М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfРеш ение. Матрица |
|
|
||
f(A) = 3A2-2A + 4 £ = 3 |
3 |
о |
||
|
|
|
1 |
5 |
|
1 |
О |
|
|
|
+ 4 |
1 |
|
|
|
О |
|
|
|
27 |
О |
о |
|
|
- С |
75 |
|
|
|
24 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
1,18. Даны матрицы
П- з
А = 3 |
-г4 |
2 |
- 5 |
Найти АВ,.(1« Ответ:
1.19. Даны матрицы
3 4
Ч * -*]■ Ч 2 5
Проверить, верно ли равенство (А + B)2 = j424-2AS+
~\-В2. (Ответ: нет.)
1.20. Вычислить А3, если
|
А = |
! . |
з I I |
Отлет: |
15 |
20 |
]) |
|
20 |
35 |
|||||
1.21. Вычислить А2, если |
|
|
|
||||
А |
2 |
1 |
l l |
Ответ: |
|
|
|
3 |
1 |
0 . |
|
|
|
||
|
0 |
1 |
2J |
|
|
|
|
L22. Вычислить Лб —
21 °1
А= 1 1 2 * -1 2 •J
20
( < w . . p |
|
|
|
- |
i j ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.23. Доказать, что матрица |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
2 |
|
О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
|
|
|
|
1.24. Найти ,2/(Д) - |
3Ф(Л), если: А = ^ |
является корнем мно |
||||||||||||||
^ |
* |
|, f(x)= |
|
|||||||||||||
*1 |
,м = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"-18 |
40 |
) |
||
—=х* — х1-+■Ъх + 4. fffxi^x1—2* + 1. ^Ответ: Г |
О |
62 |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
1.25. Найти5 АВ,2 |
если:— 2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2" |
|
|
|
|||||
А - |
6 |
4 |
— 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
— 1 - 5 3 |
|
|
|
|||||||||
А |
О |
— |
о , |
в |
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
У |
1 |
|
о |
|
|
|
|
16 |
24 |
8 |
|
|
|
|
|
|
7 |
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- 2 4 |
|
- 4 8 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
— 40 |
— 80 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- 3 2 |
|
- 6 4 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
- 7 2 |
|
- 8 0 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.26. Вычислить АВ, если: |
|
'7 |
8 |
6 |
9" |
|
|
|||||||||
|
2 |
— 1 |
|
3 |
— 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
7 |
4 |
5 |
|
|
|||||||
А = 3 - 2 |
|
4 - 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
. В = |
4 |
5 |
6 |
|
|
|||||||||
|
5 |
- 3 |
|
— 2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||
Ответ: |
10 |
|
17 |
19 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
17 |
|
23 |
27 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
16 |
|
12 |
|
9 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1.27. Найти f(A), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
А = |
|
1 |
- |
2 |
3‘ |
/(*):= 3 ^ - 2 * + |
5. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
- 4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
21 |
—23 |
15 |
) |
(Ответ: -13 |
4 |
10 |
-9 22 25
1.28.Даны матрицы:
’ \ 2 О |
|
Г |
231 |
Г |
|
|
1 2 Г |
||||
А = 0 1 2 , В - |
|
- 1 |
|
0 , с =* 0 1 2 |
|||||||
3 1 и |
|
|
L 1 2 -1 |
15 |
|
3 1 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
) |
|
|
Вычислить ABC. I Ответ: |
- 5 |
5 |
9 |
|
|
||||||
|
|
|
(■ |
|
|
12 |
26 |
32 |
|
|
|
1.29. Найти АВ, если: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
'5 7 - 3 |
|
— 4 |
|
*1 2 3 4 ’ |
||||||
А = |
7 |
6 |
— 4 |
|
- 5 |
