М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

z

или z= ±о/д/2. Затем, подставив наеденное значение г

в уравнение конуса, имеем

х* + У2 = (а/д/2)2,

т. е. уравнение окружности. Это и есть уравнение проек­ ции линии пересечения данной сферы с конусом на пло­

скость Оху.

б) Уравнение плоскости Охг имеет вид у = 0. Подста­

вив у = 0 в уравнения сферы и конуса, получим:

jc2-f 22 = а2, х2— z2 = 0, 2 = ±х.

Это пара пересекающихся прямых (см. рис. 1.73). Здесь

—а/-^2 ^ х ^ а/л!%-

в) Так как лс = 0 — уравнение плоскости Оуг, то,

подставив jc= 0 в уравнения сферы и конуса, получим:

у2 + г2 = а\ у1 - г- = 0, у= ± 2,

-й/^2 <о/л/2-

Это также пара пересекающихся прямых (см. рис. 1.73).

171

6. Какую поверхность определяет уравнение г — = л-2/4 — у2/9?

Решение. Установим форму поверхности с помощью метода параллельных сечений. Пересечем поверхность плоскостью i/ = 0, в результате чего имеем:

г = *2/4 — у2/§, у = 0,

откуда х2= 42. Это уравнение параболы в плоскости 0*2. Сечением данной поверхности плоскостью х = О является парабола

у2= —9г, х = 0.

В результате пересечения поверхности плоскостью г = 0 подучаем пару пересекающихся прямых:

у=»±-§-*, г = 0.

Сечения поверхности плоскостями дг = Л дают пара­ болы, расположенные в плоскости x ~ h :

z ~ Ай/4 — уV9, x = h,

а сечения плоскостями z = h — гиперболы:

причем при Л > 0 действительная ось гиперболы парал­

лельна оси Ох, а при h < 0 — оси Оу. По виду полученных

сечений заключаем, что исходная поверхность — гипербо­ лический параболоид (см. рис. 1,67).

7.Построить тело, ограниченное поверхностями: z =

=9 — у2, 2 = 0, х = 0, у — 0, Зх + 4у = 12.

Решение. Уравнение 2 = 9 — у2 задает параболи­ ческий цилиндр. Его направляющая — парабола, распо­ ложенная в плоскости Ozy с вершиной в точке (0, 9).

Парабола пересекает ось Оу в точках у = ±3, ее ветви направлены вниз.

Уравнение Здс + 4у= 12 определяет плоскость, парал­

лельную оси Oz и отсекающую на оси Ох отрезок, величина которого равна 4, а на оси Оу — отрезок, величина кото­

рого равна 3. Уравнения 2 = 0, х = 0, у = 0 задают ко­ ординатные плоскости.

Таким образом, получаем тело, которое расположено

в первом октанте и изображено на рис. 1.74.

172

8.Построить тело, ограниченное поверхностями: 2 =

=х- + у\ х + у= 1, х = 0, у = 0, 2 = 0.

Решение. Уравнение г = х2-\-у2 задает параболоид вращения, дг -j- у = 1— плоскость, параллельную оси Ог, а дг = 0, у = 0, 2 = 0 — координатные плоскости. Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на рис. 1.75.

9. Построить тело, ограниченное поверхностями:

-I- у2 - Z 2 = 0 (2 > 0), 2 = 6 - JC2- у2.

Решение. Так как уравнение x2-\-y2= z2 задает

конус второго порядка, а г = 6 — х2 — у2— параболоид вращения с вершиной в точке (0, 0, 6), то получаем тело,

изображенное на рис. 1.76.

10. Построить тело, ограниченное поверхностями: 2= 4 — у2, у = Х 2/ 2 , 2 = 0.

Решение. Уравнения 2 = 4 — у2 и y = x2j1 опреде­ ляют параболические цилиндры, г — 0 — уравнение пло­ скости Оху. Параболический цилиндр 2 = 4 — у2 и пло­

173

Решение, Уравнение ^/4 -f- у2— г2/9 = — 1 задает двуполостный гиперболоид. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: x = t + 3, y = t-\- I, г = 3/ 6. Под­ ставляя выражения *(/), y(t), z(t) в уравнение двуполост­ ного гиперболоида, имеем

(/ +3)^/4+ ( / + lf - (3 / + 6)2/9= - I.

