dx
7> ^ T~T~i ~ arctg x + C,
I +X2
S—j dx = arcsin x + C
Vl - ?
9) ^sm xdx = —cos x 4- C,
10 J cos xdx = sin x + C,
11
J COS X
12 = —ctgjc+C,
J sin X
13 j COS X = ln l‘g(*/2 + я/4)1 + С,
|
d x |
|
|
|
14 |
sin x = ln|tg x/2\ -1- C, |
|
15 |
|
dx |
|
x |
|
—- = = ■ = arcsin--- 1-C, |
|
|
л!a2-yja*—-x*. |
1 |
X , „ |
|
16 |
— |
d x |
|
— - = — arctg--- y e , |
|
17 |
JT + « |
e |
a |
|
|
|
|
|
|
18 |
^ |
= |
' " |
l‘ + ^ |
l+c; |
|
|
|
|
|
Интегралы 1— 18 называются габличлмлц Справедливость формул 1— 18 можно проверить путем дифферен
цирования, т е надо убедиться в том, что производные от правых частей формул будут равны соответствующим подынтегральным функциям
Непосредственным интегрированием называют интегрирование с помощью правил 3 и 4 интегрирования, тождественны* преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов
Рассмотрим интегралы, приводящиеся к табличным Пусть требуется
|
|
|
|
найги |
Предположим, |
что существуют дифференцируемая |
функция и = |
ф(дг) и функция g (и), такие, что подынтегральное выраже |
ние f{x)dx может быть записано в виде |
|
j(x)dx ^ g(<f(x))if'(x)dx ^ g{u)du |
Это преобразование |
называется |
подведением функции и = <$(х) под |
знак дифференциала |
Выполняется соотношение |
\f\x)dx = \g(y{x))<Q'{x)dx = \g(u)du\u=:^JT)
Следовательно,S вычисление интеграла \f(x)dx сводится к вычислению
интеграла \g(u)du (который может оказаться проще исходного) и под становке и = <р(дг)
Итак, операция подведения функции <р(л) под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную и = у(х)
Если ^f(x)dx = F(x) + С, u = ф(х), то
\ f W u = F(u) + a
Примеры
Путем непосредственного интегрирования найти сле дующие интегралы
г?-
Решение. Представив подынтегральную функцию в виде I /х2= х~2 и применив формулу 2 таблицы основ ных интегралов, получим:
^ = ^ т г + с = - т + с -
2. \x^Jxdx.
Решение. Согласно формуле 2 таблицы интегралов, имеем:
^ х-\fxdx |
x3/2dx = J^/2-f-С. |
3. $)(Ydx.
Решение. Применяя формулу 6 таблицы интегралов, находим:
^10*^дг= lO^/ln 10 + С.
4. J(I — 2x)dx.
Решение. Используя правила 3 и 4 интегрирования и формулу 2 таблицы интегралов, получаем-
$(1 — 2x)dx — \dx — 2\ xdx = х — х2-f- С.
Решение. С помощью формулы 16 таблицы интегра лов, находим:
Г _ ^ = Г _ Ё £ -= _ L a r c t g ^ + C.
J * + 5 ) х » + л/5
6.
Решение. Используя правило 4 интегрирования и
формулы 2, 5, 4 таблицы интегралов, получаем:
= ^х~ъ/2йх —^e*dx + y^- = — -|-х-3/2 — + In |лгЦ-С.
7 -
Решение. Выполним преобразования под знаком интеграла: ,
Применяя правило 4 интегрирования и формулы 2, 4 таблицы интегралов, имеем
j - = 5 ± *
= ^ х - Ч х - 2 (^ - + и х = - ± - 2 1 п \ х \ + х+ С .
Решение. Имеем
= |
dx = Ye*+\)dx = e'+ x + C. |
dx
■\ 3 — Зх2
Решение. С помощью формулы 15 таблицы интегра лов находим:
S |
, |
dx |
1 t |
dx |
f _ |
: |
C. |
, „ |
|
■— = —pr\:J |
= —-ГГ arcsin JC+ |
|
|
Vs — 3*2 ^/3 J У\ ~ЗГ |
д/з |
|
|
|
Решение. Используя правило 4 интегрирования и формулу 6 таблицы интегралов, находим
= 3 | ^ - 2 | ( -43\) - V^. = 3«_, - 2„ . И/2Г^ |
+ С. |
11. \a*e*dx.