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 4 |
- 3 - 2 . в |
— 1 3 |
5 7 |
||||||||
|
8 |
5 |
- 6 |
|
-1 |
|
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
8 |
6 |
4 |
|
2~ |
\ |
|
|
|
|
|
Ответ: |
5 |
0 |
- 5 |
— 10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 9 |
8 |
|
7 |
/ |
|
|
|
|
|
|
1.30.Найти АВ, если: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
-1 |
2 |
1 |
|
6 |
0 |
|
- 2 |
Г |
||
А -= - 2 |
|
3 |
0 0 |
В = |
1 3 |
|
0 — 1 |
||||
4 |
-1 |
1 |
1 |
|
-1 |
2 |
1 |
5 |
|||
3 - 3 — 1 2 |
|
0 0 - 2 |
1 |
||||||||
|
- 3 |
|
1 |
|
0 |
12 |
|
|
|
|
|
Ответ: |
- 9 |
|
9 |
|
4 |
- 5 |
|
|
|
|
|
22 |
|
— 1 |
|
- 9 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
16 |
|
— 11 |
— 11 |
3 |
|
|
|
|
||
1.31.Доказать, что матрица |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
I |
- 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
А = ' О |
3 |
О |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
— I |
4 |
2 |
|
|
|
|
22
является |
корнем |
многочлена |
f(x) ~ х3— 6x2+ 11 х — 6. |
|||||||
1.32. Дана |
матрица |
А = |
1 |
- 2 |
Вычислить Л3. |
|||||
3 |
- 4 |
|||||||||
( 0геет' [ 21 |
|
“ и |
] ' ) |
|
|
|
|
|
||
1.33. Вычислить А5, если |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
'1 |
|
|
304 |
-61 |
■) |
|
A = |
[ i |
|
|
{ ° т е т : |
305 |
-62 |
|||
1.34. Вычислить АВ, если |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
— |
1 |
|
3 |
|
|
1 |
4 |
0 |
А = |
|
|
В - |
2 |
1 |
0 |
||||
- 2 |
|
3 |
— |
1 |
|
|||||
|
|
-1 |
- 2 |
1 |
||||||
|
3 |
|
4 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
) |
|
- 3 |
2 |
-1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
|
7 |
— |
2" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
|
1 |
— |
3 |
|
|
|
|
|
|
11 |
16 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ О ПРЕД ЕЛИТЕЛЕЙ
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Если А =1 |
4,11 |
а'2 I, то определителем второго порядка числовой |
I |
й! | |
йгг J |
матрицы А называется число |
||
d e U - |e" |
° |г |
| 021 |
022 |
Если |
|
ап а|} ai3
А= 021 <*22 Огз
Й31 <*32 Дзз
то определителем третьего порядка числовой матрицы А называется число
|
a,i |
ЧI3 |
|
det А = Оз| |
Д22 |
|
ОЗ] |
Й32 ДЗЗ |
+ |
"Ь O21O32O13— Д13Л22Л31 0)2^21^33 ’■*“ |
|
|
—ЯзгЛгзО!|. |
|
23
Если |
|
|
an |
tzi? ... |
Oin |
д _ Osi |
Лгг •• |
а2« |
0 „ i |
Оя2 ... |
Q tvt |
то жределтель л-го порядка |
|
|
on, n = 1, |
|
|
2 Oi,(—I)I+'S,|. rt> 1, |
||
где Вц — определитель матрицы,i |
полученной из матрицы А вычеркива |
|
нием первой строки и /-го столбца.
Пусть дана квадратная матрица порядка п. Выберем в ней произ вольно s строк и s столбцов (I < s < л). Элементы, стоящие на пере сечении s строк и s столбцов, образуют матрицу порядка s. Определи тель этой матрицы называется минором порядка s матрицы и обозна чается М. Минором АГ, дополнительным к минору М, называется опре делитель матрицы, полученной в результате вычеркивания тех s строк и £ столбцов данной матрицы, которые входят в минор М.
Алгебраическим дополнением минора М называется дополни тельный к нему минор ЛГ, умноженный на ( — 1)°, где о — сумма номеров тех строк и столбцов матрицы, которые входят в минор М.
