М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Тогда

Отсюда собственными значениями матрицы А являются А.| = — 1, Х2 = 3. Значит, канонический вид квадратичной формы Цу,, у2) = —y] + 3yl

Определяем собственные векторы. При Х\ = — I по­

лучаем систему уравнений

2<X| -j- 2а2= 0,)

2at 2СС2 = 0,]

откуда а2 = —аь Следовательно, a f = /, a2— t, 16 Н,—

ее решение. Таким образом, вектор-столбцы Х(|,= *

100

t Ф 0, R, являются собственными векторами матрицы Л,

соответствующими собственному числу к} = — I . Про­

Координаты рь р2 собственных вектор-столбцов,

соответствующих собственному числу Яг = 3, находим из следующей системы уравнений:

~2Pt + 2^2 = 0,1

20. - 2fc = 0,|

ся собственными векторами матрицы А, соответствую­ щими собственному числу Лг= 3. Пронормировав Х(2),

1/V 2

получим Х(2)* =

I/ V 2 .

Ортогональное преобразование, приводящее квадра­ тичную форму к каноническому виду, имеет вид

101

откуда X] = 14, X? = Хз = 0.

Следовательно, квадратичная форма имеет канониче­

ский вид

Щ \, Уг, «/з)= 14у?.

При X — 14 для определения собственных векторов имеем следующую систему уравнений:пл.

—10<Х|— 2а2 + 6« з:- 0, 1

—2а | — 13а2 — Заз = <0. > 6ai — За2— 5аз1=I0 , )

эквивалентную системе

2ai + 13a2+ Заз — 0 .1

—42аг — 14аз = о, \ 63а2 + 21аз = о, J

откуда

ai = —2a2,l аз= —Заг/

Следовательно, ai = —2t, a 2= —21, t £ R, — ее решение.

Тогда вектор-столбцы

—3/

являются собственными векторами матрицы А, соответ­ ствующими собственному числу Х=14. Пронормировав

Х(Ч получим

- 2/V 1T

3/V14

При Х = 0 имеем систему

4р,-2р2 + 6р3= 0,'

—2pi + р2— З^з = 0,

601 — Зрг + 9рз — 0, J

102

которая сводится к одному уравнению 20t —ф + ЗРэ — О

или рг = 201 4- Зрз. Решение этой системы можно записать

в виде 02 = 2а + 36, где = о; Рз = Ь. В результате по­ лучим семейство собственных векторов X = aei+(2o + -j- 36)е2 + bt3, зависящее от двух параметров а и Ь. Из

него выделим два каких-либо ортогональных вектора. Положив а = О, b = 1, получим собственный вектор Х(2) =

= Зег 4**з.

Подберем параметры а и Ь так, чтобы выполнялось равенство (Х(1>, Х<2)) = 0. Имеем: (2а + ЗЬ) •3 4- Ь = О, 6а 4- 106= 0, За -j- 5& = 0. Теперь возьмем а = —5, Ь = 3.

Получим другой собственный вектор рассмотренного се­

Ортогональное преобразование, приводящее исходную

квадратичную форму к каноническому виду, имеет вид

= a2i = 0, a3i = a,3 = 0, a23 — an — —2 ^ 2, тогда матрица квадратичной формы

103

откуда

(2 — Я)(1 — Я)(3 — Д.)— 8(2 — Я) = О, <2 — ЗЯ +

_|_ ^2)(3 — X -16 + 8Я) = 0, Я3- 6Я2+ ЗЯ + 10 = 0.

Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Используя это утверждение, получаем: Х>=2, Яг = 5, Я з = — 1. Тогда канонический вид квадратичной формы

Ц у \-У2, Уз) = 2у\ + Ьу1 — у\

Определим собственные векторы. При Я = 2 имеем систему уравнений

Поскольку

При Я = 5 получим систему уравнений

2р3 = 0, )

104

Полагая 02 = /, имеем Рз = —^2/. Тогда:

Ортогональное преобразование, приводящее квадра­ тичную форму к каноническому виду, имеет вид

*1 ~у\,

х* = ^V T 2 + л / т Уз’

1

* 3 = _ V f y2' Уз-

Задачи для самостоятельного решения

1.199. Записать матрицу данной квадратичной формы:

1)Ч- 2*|.to + 2x1■+■4х2х3 -f- 5x1;

+— 2x1

105

+ 12*2*3-)

1.201. С помощью ортогонального преобразования привести квадратичную форму к каноническому виду и

записать вид этого ортогонального преобразования:

1)Z,(x1, *2) = 5х? + 8* 1*2 + 5*1;

2)L{xt, х2)= 13*? — 48*!*г + 27*1:

3)L(x|, *2)=»5*? + 4-\/б*]*2+ 7л^;

4)L(x|, *s) = 5*f + 2-^3*[*2 +3*^;