Решение. Согласно формуле 4 таблицы интегралов, имеем:
j |
|
|
|
|
|
+ С■ |
12. Jtgг xdx. |
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
U g*xdx = \ ^ d x ^ \ ±--^ |
|
dx |
J |
) COS |
X |
J |
cos x |
|
= [ —^5--- Crfx— tgx — x + C. |
J |
cos X |
J |
e |
|
|
|
' 3- |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Записав |
числитель |
в |
виде ( 1 х2) х 2 |
и почленно разделив его на знаменатель, получим сумму
двух табличных интегралов 2 и 16:
Г —L+ & |
d у _ |
f (1+ * )+ * dx - |
\ х’о+ж2) |
а |
) **(■+**) |
i f + S ^ ? = - T + - * ^ + c -
14. V + m ' x-dx.
J I + cos 2*
Решение. Применяя формулу 1+ cos2х = 2cos2*,
имеем
[ |
,+cos2xdx = [ |
l + QOf |
x. d x = U ~ ^ |
+ M d x = |
J |
] + cos 2x |
j |
2 cos x |
2 J cos x |
2 J |
=у tg * + Y JC+ C-
15.^2sin2ydx.
Решение. Используя формулу 2sin2-|- — 1— cos л:,
находим:
^2sin2-|-dx= ^(l — cos x)dx «s ^ dx — ^ cos xdx =
=x — sin *4- C.
Спомощью метода подведения функции под знак дифференциала найти следующие интегралы.
16.\(х+ 1)t5dx.
Решение. Так как d(x + 1)= 1•dx, то данный вн~
теграл можно представить следующим образом:
5 (*+ i)l5d *= $ (*+ u l5d<*-H),
т. е. переменной интегрирования является х + I и
J(x+ 1)|5^(л + 1)--=-(х-+ °'6 + с .
17. \(3x-5)l2dx.
Решение. Представляя заданный интеграл в виде
J(3* - 5)i2dx = i- J(3* - 5)12•3dx
и учитывая, что 3dx = d(3x— 5), имеем
J(3jc - |
5)t2dx = |
- 5)l2d(3*—(5) = |
_ I |
(3 *- 5 )13 , |
(3x— б)[1 |
, ^ |
3 |
13 |
39 |
~l~ |
18. $sin(3* _ |
4)dx. |
|
|
Решение. Заметив, что d{Zx — 4) = Zdx, имеем:
^$in(3jc~4)rfjf= -^sin(3Jf — 4)*3d* =
= ~^sin(3x — 4)^(3* — 4)= — -i-cos(3* —
19. \xr\jxA-f 2dx.
Решение. Так как d{xi -f- 2)= 3x2dx, то, применяя
««год подведения под знак дифференциала, приводим вдгеграл к формуле 2 таблицы интегралов:
^x^x^+lldx = -1-|(д^4_2)1/5 . 3x*dx =
= 4 |
$(*г+ 2 г ‘ц * + 2>= i i i i + i r + с |
20Решение. Данный интеграл можно свести к формуле
4 таблицы интегралов, преобразовав его к следующему
виду:
COS2 X V m - t g *
Решение. Так какd(tgx + I) = ^ x ^х, то интеграл
можно привести к формуле 2 таблицы интегралов с по мощью подведения под знак дифференциала:
[ |
, |
t ---- =\(l + tgx)-,/2rf(l+tgx) = |
J |
cos |
дс~у I + tg х |
J |
|
в (1+ tg |
+ с ^ 2V l -h tg X + с. |
22.,^cos3jfsm2xdx. |
Решение. Так |
как rf(cos x) = —sin xdx, то имеем |
J cos3x sin 2xdx = 2 j cos4x sin xdx = |d(cos x)=
= —sin xdx\ = —2 ^ cos4 (cos jc)— —2 •c<^ x + C.