Каждый элемент аг, матрицы n-го порядка является минором пер вого порядка. Дополнительный минор является определителем порядка
п — 1. Алгебраическим дополнением Ait элемента называется минор
Мц, умноженный на ( — IУ+ т. е, Ац = ( — 1/+'Л^. Строки и столбцы матрицы называются ее рядами. Под двумя параллельными рядами будем понимать две строки или два столбца матрицы.
Теорема 1 (о разложении определителя по элементам ряда). Опре делитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда и алгебраических дополнений этих элементов.
Теорема 2 (Лапласа). Определитель матрицы порядка п равен сумме произведений всевозможных миноров k-го порядка (k < л), которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов, и алгебраических дополнений этих миноров.
Приведем основные свойства определителей.
1.Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.
2.Если поменять местами два столбца (две строки) определителя, то ои изменит знак на противоположный.
3.Если определитель содержит два одинаковых столбца (две одинаковые строки), то он равен нулю.
4.Умножение всех элементов одного ряда определителя ка число R равносильно умножению самого определителя на k.
5.Если асе элементы одного из рядов определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Если соответствующие элементы двух рядов определителя про порциональны, то он равен нулю.
7. Если каждый элемент /-го ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то данный определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, одни из которых в /-м ряду содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые;
остальные элементы одинаковы. 24
8. Если к элементам одного ряда определителя прибавить эле
менты другого его ряда, умноженные на число к g R, то величина опре делителя не изменится.
П рим еры |
|
|
|
|
1. Дана |
матрица |
|
|
|
|
~-2 |
3 |
О' |
|
|
А = |
1 |
- 1 |
5 |
|
|
4 |
2 7 |
|
Вычислить det/4 различными способами. |
||||
Реш ение. / способ. |
Непосредственно находим |
|||
2 |
3 0 , |
|
|
|
I — 1 ' — 2(— 1). 7+ 3-5-4 + 1-2-0 +
42
+1-0- 4 — 1*3-7 + 2- 2- 5 = 73
/7 способ. Применим теорему о разложении опреде лителя по элементам ряда:
|
- 2 |
3 |
0 |
= ( — 2 )( — 1)1+ | |
1 |
к |
deti4 = |
1 |
— 1 |
5 |
— 1 |
о |
|
|
4 |
2 |
7 |
|
2 |
7 |
|
|
|
|
+3(-1) 1+2 4 7 = ( — 2 )(— 17) — 3 (— 13) = 73.
2.Используя теорему о разложении определителя по
элементам ряда и свойства определителя, вычислить1 5
|
2 |
3 |
- 4 |
1 |
|
D = |
- 3 |
2 |
1 |
0 |
|
— 1 |
4 |
3 |
2 |
||
|
|||||
|
1 |
- 2 |
5 |
7 |
Реш ение. Применим теорему о разложении опреде
лителя ко второй его строке. Согласно свойству 8 опреде лителей, на месте первого и второго элементов второй строки можно получить нули. Для этого прибавим к пер вому столбцу третий, умноженный на 3, а ко второму столбцу — третий, умноженный на —2. Получим
25
|
-10 |
11 |
—4 |
1 |
|
|
|
- 1 0 |
I I |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
D = |
= K — I f |
+ 3 |
8 - 2 |
2 |
||||||
8 - 2 |
3 2 |
|
||||||||
|
16 |
-12 |
5 |
7 |
|
|
|
16 |
— 12 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Прибавим первую строку полученного определителя |
