М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Я — — (а2, et)/(ejTе,) = — 1 , е2— а2 — уй| =

Отсюда Xi = — (a3, ei)/(ei, ei)= —9/14.

Кроме того,

(ез, eg) = (аз -j- A.|e«4-A,# 2, e2) = (аз, ег) +

Построена ортогональная система векторов. Пронор­

мируем ее векторы. Найдем их длины:

|e i| = y 3 2 + ( - 2 ) 2 + i 2= y i4 .

е? = (3 /У н , - 2 / V M , 1/УЙ), е2= (5/т/з15,

13/^315, П/д/зТб), еэ = (i/lO/б, 2-ifl0/l5, -7i/i0/30).

в. Доказать, что квадрат диагонали л-мерного прямо­ угольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины (я-мерное обобщение теоремы Пифагора).

Реш ение. Пусть ребра параллелепипеда заданы век­

80

торами ai, а2, .... а„ по аналогии с трехмерным парал­

лелепипедом, диагональ которого соответствует вектору ai + а2 +... + а„, а ее длина

lai + а 2 + ...+ a„|2 = (ai + а 2 + ... + ая, a, -f а2+ ...+ + а„) = (ai, ai) -f- (а2, а2) (artT ап),

так как а<J_ a;r i Ф /.

7. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, по­ казать, что для любых действительных чисел имеет место

следующее неравенство:

л

Р е ш е н и е . Рассмотрим векторы х = 2 а& иу «

г= I

п

= 2 fr/е», где е, — ортонормированный базис; о«, Ь, — ко-

Задачи для самостоятельного решения

1.166. Пронормировать вектор с = (3, 1,2, 1). (Ответ:

с = (з/уП Г 1/лА^ 2/ V i^ 1/ V is ).)

1.167. Найти единичный вектор, ортогональный век­ торам а = (1, I, 1, 1), Ь = ( I, — 1, — 1, 1), с = (2, 1, 1, 3).

(Ответ: е = (0, 1/^2, - \ / ф , 0).)

1.168. Даны векторы х — ei — 2е2 + Зез и у = —4ei + + е2, где ei, е2, ез — ортонормированный базис. Найти

угол между векторами х и у. (Ответ: arccos( —6/д/238).)

81

1.169. Найти векторы, дополняющие до ортонормнрованного базиса следующие системы векторов: 1) (2/3, 1/3,

- 1/2, 1/2).)

1.170. Выяснить, является ли ортогональной в евкли­

(2/3, -1/3, -2/3).)

1.173. Определить угол между векторами х и у, если: I) х = (1, 2, 2, 3), у = (3, i,5, 1); 2) х = (2, 2, 2, 3), у =(2,0,

-2, 1). (Ответ: 1) 45°; 2) соз<р=1/У2Г)

1.10. ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е ОПЕРАТОРЫ.

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть V, W — два линейных пространства. Оператором /. дейст­ вующим из V в П7, называется отображение вида f: V-+W, ставящее в соответствие каждому вектору * пространства V некоторый вектор у пространства UP: у = /(х). При этом вектор у называют образом век­ тора х.

Оператор / называется линейным, если выполняются следующие два условия:

82

называется матрицей оператора / в базисе е,, i = !, п.

Если задана матрица оператора f, то он определяется однозначно,

1 = 1, п, к базису «!, 1 = 1, п, то формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет внд

А' = Т~'АТ.

Суммой ft -f- fs, произведением f,j2 двух линейных преобразований /i и /г и произведением числа X и линейного преобразования f пространства L„ называются преобразования, определяемые соответст­ венно равенствами:

Xf являются линейными. Если A i. As, А — матрицы преобразований 11, f?. f пространства L„ в некотором базнсе, то матрицами преобразований fI + f2. { 1/2, f пространства L„ в том же базисе будут соответственно мат­ рицы *41 -|- /12, A ХАl

Примеры

1.Доказать, что поворот плоскости на угол а вокруг

начала координат является линейным преобразованием,

инайти матрицу этого преобразования в любом ортонор-

мированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего

поворота, переводящего первый базисный вектор во второй (рис. 1.20).

Решение. Поворот плоскости на угол а переводит

всякий вектор плоскости в вектор этой же плоскости, сумму векторов — в сумму векторов, сохраняя линейные отноше-

83

ния между векторами. Следовательно, это — линейное преобразование. Найдем его матрицу в базисе i, j. При по­ вороте на угол а векторы i, j перейдут в векторы

i„ = cos ai + sin aj, ja= —sin ai + cos aj.

