М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Следовательно, R является линейным пространством.

4. Образуют ли линейное пространство: а) многочлены

степени п; б) многочлены степени не выше п?

Реш ение, а) Обозначим множество многочленов п-й

степени через L. Рассмотрим многочлены:

М "Ь Р%{х) = (ао bo)xn-f- (fli -J- bi)xa 1 -j- + (□2 + 62)^ 2+... + (a«_i bn-\)x-\-an-\~bn-

Если bo= —ао, to (P\(x) + Pi{x))i L. Следовательно, множество многочленов л-й степени не является линей­

ным пространством.

б) Обозначим множество многочленов степени не выше

п через L'. Тогда при любых a,, bls i = 0, п, (Р\(х) + Р 2(х)) 6

£L', причем:

1)P i(x) + T>i(x )= P 2(x )+ P l(xy,

2)(Р,(х) + Р 2(х)) + Р3(х) = />,(х) + (Р2(х) + Рз(х))\

70

— ai*rt~ 1— a2x"~ 2— ... — an.

Для любого A.£ R и P\(x)£L'

XP, (x) = Xaox" + Xa\xn~ 1+ + Xan, XPi(x) 6 V,

т. e. определена операция умножения многочлена на число,

удовлетворяющая условиям:

Итак, множество L' многочленов степени не выше п образует линейное пространство.

5. Образуют ли линейное пространство все векторы трехмерного пространства, координатами которых явля­ ются целые числа?

•Реш ение. Обозначим множество таких геометриче­ ских векторов через L. Проверим, удовлетворяют ли эле­ менты множества L определению линейного пространства.

I. Для любых х, у 6 ^ х + у 6 £.

II. Для A,£R А,х не всегда принадлежит L. Так, например, если X —дробное число, то Лх £ L.

Следовательно, L не образует линейное пространство. 6. Образуют ли линейное пространство все векторы

плоскости, лежащие на данной прямой?

Реш ение. Да, образуют, так как сумма таких век­

торов всегда является вектором, лежащим на данной пря­

мой, а умножив данный вектор на любое число R, получим вектор, лежащий на этой прямой. Обе операции удовлетворяют свойствам 1—8.

7. Образует ли линейное пространство множество

квадратных матриц порядка п, элементами которых явля­ ются действительные числа?

Реш ение. Рассмотрим множество L квадратных’ мат­

риц второго порядка. Проверим, удовлетворяют ли элемен­

71

т. е. сумма двух квадратных матриц также является квадратной матрицей. Операция сложения удовлетворяет свойствам I —4, так как элементами матриц являются действительные числа, для которых справедливы пере­ местительный и сочетательный законы. Роль нулевого

iS:R

причем данная операция удовлетворяет следующим

рого порядка образует линейное пространство, базисом которого являются матрицы:

З а м е ч а н и е . Можно доказать, что множество квадратных мат­ риц любого порядка является линейным пространством.

8. Показать, что векторы а = — i + 3j + 2k, b = 2i —

— 3j — 4k и с = —3i -J- 12j + 6k линейно зависимы.

Реш ение. Если векторы а, Ь, с линейно зависимы, то

равенство оца + а2Ь + а3с = 0 выполняется в томслучае,

Отсюда получаем систему уравнений

—a i+ 2a2— За3= 0, ^

72

матрица которой

2 - 3

3 - 3 12

2 - 4 6

Найдем ранг матрицы А с помощью элементарных

преобразований. Умножим первую строку на 3 и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на 2 к прибавим к третьей:

Если положить, например, аз= — 1, то ai = 5, a.2~ U и

зависимость между векторами а, Ь, с имеет вид 5а 4 Ь —

—с = 0.

9.Убедиться в том, что совокупность линейных комби­

наций векторов a i= (l, 0, 0, — 1), а2 = (2, 1, 1, 0), а3— = 0, 1, I, 1)- »« = (!, 2, 3, 4), as = (0, 1, 2, 3) образует

линейное пространство; найти базис и размерность этого пространства.

Реш ение. Совокупность линейных комбинаций дан­ ных векторов образует линейное пространство, так как она замкнута относительно операций сложения и умноже­

ния на R.

Среди векторов ai, а2, а3, а4) as находим те. которые являются линейно независимыми.

Исследуем на линейную зависимость векторы ai, аг.