||||||||||
к последней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 1 0 |
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
— 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
- 1 |
8 |
|
|
|
|
Прибавим ко второй строке последнего определителя первую, умноженную на —2, а к третьей строке — пер вую, умноженную на —8. Получим
|
- 1 0 |
П |
1 |
D = |
28 |
—.24 |
0 |
|
86 |
- 89 |
0 |
Применив теорему 1 к третьему столбцу этого определи теля, найдем
|
-10 |
11 |
1 |
|
|
|
D = |
28 |
-24 |
0 |
= |
|
|
|
86 |
-89 |
0 |
|
|
|
28 |
-24 |
|
|
7 |
- 6 |
= 428. |
= - ( - D 3+l 86 |
-89 |
= —4 86 |
-89 |
|||
3. Вычислить определитель |
|
|
|
|
||
|
2 |
- 5 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
7 -1 |
4 |
|
|
|
|
5 |
- 9 |
2 |
7 |
|
|
|
4 |
- 6 |
1 |
2 |
|
|
Реш ение. Прибавим к первому столбцу третий,
умноженный на —2, ко второму — третий, умноженный на 5, и к четвертому — третий, умноженный на —2. Имеем
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
— 1 |
6 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 - 1 |
|
1 |
0 |
26
Разложим полученный определитель по элементам
первой строки;
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
D = |
-1 |
2 |
|
-1 |
6 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
-1 |
|
I |
0 |
|
|
^ ( _ 1 >.+» |
-1 |
2 |
6 |
|
— 1 |
2 |
6 |
1 |
1 |
3 |
= |
1 |
1 |
3 |
|
|
2 |
--1 |
0 |
|
2 |
- 1 |
0 |
Прибавив к первой строке последнего определителя
вторую, умноженную на —2, получим определитель
D = |
- 3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|
|
2 |
- 1 0 |
|
Разложив его по элементам третьего столбца, имеем
D = |
- 3 |
0 |
0 |
= 3 (-1 )2+3 |
—3 |
0 |
= - 9 . |
1 |
1 |
3 |
|||||
|
2 |
-1 |
0 |
|
2 |
— I |
|
|
|
|
|
|
4. Используя теорему Лапласа, вычислить определи
тель
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
D = |
2 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
-1 |
- 2 |
5 |
|
|
|
Реш ение. Применяя |
теорему |
Лапласа |
к |
первому |
||||
и второму столбцам данного определителя, имеем |
|||||||||
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
4 |
2 |
3 |
|
I + 2 + 2 + 4 |
2 |
3 = 14. |
0 |
0 |
1 2 |
4 — 1 ( - 1) |
|
1 |
2 |
|||
4 |
- I |
—2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1.35— 1.54 вычислить определитель третьего порядка:
27
1.35. 3 |
2 |
4 |
.36. 4 |
2 |
— 1 |
2 |
5 |
3 |
5 |
3 |
- 2 |
* |
4 |
2 |
3 |
2 |
- 1 |
|
{Ответ: |
—3.) |
|
(Ответ: |
1.) |
|
||||||
1.37. |
3 |
|
4 - |
5 |
1.38. |
I |
|
4 |
|
6 |
||
|
8 |
|
7 - 2 |
|
2 - 1 - 7 |
|
||||||
|
2 - 1 |
|
8 |
|
3 |
|
5 - 2 |
|
||||
|
(Ответ: |
0). |
|
(Ответ: |
47.) |
|||||||
1.39. |
4 - 3 |
|
5 |
1.46. |
l |
i t |
|
|
|
|
||
|
3 - 2 |
|
8 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
I - 7 - 5 |
|
1 |
3 |
|
6 |
|
|
||||
|
(Ответ: |
|
100.) |
|
(Ответ: |
1.) |
|
|||||
1.41. |
1 |
1 |
|
1 |
1.42. |
1 |
5 |
|
25 |
|
||
|
4 |
|
5 |
|
9 |
|
1 |
7 |
|
49 |
|
|
|
16 |
25 |
81 |
|
I |
8 |
|
64 |
|
|||
|
(Ответ: |
20.) |
|
(Ответ: |
6.) |
|
||||||
1.43. |
2 |
5 |
7 |
|
|
1.44. |
