М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Ри с . 1.2»

Подставляя координаты вектора п = ( — 14Я, 73Ц 7Я.)

вуравнение плоскости, получаем

—НХх 4-7Ху + 7%г = 0 или 2х — у — z = 0.

3.Составить уравнение плоскости, проходящей через

точки /С(0, О, 1) и N(3, 0, 0) и образующей с плоскостью Оху угол, равный 60°.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости,

проходящей через данную точку:

А(х - 0) + В(у - 0) + C(z - 1) = 0.

Поскольку плоскость проходит через точку N(3, 0, 0), то координаты точки К удовлетворяют уравнению пло­

скости:

Ах -}- By -f- 3j4(Z — 1) = 0 или Ах + By 4-3Az — 3/1 = 0,

следовательно, ее нормальный вектор т=(/4, В, ЗА). Воспользуемся тем, что плоскость образует угол, рав­

ный 60°, с плоскостью Оху. Уравнение плоскости Оху 2 = 0, следовательно, п* = (0, 0, 1). Тогда по формуле косинуса угла между плоскостями имеем:

1 _ А - О + Й - О + З Л • I

Ул2-М2+ 9/1! -1

1/2 = ЗЛ/Уя2+ \0А2, л/вГ+ \0А2= 6А,

110

В 2+ ЮЛ2= 36Л2, В 2— 26А2, В = ± А ^ 1 26.

Подставляя это выражение в уравнение искомой плоско­

сти, получаем:

5. Записать уравнения плоскостей, делящих пополам

двугранные углы, образованные плоскостями:

(Pi): *-3{/ + 2 z - 5 ~ 0 , (Рг): Зх — 2у - г + 3 = 0.

Решение. Пусть точка М(Х, У) принадлежит иско­ мой плоскости (Р). Поскольку расстояния от любой точки,

принадлежащей искомой плоскости (/*), до плоскостей (Pi) и (Рг) равны, то, воспользовавшись формулой расстоя­

Итак, уравнения искомых плоскостей:

2х + у — Зг + 8 = 0, 4x -5y + z — 2=0.

6. Записать уравнение плоскости, проходящей через

II!

точки Л}|(1, 2, 0), ЛЬ(2, 1, I) параллельно вектору а =

= (3, 0, 1) (рис. 1.22).

Решение. Пусть п — нормальный вектор искомой

плоскости, тогда л ±М|ЛТ2, п -L а, т. е. вектор п коллннеарен вектору [а, М|М2]. Следовательно, п = Х[а, М\М2]. Имеем: М,М2 = (2~1, 1-2, 1- 0 ) = (I. - I , 1),

1 — 1 1

Таким образом, п = (Я, —2Я, —ЗХ), Я £ R. Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей

через данную точку, имеем:

Х{х - 1)- 2Цу - 2) - Щ г - 0) = 0,

т. е. х — 2у — 3z + 3 = 0.

Отсюда п = (Х, ~2Х, X), X£R.

Воспользовавшись уоавнением плоскости, проходящей

через данную точку, получим

Я(дт— 1) — 2Цу — 1) + Цг — 1) = 0

или х — 2у + г = 0.

112

1.209. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно к плоскостям (Pi) и (Рг), если:

(Ответ: 1) * + 2«/ — г — 8 = 0; 2) 3* — 4у + 2 — 23 = 0; 3) * + 2г — 4 = 0.)

1.210. Записать уравнения плоскостей, делящих по­ полам двугранные углы между данными плоскостями:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М 2 и перпендикулярной к прямой MiM-^. (Ответ: Зх +

-f- 2у 4г — 38 = 0.)

1.212. Через начало координат провести плоскость,

перпендикулярную к плоскости 5* — 2у + 5г — 10 = 0 и

образующую с плоскостью х — 4у — 82 + 12 = 0 угол 45°.

(Ответ: х + 20у + 1г = 0, х — z = 0.)

1.213. Через ось Ог провести плоскость, образующую

2)черезось Оу и точку Л*2(1, 3, —4);

3)через ось Oz и точку М3(2, —2, 5).

114

(Ответ: 1) у — 2z = 0; 2) 4* + z=0; 3) * + у = 0.)