5)L(x], *2, *з) = *? + 2*2 + 3*1 — 4*i*2 — 4*2*з;

6)L(xI, *2, X3) = 7X? + 5*? + 3*3 — 8* 1*2 + 8*2*3;

7)L(x1, *2, *3) = $ — 2x\ — 2*з — 4*i*2 + 4*|*з+ 8*2*з;

5) 2xf* — хг’ + 5хзг; x't = у xi — у *2 — ■|'лгз. *2 = ~ * i + (Об

— -g— I --- 1 — xi -)- —— Xz\ 9) 1OjcI* + x2 -)- -*э"; x't =

(.13. ПЛОСКОСТЬ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ПЛОСКОСТЕЙ

Положение плоскости в пространстве относительно прямоугольной системы координат определяется точкой Ма(*о. у», Zo), принадлежащей этой плоскости, и ненулевым вектором п = (А, В, С) (А2 + В 2 + С1Ф 0),

МцМ и п взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произве­ дение равно нулю, т. е. (Af^A), п) = 0. Выражая скалярное произведение

через координаты векторов п и МлМ, получаем уравнение плоскости, заданной точкой Мо(ха, y<s, 20) и нормальным вектором п = (/1, В, С):

\А (х — лг0) + В(у — уо) + С(г — z„) = 0j

Раскрывая в этом уравнении скобки и обозначая число ~Ахо — Вуо ~-

— Сгс через D, получаем уравнение

направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, а, р, у — углы, образованные этим перпендикуляром с осями

107

координат Ох, Оу, Oz соответственно, р — длина этого перпеидмкуляр*. Запишем уравнение плоскости в векторной форме: (г, п) = р. При пе­ реходе к координатной записи это уравнение примет внд

х cos а + у cos р + 2 cos у — р = 0.

Его называют нормальны/ уравнением плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить ка нормирующий множитель

ц=±1/1п| = +1/УЛг + В г + С2.

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D

в общем уравнении плоскости.

Можно выделить следующие частные случаи расположения пло­ скости и записать соответствующие им уравнения:

By + Cz + D = 0 — плоскость параллельна оси Ох; Ах 4- Сг + D = 0 — плоскость параллельна осн Оу; Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси Ог;

Ах + By -|- Сг = 0 — плоскость проходит через точку 0{0, 0, 0); Сг + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Оху:

By + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Охг; Ах -j- D — 0 — плоскость параллельна плоскости Оуг\ By + Cz — 0 — плоскость проходит через ось Ох:

Ах 4- By = 0 — плоскость проходит через ось Ог; Ах ■+■Сг = 0 — плоскость проходит через ось Оу:

г = 0 — уравнение плоскости Оху:

у= 0 — уравнение плоскости Охг: х = 0 — уравнение плоскости Oyz. Уравнение

х/а + у/Ь + г/с = I

называют уравнением плоскости в отрезках, так как а, Ь, с — абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz соответственно.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Mi(xi, у |, гi), Л1г(*г, у2, 2з), Мз(*э. Уз, г5), имеет вид

(ЛМЛ, ЛМ*2, M^Mi) = О

или в координатной форме

108

Условием перпендикулярности двух плоскостей будет iti А, Пг, т. е. (Hi, Пг)— 0 или в координатной форме AiA? ■+-BiSj + С|Сг *= 0.

Расстояние от точки Afo(*o. уо. го) до плоскости Ах + By + Cz +

+ D = 0 находится по формуле

d = \Ах$-l- Вуа -j- CZQ -f- D I

л/а 2+ e2+ с2

П p имеры

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку Мо{—2, 7, 3) параллельно плоскости х-Ау-\-Ъг — - 1 = 0. - •

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости,

проходящей через данную точку:

А{х — x0) + B(t/ — г/0)+ С (г — го) = 0 или /4(дг + 2) +

+ B {y - 7 )+ C (z ~ 3 ) = 0.

Так как п, {А, В , С)[|п(1, -4, 5), то А/l = В / (- 4 ) =

— С/5 = k. Следовательно, А = k, В — —4k. С — 5k, k £ R. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение плоскости, получаем

k(x + 2)— 4k(y — 7) -f 5£(z — 3)== 0,

что равносильно.уравнению

jc + 2 - 4 ( j f - 7 ) + 5 ( z - 3 ) ~ 0

или

х— 4у + Ьг+ 15 = 0.

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через

-|- Cz = 0 плоскости, проходящей через начало координат, где п{/4, В, С) — нормальный вектор этой плоскости.

Нормальные векторы данных плоскостей л! = (2,

— 1, 5), пг = (1, 3, — 1). Если плоскости перпендикулярны,

Отсюда n — (— 14А,, 7Я, 7Я), X 6 R-

109