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
8 |
5 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
3 |
|
|
8 |
7 |
3 |
|
|
|
0 |
5 |
|
-1 |
|
|
|
(Ответ: |
|
—202.) |
|
(Ответ: |
—29.) |
||||||
1.45. |
- 1 |
5 2 |
1.46. |
|
6 |
|
3 |
|
0 |
|||
|
|
0 |
8 4 |
|
|
4 |
|
1 |
|
- 3 |
||
|
|
2 |
3 8 |
|
- 2 |
|
- 3 |
|
2 |
|||
|
(Ответ: —44.) |
|
(Ответ: |
—48.) |
||||||||
1.47. |
2 |
1 |
|
|
-11.48.4 |
|
1 |
2 |
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
- 1 2 |
|
3 |
|
||
|
— 1 3 |
|
|
2 |
- 2 |
3 |
1 |
|
||||
|
(Ответ: |
|
|
20.) |
(Ответ: —31.) |
|||||||
1.49. |
|
I |
17 |
|
—7 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
- I |
13 |
|
I |
|
3 |
I |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
||
|
(Ответ: |
180.) |
|
(Ответ: |
18.) |
|||||||
ш . |
1 |
2 |
3 |
|
|
1.52. |
а + х |
|
X |
X |
||
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
X |
Ь + х |
X |
|||
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
X |
|
X |
+ |
||
|
|
|
|
|
|
С X |
||||||
|
(Ответ: 0.) |
|
(Ответ: (ab + be+ са)х + abc.) |
|||||||||
28
1.53. |
а |
+1 |
|
ab |
ас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
b2+1 |
Ьс |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ас |
|
|
Ьс |
с2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
ХМ. |
(Ответ: 1+ о2 + Ь2+ с2.) |
|
|
|
|
|
|
||||||
cos 2а |
cos2 a |
sin2 а |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos2p |
cos2p |
sin2p |
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos 2 ^ |
cos2 v |
sin2 у |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(Ответ: |
0.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах |
1.55— 1.64 вычислить определитель четвер |
||||||||||||
того порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.55. |
— 3 |
|
9 |
3 |
6 |
1.56. |
2 - 5 |
|
4 |
3 |
|||
|
—5 |
8 |
2 |
7 |
|
|
3 - 4 |
|
7 |
5 |
|||
|
|
4 - 5 - 3 - 2 |
|
|
4 - 9 |
|
8 5 |
||||||
|
|
7 —8 - 4 |
- 5 |
|
- 3 |
2 - 5 3 |
|||||||
|
|
|
|
(Ответ: |
18.) |
|
|
|
(Ответ: 4.) |
||||
1.57. |
|
3 |
— 3 |
— 5 |
8 |
1.58. |
3 |
_ з |
—2 |
- 5 |
|||
|
- 3 |
|
2 |
4 - 6 |
|
2 |
|
5 |
4 |
|
6 |
||
|
|
2 |
- 5 |
- 7 |
5 |
|
5 |
|
5 |
8 |
|
7 |
|
|
- 4 |
|
3 |
5 - 6 |
|
4 |
|
4 |
5 |
|
6 |
||
|
|
|
|
(Ответ: |
18.) |
|
|
|
(Ответ: |
20.) |
|||
1.59. |
3 |
- 3 |
|
- 2 2 |
|
1.60. |
3 |
- 5 |
2 |
- 4 |
|||
|
- 4 |
7 |
|
4 4 |
|
- 3 |
|
4 - 5 |
|
3 |
|||
|
4 |
- 9 |
|
- 3 7 !*• |
- 5 |
|
7 |
- 7 |
|
5 |
|||
|
2 —6 —3 2 |
|
8 - 8 |
5 - 6 |
|||||||||
|
|
|
(Ответ: 27.} |
|
|
|
(Ответ: |
17.) |
|||||
1.61. |
1 2 |
3 |
4 |
|
1.62. |
2 |
|
2 |
3 |
|
4 |
||
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
|
- 2 |
|
1 |
- 4 |
|
3 |
|
|
3 |
4 |
1 2 |
|
|
|
3 |
—4 |
— 1 |
|
2 |
||
|
4 |
1 2 |
3 |
|
|
4 |
|
3 |
- 2 |
-1 |
|||
(Ответ: 160.) |
|
|
|
(Ответ: 900.) |
|||||||||
1.63. ‘3 |
1 1 1 |
|
|
М И . |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
1 3 |
1 1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||
|
1 1 3 |
|
1 |
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
4 |
10 |
20 |
|
|
|
(Ответ: 48.) |
|
|
|
(Ответ: 1.) |
|
|||||||
2