4- v — и .

Отсюда

У

и

у' = y (v ‘ In и

у

и"/ V In и + ~ “ Л *

(и°у = и" In и •v' + vu”~1и'.

(3.2)

Пусть функция' у(дг) задана лараметрическими уравнениями

х —

= <f(t), y — y(l), t g (а; р). Предположим, что функции х = ф(/),

у =

ции, функция

Ф(х) имеет производную Ф'(дг)= ]/<р'{/),

а по теореме

о производной

сложной функции функция у = $(Ф(;с))

также имеет

производную у'(х) = у(Щ х ))Ф ’(х). Тогда

или

У’(х) = <Р(О

(3.3)

fy ’x = y i/f! = y’t/x!,

(34)

(л = Ф(0-

образом,

у" = (у'у. Аналогично у"' = (у")',

У 1= (i/n~1V.

Для

того чтобы получить производную высшего порядка от данной

(uvf“^=

+ /ш(л_ ’V

П'" —— u^'^zr" -f- ... +

+ я(ч- L)-(n-(fc- L))

%(k)+ +nu,vi*-»+uvw

Пусть функция

задана параметрическими уравнениями дг = ф(<),

лг = ч>(0- Тогда по формуле у’х = -^тттг!

имеем

<р(/)

У"(х) = ^ = (у'(х)У.= Щ ^ - \

|/=ф(»)

<р(г)