73

выполняется только в том случае, когда а = 0, 0 = 0. Под­ ставляя в равенство ( 1 ) координаты векторов at, аг, имеем:

а (1, 0, 0, — 1) + 0(2 , 1, 1. 0) = (0, 0, 0, 0)

или

(а + 2р, р, р, — а) = (0, 0, 0, 0).

Отсюда получаем систему уравнений

а + 2р = 0, р = 0, — а = 0.

Очевидно, что а = 0, р = 0 — единственное решение этой системы. Следовательно, аи а2— линейно незави­ симые векторы.

Исследуем на линейную зависимость векторы ai, а2,

аз. Они являются линейно независимыми, если равенство

(2)

выполняется только при а =0, р = 0, у = 0. В координат­

ной форме равенство (2 ) имеет вид

о (1, 0, 0, - 1)+ р (2, 1, 1, 0) + v(l, 1, 1, 0) =

= (0, 0, 0, 0)

или

(cc + 2p + Y> P + Y, P + Y, - o + v) = (0, 0, 0, 0).

Отсюда получаем систему уравнений

а + 2р + у = 0, р + у = 0, — а + Y — O,

определитель которой равен нулю. Следовательно, данная система имеет ненулевые решения. Находим их:

Полагая у = t € R. получаем решение системы (/, t, t),

где / £ R. Например, а = 1 , 0 = 1 , 7 = 1 — одно из таких

решений. Следовательно, векторы ai, а2, аз линейно за­

висимы и эта зависимость имеет вид ai — а2+ аз = 0. Исследуем на линейную зависимость векторы а.\, а2, а4. Они являются линейно независимыми, если равенство

выполняется только при а = 0, р = 0, у — 0. В коорди­

натной форме равенство (3) имеет вид

а(1, 0. 0, -1)4-0(2, 1, 1, 0 )+ Т(1, 2. 3, 4) = = (0, 0, 0, 0)

74

или

(а + 2р + Т) P + 2Y , Р + Зу, - а + 4у) = (0. 0, 0, 0).

Отсюда получаем систему уравнений

a + 2p+ Y - О Л

р + 2у = 0, 1

Р+ 37 = 0, f

—a 4-4y = 0,J

которая эквивалентна системе

a + 2p + T= 0, ^

- а + 4у = 0, > v = o. J

Определитель этой системы Д = 2 ^ 0, поэтому она имеет

только нулевые решения: a = 0, р = 0, у = 0. Следова­ тельно, векторы ai, аг, а* линейно независимы.

Исследуем на линейную зависимость векторы ai, aj, а<, as. Они являются линейно независимыми, если ра­ венство

выполняется только при а = 0, Р = 0, Y — 0, а = 0. В коор­ динатной форме равенство (4) имеет вид

а(1, 0, 0, - 1 ) + р(2, I, 1, 0) + Y (1, 2, 3, 4) +

+ а{0, \,Л, 3) = (0, 0, 0, 0)

или

{ a + 2 p + Y . Р + 2 у + а ,

Р + Зу + 2а, —а + 4у + За) = (0, 0, 0, 0).

Отсюда получаем систему уравнений

р + 3у + 2о = 0, I a -j- 4у ■+■3a = 0, )

определитель которой равен нулю. Следовательно, эта си­ стема имеет ненулевые решения, а векторы аь аг, а*,

а5 линейно зависимы.

Таким образом, наибольшее число линейно независи­ мых векторов рассматриваемого линейного пространства

равно 3, а это означает, что и размерность данного

пространства равна 3. В качестве базиса можно взять систему векторов ai, аг, а4-

75

10. Найти базис и размерность линейного пространства полиномов степени не выше п.

Реш ение. Пусть L' — линейное пространство поли­

случае — полином степени не выше п) линейно выражает­ ся через векторы 1, х, х2, ..., хп. Следовательно, эти векторы образуют базис пространства U , размерность которого равна л+ 1. Числа aj, аг, <xn+i являются

координатами вектора Р(х) в данном базисе.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1.152— 1.155 выяснить, образует ли данное

множество линейное пространство.

1.152. Векторы плоскости, концы которых лежат во втором квадранте. (Ответ: нет.)

1.153. Векторы пространства R3, у которых первая и последняя координаты равны между собой. (Ответ: да.)

1.154. Векторы пространства R3, координаты которых удовлетворяют уравнению х\ -\-*2 + хз = 0. (Ответ: да.)