Решив это уравнение, получим / = 1. Подставив найден­ ное значение t в параметрические уравнения прямой,

имеем: *= 4, у = 2, 2 = 9, т. е. искомая точка — М(4, 2, 9).

Задачи для самостоятельного решения

1.330. НаЙтн точки пересечения поверхности и прямой:

1)*781+1/736+ 2 2/ 9 = 1и (х—3)/3 = (г/ —4)/( —б)=

=(г + 2)/4;

(Ответ: 1) (3, 4, ~2), (6, —2, 2); 2) (4, —3, 2), т. е. пря­ мая касается поверхности; 3) прямая лежит на поверх­ ности.)

1.331. Найти кривую, определяемую уравнениями

174

дг2/4— y2/3 = 2z, х — 2у + 2= 0. (Ответ: парабола (у —

— З)2= б(г +1).)

1.332. Определить тип указанной поверхности и по­

(Ответ: 1) параболоид вращения; 2) круговой цилиндр;

3) конус; 4) двуполостный гиперболоид; 5) параболиче­

ский цилиндр.)

В задачах 1.333— 1.342 определить тип указанной поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду.

Построить данную поверхность.

= — 12(г — 2) — эллиптический параболоид.)

1.335. 9х2— 16у2+ 144г2+ 96у — 576г + 144= 0. (От­

вет-: х2/32 — (у — 3)2/18 + (г — 2)2/2 = 1— однополостный гиперболоид^)

1.336. 2а2+ х2— 4лг — 4z2+ 4=0. (Ответ: 2у2+ (х —

— 2)2= МР- — конус.)

+ -у- — = — 1— однополостный гиперболоид^

1.338. jc2+ 3(/2— z2+ 2z = 0. (Ответ: x2+ - ^ — (z —

— I )2= — 1— двуполостный гиперболоид^

1.339. 2г> + у2+ 2г2— 4х + 4у + 4z + 7 = 0. ( Ответ:

(ДГ~21)2 + (у + 2f + (г^2')? = 1— эллипсоид)

1.340. jc2—6у2+ 3z2+ 8де + 12у+ 1=0^ Ответ:(^ 1 -

—^ + -|- — 1— однополостный гиперболоид.)

1.341. х2+ и2+ 2х — 2у — 2г — 2 = 0. (Ответ: (х + + 1)2+ ((/— 1) =2(z + 2 )— параболоид вращения.)

1.342. 2у2+ z2= I — х. (Ответ: 2у2+ z2= — (* — 1) — эллиптический параболоид.)

В задачах 1.343— 1.357 построить тело, ограниченное

указанными поверхностями.

1.343. * + t/ + z = 3, *2+-у2= 1, 2 = 0.

17л

1.344. х2+ у'г = аг, z = tnx (m > 0), 2 — 0.

1.345. az = x2— у2, z — 0, x = a (a> 0).

1.346. x2+ у2= a2, x2-\-z2= a2 (x ^ 0, у > 0, 2 :> 0). 1.347. 2 = 4 - у2, z = y2+ 2. x = - I, x = 2.

1.348. ys=-Wx, у — 2д/х, 2 = 0, * + 2 = 6. 1.349. 2 = o — x, у2 = ax (a>0), 2 = 0.

1.350. az = a2 — jr — y2, 2 = 0. 1.351. г2= 2ax, x2-j-y* = ax(a> 0).

1.352. x2 + y2-f 2Z = 4<r\ x2 + y2 = a2.

1.353. 4г= 16 — x2— y2, x2 -{-у2 = 4, г=»0. 1.354. 2 = x2-1- у2, у — x2, у = 1, г = 0. 1.355. x2+ y2+ 2 = a 2, x2-f- y2± ax = 0. 1.356. y24" 22 = 4ax, y2— ax, x — 3a (a>0).

1.357. az = x2+ y2, x2+ y2± ax = 0, 2 = 0.

1.19. ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ УРАВНЕНИЯМИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ

луч и, исходящий из точки О н называемый полярной осью; масштаб для измерения длин. Положение точки М на плоскости можно определить

двумя числами: г(Л1)= |ОМ| > 0, выражающим расстояние ог точки М до полюса, и q)(AJ)— величиной угла, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением ректора

ОМ (при этом ф(Л4) > 0, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, н *p(Af)<0 в противном случае). Числа г н <j>назы­ ваются полярными координатами точки М.