23' ST T T '
Решение. Представим данный интеграл следующим образом:
г |
x 2d x ___г |
|
x 2d x |
|
___ 1 |
г |
3 x 2d x |
__ I г |
rffx3) |
) У + 4 |
J(xY + 22 — Т |
) |
(x*f + |
22 — Т ) (x*f + 2-' |
Здесь |
переменной интегрирования |
является |
х |
Тогда с |
помощью формулы |
16 |
таблицы интегралов |
имеем |
I f |
У |
|
= 1 |
— arctg^- + С = -^ arctg— + С. |
3 ) |
(х*¥ + 2* |
3 2 |
|
|
2 |
6 |
ь |
2 |
24. [ xdx
) У э -jc4
Решение. Преобразовав интеграл, приведем его к
формуле 15 таблицы интегралов:
Решение. Так как 4(х2 + 7) = 2хdx, то, согласно
формуле 4 таблицы интегралов, имеем
г |
xdx |
__ 1 г |
2xdx |
____1_Г d(дг 4- 7) |
] |
^ + 7 |
2 j |
Jt! + 7 |
2 J x* + 7 ~ |
—у In |x2+ 7| + C.
Решение. Применяя формулу cos*>=*-i-(l +cos2x),
имеем
^cos2xdx= y ^(1 + cos 2x)dx = у ^ dx + -i- Jcos2x*2dx=
=у x + cos 2xd(2x) = у x + -j- sin 2x + C.
27.[ - P * - .
) e*1- !
Решение. Применяя формулу 18 таблицы основных
интегралов, получаем
|
г е* d x |
= \ |
f d (e * )I(Ie 1 |
— 1 I . r |
|
J — |
= t ln I t + t I + c - |
28. f |
*- |
|
|
|
J |
X~)j] - 6 |
In ЛГ |
|
Z' |
|
|
|
|
Решение. Так как d { l — 61nx) = — ~dx, то с по
мощью метода подведения под знак дифференциала и формулы 3 таблицы основных интегралов, имеем
[ |
dx |
= - [ |
tft| - 6ln^-= - 2 V l - e i n x + r. |
' |
ЛГ“У 1 — 6 In JC |
J |
-yj\ — 6 In X |
29-
Решение. Записав числитель в виде (х + 4) — 4, почленно разделив его на знаменатель и применив форму
лы 1 и 4 таблицы интегралов, имеем:
- 5 * - « Ь т т - ' - * д а -
= х — 41n|x + 4| + С.
30. 5^= Д < (Х .
Решение. Разделив почленно числитель на знаме
натель, получим сумму двух интегралов:
Г |
* 0 |
- |
<*) |
A v _ f |
x d x |
|
|
Г |
Л * |
) |
2 + *‘ |
) |
2 + jc* |
|
|
) |
2 + *< |
|
_ |
_J_ |
f |
2 x d x ___________ j |
f |
|
4x *d x |
|
|
2 ilx tf + (д/2>'j2}f |
T4J2+ X1 |
|
|
|
|
d (x 2)____________ I |
г |
d (x * + 2 |
|
|
|
(**)*+ |
|
4 J |
|
У +2 |
Впервом из них переменной интегрирования является д:2,
аво втором — х4+ 2. Применяя табличные 'формулы 16 и 4, получаем:
J_ Г й (х г)__________ 1 г |
d { x ' + 2) |
2 J (xj + (ifif |
4) |
** +2 _ |
= ± arctg |
- j- ln(je* + 2) + С. |
31. ^ Л +(arccos 2xf
V i —4л2
Решение. Разделив почленно числитель на знамена тель, с помощью метода подведения функции под знак дифференциала и формулы 2 таблицы интегралов, по
лучаем
г |
x-Harccos2.tr* |
|
Г xdxу г |
(arccos 2xf ^ |
_ |
J |
|
~\J\ —Ах2 J V 1— 4.*3 |
|
J |
д/к — Ах2 |
= _ |
' |
Г( 1 _ |
4* * )- 1/2( _ |
$x)dx _ |