1.155. Множество Л^(Л) решений системы линейных однородных уравнений АХ=*0. (Ответ: да.)

1.156. Даны векторы a = 2ei — е2, Ь = е ( +3е2, где е(, еа — базис. Доказать, что векторы а, b образуют базис, и найти координаты вектора с = 3ei — 2е2 в этом базисе.

76

образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1.159. а = в |+ е 2, b = 2ei— е2+ е3, c = e2 — е3, d =

= —ej — 2е2— е3, d = ej. {Ответ: d =(1, — 1, 1).)

1.161. а = е| -{- 4е2 -|- 2е3, b = 2еi -)- 9е2-|- 6е3, с = 3®i —

— e2 -j-e3, d = ei+ 3 e2. {Ответ: d= {3, — 1, 0).)

1.162. а = 3ei + е2+ е3, b = 4е, -j- е2 + 2е3, с = —5ei + + е2 + 2е3, d = 2e,+3e2 + 5e3. {Ответ: d = (l, 1, 1).)

1.163. а = е2 + 7е3, b = 2ei+9e3, c = e i— 2е2— Зе3, d= —3ei+ e2. {Ответ: d = {3, — 2,1).)

В задачах 1.164, 1.165 показать, что векторы ei, е2, е3, е4образуют базис, и найти координаты вектора а в этом

е« — (0, 1, — 1, — 1), а = (0, 0, 0, 1). (Ответ: а = (i , 0, — 1, 0).)

1.9.ЕВКЛИД ОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Действительное линейное пространство V называется евклидовым пространством, если каждой паре векторов к н у из V поставлено в соответствие действительное число (х, у), называемое скалярным про­ изведением векторов х и у, к выполнены следующие условия:

Длиной или модулем вектора х называется число lx! = V(*" *)■ Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным.

Имеют место следующие соотношения:

1) |х| — 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)|А.х| = |А.| |х|, Хб»;

3)1(х, у)| < |х| |у| (неравенство Коши — Буняковского);

4)I* + у! !*1 + 1у1 ( неравенство треугольника).

77

Угол <р, для которого

СО59= 1 Т О Г (0<ф<2п)’

Базис л-мерного евклидова пространства называется ортонормиро­ ванием, если базисные векторы составляют ортонормнрованную систему. Во всякой л-мерном (п > 2) евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Процесс построения ортонормироваиного базиса по данному на­ зывается ортогонализацией данного базнса. Этот процесс можно описать

евклидова пространства ортогонален каждому из векторов ai, аг, ..., ая, то он ортогонален и любому вектору г ли­ нейного пространства, являющемуся линейной комбина­ цией векторов ai, аг, ..., at.

Реш ение. Пусть z = aiai + агаг -+■... 4-о.пйп. Пока­ жем, что x_Lz, т. е. (х, z) = 0. Находим

78

(x, z)=*=(x, а|Э| + агЭг + •••+ сСпЯд)=

=(х, а,а,) + (х, а2а2)+ ... + (х? а„а„) =

=ai(x, a i)+ a 2(x, а2) +... + а„(х, а*) = О,

так как по условию (х, af) =0, i = I, п.

3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей парал­

лелограмма равна сумме квадратов его сторон (рис. 1.18).

Реш ение. Имеем

|х + у|2+|х — y|2= (x-fy, х + у) + (х — у. X — у) = = Ы, х) + (у, х) + (х, у) + (у, у) + (х, х) — (у, х) —

— (х> у) + (у> у) =2|х|2 + 2|у|2.

4. Пользуясь скалярным умножением векторов, дока­ зать, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произ­

ведения этих сторон на косинус угла между ними. Реш ение. Из рис. 1.19 следует:

т. е.

|х— у|2= |х|2-Н у|2— 2 |хI |у I cos

5. В пространстве R3 с базисом i, j, к даны три линейно независимых вектора: ai =*{3, —2, 1), а2 = (2,

1,2), аз = (3, — 1, —2). Считая векторы аь а2, а3 некоторым базисом в R3, построить по ним ортонормированный

базис.

Реш ение. Положим ei = ai, е2 = а2 + Яе|, ез = аз +

+Aiei-f Аге2. Тогда et =(3, —2, 1). Должно выполняться равенство

{е2, е() = (а2 4- Яе|, е() = (а2, е,) + Я(в|, ei) =0,

из которого следует:

79