М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

1.5.РАНГ МАТРИЦЫ. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА К РО Н ЕКЕРА — КА ПЕЛ Л И ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рангом матрицы А (обозначается гл) называется наибольший порядок г отличных от нуля мнноров матрицы А, а базисным минором — любой минор порядка г, отличный от нуля. Если в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка к, а все миноры порядка k I равны нулю, то ранг матрицы А равен к.

Для нахождения ранга матрицы А применяют метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице А найден минор М А-го порядка, отличный

миноров найдется ненулевой минор (к -f 1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

Элементарными преобразованиями матрицы называются-.

1) умножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;

3) перестановка двух параллельных рядов матрицы.

Теорема 1. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы.

+ am$xt + ...+ amaXt = bm. )

Матрица

aw #12

называется матрицей системы (1.3), а матрица

полученная присоединением к А столбца свободных членов,— расши­ ренной матрицей системы (1.3). Легко видеть, что ранг матрицы А либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего. В матричной записи система (1.3) имеет вид

АХ = В ,

где _¥ = [*, х3 ... x„]T; B = lbi b2 ... bm\T.

40

Упорядоченная совокупность чисел (ci, сг...... с„) называется решением системы (1.3), если каждое из уравнений системы (1.3) обращается в верное равенство после подстановки вместо jci, J T J , .... хл соответственно ct, с?, .... сл. Матрица С = [с, с2 ... с„\т называется

вектор-решением данной системы.

Система (1.3) называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы; в противном случае она называется не­ совместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система, имеющая более одного решения, назы­ вается неопределенной.

Теорема 2 ( Крокскера — Калеллн). Для того чтобы система (1.3) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Базисными неизвестными совместной системы называют те неиз­ вестные, коэффициенты при которых образуют базисный минор матрицы системы; остальные неизвестные называют свободными.

Решение системы линейных уравнений осуществляют следующим образом.

1. Находят ранг матрицы А и ранг расширенной матрицы а . Если rA гЛ, то система несовместна.

2.Если г4= г% — г, выделяют базисный минор и базисные не­ известные.

3.Данную систему заменяют равносильной, состоящей из тех г уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.

4.Если г = it, т. е. число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение, кото­ рое можно найти по формулам Крамера.

5.Если г < л, т. е. число базисных неизвестных меньше числа

неизвестных системы,' то из системы, полученной в п. 3, находят вы­ ражение базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечное множество решений исходной системы.

Система (1.3) при Ь, = Ьч = ...= bm= 0 называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как ранг ее матрицы

равен рангу расширенной матрицы.

(т = п), то для того чтобы однородная система имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Если ранг матрицы системы однородных линейных уравнений мень­ ше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

бинации.

Вектор-решения Ci, С2, .... С* называются линейно зависимыми. если хотя бы одно из них является линейной комбинацией остальных; в противном случае они называются линейно независимыми.

Фундаментальной системой решений системы однородных линейных уравнений называется совокупность максимальной числа линейно

41

независимых вектор-решений. Фундаментальная система решений су­ ществует тогда н только тогда, когда г< п, и содержит а —г решений.

Так как любое решение однородной системы при г <С п может быть представлено в виде линейной комбинации решений фундамен­ тальной системы, то формула

С = а*С| -f* ссгСг +-• гСя_ г, 0-4)

где а,, а*, .... а.,-, произвольные числа, дает общее решение одно­ родной системы. Каждое решение, подучаемое из формулы (1.4) при конкретных значениях ои, а», .... ап-г, называют частным решением

однородной системы.

Фундаментальная система решений может быть найдена следующим

образом.

Выделим базисный минор и базисные неизвестные. Не нарушая

В равенствах (1.5) будем придавать свободным неизвестным зна­ чения, равные соответственно элементам строк определителя. Получен­ ная таким образом совокупность решений является фундаментальной системой решений. Отметим, что часто определитель (1.6) записы­

В этом случае соответствующую фундаментальную систему назы­ вают нормированной.

Примеры

1. Найти ранг матрицы

42

Реш ение. С помощью элементарных преобразова­ ний матрицы получим в первом столбце все нули, кроме первого элемента. Для этого первую строку умножим на

— 2 и прибавим ко второй, затем первую строку прибавим

к третьей, после этого первую строку умножим на — 1 и прибавим к четвертой. Наконец, первую строку умно­

жим на —3 и прибавим к пятой:

Поменяв местами вторую и третью строки полученной матрицы, имеем

Умножив вторую строку на —3, затем на —6, а после на 4 и прибавив соответственно к третьей, четвертой и

пятой строкам, получим

Умножив третью строку на —2, затем на 1и првбавнв соответственно к четвертой н пятой строкам, имеем

43

Минор

О0 - 1 4

Миноров четвертого порядка, отличных от нуля, нет. Следовательно, гА=3.

2. Найти ранг матрицы А методом окаймляющих мино­ ров, если

Найден минор второго порядка, отличный от нуля. Вы­ числим окаймляющие его миноры третьего порядка:

Так как не существует миноров третьего порядка, от­ личных от нуля и окаймляющих минор второго порядка, отличный от нуля, то гА=2.

3. Решить систему уравнений

Реш ение. Составим расширенную матрицу данной системы и найдем гА и г^ с помощью ее элементарных преобразований:

44

Первую строку матрицы умножим на —4 и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на —5 и приба­ вим к третьей строке:

Затем вторую строку полученной матрицы умножим на

— 2 и прибавим к третьей:

стема совместна..

Исходная система равносильна системе

х\ — 2x2+ 3*з — х4— 2,1

9^2— I Зхз + 6х4= — 1 1 . J

В качестве базисных неизвестных возьмем Х|, Хч. Тогда

хз, х4— свободные неизвестные. Перенося их в правую

Пусть Хз = С(, х4= с2, где с [у с26 R- Тогда решение

45

имеет вид £--( —с, — 3с2— 4) у ( — 11+ 13с( — 6с2) С\

с21 , Сь с26 R.

J Таким образом, исходная система имеет бесконечное множество решений.

4. Решить систему уравнений

—7X 2 4-Здсз -Ьд^4«=. —- зi . )

Реш ение. Исследуем данную систему на совмест­ ность:

за базисный. Исходная система равносильна следующей

системе:

46

честве базисного». Тогда исходная система равносильна системе

Х\ + 3*2 = —Хз — *4, )

Положив вначале хз = 1, х4 = О, а затем хз = 0, х4= 1, получим решения [1/2 — 1/2 I 0]ти [—5/8 1/8 О 1]г,

которые и образуют нормированную фундаментальную

систему решений.

Общее решение системы имеет вид

(Ответ: 4.)

48

(О твет: 3.

В задачах 1.93— 1.104 выяснить, совместна ли система уравнений, и, если она совместна, решить ее.

49

3*1— 2*2 — * 3 + * 4 — 2*5 = 0,