Полярный угол <р(/И) имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину 2яп, п£ Z). Значение поляр­

система координат Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой

176

При нахождении полярного угла <рнужно учитывать, в каком квадранте расположена точка, и выбирать соответствующее значение <р.

из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коорди­ натам в уравнении этой кривой, заданной в декартовых прямоугольных координатах с помощью записанных выше формул.

Обобщенными полярными координатами точки М называют ее полярные координаты г н <у, такие, что — оо < г < оо, — оо ■<<р<С со.

Чтобы построить точку М{г, ф) в обобщенной полярной системе координат, необходимо провести луч, образующий с полярной осью и угол q>, затем отложить на нем отрезок ОМ длиной |г|, если г > 0, и на его продолжении, если г <0. В дальнейшем под г и <р (если специально не оговорено) будем понимать полярные координаты точки.

Мы уже изучили параметрические уравнения прямой. Иногда удобно рассматривать параметрические уравнения линии. Пусть заданы функ­

уравнениями кривой (Г) в декартовой прямоугольной системе координат,

любой точки М(х, у) кривой (Г) существует такое значение параметра <£ Л, при котором ее координаты определяются нз уравнений х = <р(0. y = Исключение параметра t нз уравнений * = <р(/), (если оно возможно) приводит к уравнению, связывающему д; и у, т. е. к обыч­

y = f(x) или y = f\fy <€

Всякое уравнение линии в полярных координатах (г = г(<р)) можно записать в параметрическом виде:

х = г cos <р= f (<р)cos <f, y ~ r sin <р= /(<p)sin <p. Считая q>— t, имеем

f(t) COS t,\ fit) sin t.f

Примеры

1. Составить таблицу значений функции r = aq> для 0 ^ ф ^ 2л и построить с помощью этой таблицы график

функции л = а<р.

Решение. Составляем таблицу значений функции при а = I (табл. 1.1) и строим график. Полученная кривая называется спиралью Архимеда (рис. 1.79, а).

Спираль Архимеда, соответствующая положительным

значениям ф, раскручивается против хода часовой стрелки (рис. 1.79, б), а для отрицательных значений ф — по ходу

177

Таблица 1.1

часовой стрелки. При а > 1 длина полярного радиуса г

для точек спирали увеличивается в о раз, при а < 1— уменьшается в а раз.

2. Составить таблицу значений функции r = a( 1—

— cos <р) для 0 ^ <р^ 2л и с ее помощью построить график данной функции.

Решение. Положив о=1, составим таблицу значе­

ний функции (табл. 1.2) и построим ее график. Полученная кривая называется кардиоидой (рис. 1.80).

178

Для 2л ^ ф <1 4л полярный ра­ диус г принимает те же значе­ ния, что и ДЛЯ 0 ^ ф ^ 2л, т. е. получается тот же самый гра­ фик, и т. д.

3.Доказать, что уравнение

г= a sin ф задает окружность.

г = + у2, sin ф — у/г = у/У*2 + у*.

Подставив эти выражения в уравнение r = asin<p, по­ лучим:

у * 2+ уг = ay/-\jx2+ у\ х2+ у2= ау

или

X- + {y ~ a / 2 f = а2/А.

Это уравнение окружности с центром в точке 0(0, а/2) радиусом а/2.

З а м е ч а н и е . Аналогично можно доказать, что уравнение г — = a cos if задает окружность (дг — а/2)2+ у1= аг/4.

4. Составить таблицу значений функции г = азшЗф и построить ее график.

Решение. Положим а = 1. Угол ф может изменяться

только в тех пределах, для которых sin Зф ^ 0, т. е. при ф£(0; л/3] IJ12л/3; л]у[4л/3; 5л/3] (для ф£(л/3; 2л/3)и

U(л; 4n/3)(J (5л/3; 2л) графика не существует). Составим таблицу значений функции для фб[0; л/3

(табл. 1.3) и построим ее график, который для ф6[0; л/3

представляет собой кривую, похожую на «лепесток розы» (рис. 1.81), симметричный относительно луча ф=л/6.

В силу периодичности функции втЗф для ф£[2л/3; л]и

179