Матрица данного преобразования имеет вид cos a sm a

—sin a cos a ]•

2.Преобразование f переводит вектор x = (xi, х2, х3) в

вектор /(х) = (х2 + х3, 2х[ + хз, 3jci — х2 + х3). Доказать,

что это преобразование линейное, и найти его матрицу. Реш ен не. Покажем, что /(х 4-у) = /(х)4-/(у), /(Ах) =

= А/(х). Имеем:

/(х + У) = (х2-\-Уъ+ хз + уз, 2х1 -j- 2у\ + х3+ Уз,

3xi + 3t/i — Х2— i/г + Хз у3),

f(Х) = (Х2 + Хз, 2X1 + Х3, 3X1 —*2 4-Х3),

f(У) = (Уг + Уз, 2у\ + уз, 3yi — уг + Уз),

/(х) 4-/(у) = (-*2 + У2 + Хз 4~ Уз, 2дгI + 2у< + дгз + Уз,

3*1 + Зу] — Х2 — уг + Хз 4* уз).

Отсюда /(х + у) = /(х) + /(у). Кроме того,

/(Ах) = (Цхз + хз), %(2х\ + х3), ЦЗх, — х2+ х3)),

А/(х) = А(х2+ хз, 2xi + хз, Зх\ — х2 + х3) = (А(х2+ х3), A(2xi -j- х3), A(3xi — Х24 " хз)).

Следовательно, преобразование / является линейным.

Найдем его матрицу. Для этого запишем векторы /(ei), /(«г), /(ез) в том же базисе:

/(«О = 0 * е, 4-е2 + ез, /(ез) = 2ei 4-0 * е24- I •е3, /(ез) — Зе, — е24-е3.

Тогда

3. Будет ли преобразование / лилейным, если оно переводит вектор х в вектор /(х) = (xi, х2 +Т, *з 4-2)?

Решение. Найдем:

Дх + у) = (-«I + У^> *24-Уг4- 1, Хз4-Уз4*2),

/(х) = (х,, дгг4-1, *з4 - 2 ), /(у) = (yt, У2 4-1, Уз 4-2).

84

Тогда

/(x) + /(y) = (*i+yi. *2 + У2 + 2, Хз4-«/з + 4).

Очевидно, что /(х + у) Ф /(х) -f- f(у), следовательно,

преобразование не является линейным.

4. Будет ли линейным преобразование f, переводящее

вектор х = (дс|, х2, дс3) в вектор /(х) = (2jti + х2, *i + Яз, хз)? Решение. Так как

/(х + у) = (2-^1 + 2i/i 4-х2 + Уг. х\ + t/i -f- *з Ч-Уз, (*з+ Уз)2), Ду) = (2yi + У2, i/i + Уз. Уз).

Дх) + /(У) = (2^i + 2yL+ *2 + Уг.

* i + У ) + х 3 + у з . * з + У з ) ,

то fix + у) Ф /(х) + /(у) и преобразование не является

линейным.

5. Будет ли линейным преобразование f, переводящее вектор х — (лг|, х-2, хз) в вектор /{х) = (дг1 — х2 + хз, хз, *2)? Найти матрицу преобразования f.

Решение. Имеем:

f(x + у) = (Л-, + У] — *2 — У2 + *3 + Уз, Хз 4-Уз, *2 + Уг),

ДУ) = (У1 — У2+ У З , Уз, Уг), Дх) + /(у) = (ДС| 4; У| — лтг — Уг + х3 + Уз, *з + Уз, х2+ у2),

то /(Ах) = А/(х).

Преобразование является линейным. Найдем его матрицу:

6. Найти матрицу линейного преобразования, пере­

водящего векторы ai =(2, 3, 5), в2 = (0, i, 2), аз = {1, 0, 0) в векторы bI = (1, 1, 1), Ь2= {1, I, — l)t Ьз = (2, 1, 2).

85

Решение. Пусть А — искомая матрица.

Решаем матричное уравнение:

АВ = С, А ВВ ~ 1= СВ~\ А = СВ~1.

86

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1.174— 1.179 выяснить, является ли линей­ ным преобразование f, переводящее любой вектор х =

= (ot|, а 2, а3) в вектор у, заданный координатами в том же

базисе, что и вектор х,

1.174. у = (3<xl — 2а2 + 5а3, а ( — а3, сс2). (Ответ: да.)

87

переводящего вектор х в вектор у = (х, а] в ортояормМро ванном базисе I, j, к, если а = 21 + 3j — к.

1.184. Матрица линейного преобразования f в базисе et, «г, ез имеет внд

Найти матрицу данного преобразования в базисе g i=

88

= 2е, -f Зе2+ е3, g2= Зе( + 4е2 + е3, g3= ei + 2е3+ 2е3.

нейным преобразованием пространства всех многочленов

степени не выше п от одного неизвестного с действитель­

ными коэффициентами. Найти матрицу этого преобразо­

44 44

-59/2 -25 )

1.188. Преобразование f\ в базисе ai==(—3, 7), »2 =

89