I Г (arccos 2xf(—2)dx_ = |
|
8 |
J |
|
2 |
J |
Vl - (2JC)2 |
|
|
|
|
= _ |
J(i _ 4JT2)- l/2d(1 - |
4x2) ~ |
|
|
|
|
— -—^(arccos 2x)2d(arccos 2x) = |
|
|
= — |
-~-(l — |
4X2) '72 — |
-i-(arccos 2jc)3 + |
C = |
|
|
|
V l - 4JT4 |
arccos32лг |
+ c. |
|
32. sv
Реш ение. Умножая числитель и знаменатель под коренного выражения на 1— ху имеем
5 л Щ dx= \ ^ » + w - . ) dx=\ - j = T 'ix - |
= t —-ix - — ( — Х— |
= arcsin х -+- |
} д/[ — |
^ ~\j\ — |
х? |
-|- -1^(1 — Jf2)_1/2(—2jc)djc = arcsin x + |
+ ± J(J _ ^ )- '/ 2d(l - x2) =-arcsin jc+ V 1- x2+ C. |
33. 5 £ = ± ^ |
|
|
Решение. Записав |
числитель в виде (2х~ 4) + 3 |
и почленно разделив его на знаменатель, получим сумму
двух табличных интегралов 1 и 4:
\ ^ r dx= \ jM^ T ± d x = \ (2+ - ^ - ) dx= |
-= \d(x — 2) |
= dx\ = 2^dx + 3j di*z 'i} = |
= |
2x + 31n|x — 21 + C. |
Задачи для самостоятельного решения |
В задачах 4.1—4.40 найти интеграл. |
4Л- \ х^ + 9 dx' ( Ответ: |-1п (** + 91- у arctg i + С.)
4.2. |
[ ---- dx |
|
(О тв е т:------ !---- b С\ |
J |
arcsin2 |
|
V |
arcslnx |
) |
t з 2* ~ 3—- dx. (Огвгг: ln lr2— 3*-j-8l4-C.) |
j |
г |
— Здс -f - |
6 |
|
|
|
4.4. [ |
- |
dx |
( Ответ:4-arcsin |
+ СЛ |
|
J |
4/4 — Э*2 |
' |
|
' |
|
4.5. ( |
1+ ^j_ dx |
/Ответ:arcsin x ---- — |
+ СЛ |
j |
l/(I — |
|
\ |
-yjV—X1 |
' |
4.6. ^ ^ ~ | dx. |
(Ответ: x — 2 arctg jc+C.) |
|
4.8. \x(2 + in iy ( ° твет: !п|2 + 1лх|+С.)
4.9.1
4.10.'ттк- (0тает' - т п к + с)
4.11.х^2х- + bdx. ^ Ответ: i- (2JC + 5)3/2 + C.j
4.12. |
- ^ = г. (Ответ: ■§-(*- 1)3/2 + 2 ^ - 1+ С.) |
4.13. |
tg(3* + 4)d*. (Ответ: — у In |CO S(3JC+ 4)| |
4.14. |
(1 . V ? * ■ ( ° твет: х + !n(l + *2) + С.) |
|
1+ * |
4.15.( Огвет; i-arctg у + С.)
4.16. |
- | = |
. . (Ответ: |
|
|
|
|
,jV’ + C .) |
|
X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.17. |
Х(~Т7- |
|
1пК т Ч |
+ с -) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.18. |
|
(О гвет;--- U n i * |
~ |
^ |
|+ СЛ |
|
|
V |
|
2л/6 |
I JT + i/2/З |
I |
/ |
4.19. |
SID 2л'ЙД |
|
{ Отввт; |
—2д/2 + cos2л' + С.) |
|
■^2-(-cos2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.20. |
dx |
/ |
__ |
I |
|
|
|
|
|
sшг 5дг |
^ Ответ: — —ctg5x + C.^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21. |
W ^ w - |
( o ^ |
i W ^ |
+ |
c |
) |
|
|
4.22.~ = - (Ответ: | l n U 3+ V ^ = ^ l+ C )
4.23.— х -■dx. ( Ответ: уд/1п3|х| — бд/ln \х\ + С.\
4.24.e,’x2dx. (Ответ: у ^ + С.^
4.25.- 5тхС05^ (Ответ: - L J ^ b c + C . )
-\/с(У$г X- Sltt*JC \ |
/ |
4.26. ^ д/1 |
3 c o s 2 х sin 2 xd x. |
|