1.216. Вычислить угол между плоскостями, проходя­

щими через точку М i(I, — 1, I), одна из которых содержит ось Ох, а другая — ось Ог. (Ответ: 60°.)

1.217. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(2, — 1, 4) и отсекающей на оси Ог отрезок, вдвое больший, чем на осях Ох и Оу. (Ответ: 2* + 2у + -f- 2 — 6 = 0.)

1.218. Найти расстояния от точек Afi(3, 5, 1), Mi{7,

— 1, 2), Л1з(2, 0, 4) до плоскости *+ 2у — 2z + 5 = 0. (Ответ: 16/3, 2, 1/3.)

1.219. Найти расстояние d от точки М (— 1, 1, —2) до

1.222. Определить, где лежит начало координат: внут­ ри острого или тупого угла, образованного двумя плоско­ стями X — 2у -f* Зг — 5 = 0 и 2х — у — 2 + 3 — 0. (Ответ:

внутри острого угла.)

1.14. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Положение прямой на плоскости относительно прямоугольной систе­ мы координат определяется точкой Мо(хп, уо), принадлежащей этой прямой, н ненулевым вектором п = (/4, В) ( А + В г Ф 0), перпендику­ лярным к прямой. Вектор п называется нормальным вектором прямой.

Если М(х, у) — произвольная точка этой прямой, то векторы МцМ н п взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно

нулю, т. е. {М(,М, п) = 0. Выражая скалярное произведение через

координаты векторов п и М<>М, получаем уравнение прямой, заданной точкой ЛЦ;ео, t/o) и нормальным вектором п = (Л, В)-.

А (х — дг0) + В(у — уа) = 0.

Раскрывая в этом уравнении скобки и обозначая число — Л*»— Вуп через С, получаем уравнение

Ах + By + С — 0,

которое называют общим уравнением прямой.

115

Перечислим следующие частные случаи расположения прямой на плоскости и запишем соответствующие уравнения:

Ах + By = 0 — прямая проходит через точку 0(0, 0); Ах + С = 0 — прямая параллельна оси Оу;

By + С = 0 — прямая параллельна оси Ох, х = 0 — уравнение оси Оу; (/ = 0 — уравнение осн Ох.

Положение прямой на плоскости определяется также точкой Мо{х<>, i/o) этой прямой и ненулевым вектором s = (i, m), параллельным данной прямой, который называется направляющим вектором прямой. Для любой точки Л)(.с, у), принадлежащей данной прямой, векторы

М<,М и в кодлинеарны, следовательно, МлМ — Is, где t — действитель­

Его называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

Уравнение г = Го + si равносильно уравнениям

; + °° )■j

которые называются параметрическими уравнениями прямой на пло­ скости.

Исключив из параметрических уравнений параметр t, получим уравнение прямой, проходящей через точку Мо(*о. уо) параллельно направляющему вектору $(/, т):

которое называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение

х/а + у/Ь = \

называется уравнением прямой в отрезках. Здесь а и -т имячияы направленных отрезков, отсекаемых прямой на коордомтяых осях Ох и Оу (о Ф О, Ь Ф 0).

Нормальное уравнение прямой записывают в виде

х cos а + у cos р — р = О,

где cos a, cos р — направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону прямой; р — расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному виду умноже­ нием на нормирующий множитель

ц= ±1/У-42-Ьв2

Знак здесь выбирают противоположным знаку свободного числа С.

Расстояние от точки М0(х0, уй) до прямой Ах + By + С = 0 нахо­ дится по формуле

(16

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = kx + Ь,

где k — tg а — угловой коэффициент прямой; а — угол наклона прямой

Угол между прямыми можно найти по следующим формулам:

длину А= |С£>|;

117

Найдем угол ф между высотой CD и медианой ВМ по формуле

ных прямых А,х + В\у -f С] = 0 и А& + В 2у + Са = 0, то для любой точки М(х, у), лежащей ка одной из биссектрис,

используя формулу для определения расстояния от точки

до прямой, имеем

Поскольку М(х, у) — произвольная точка биссектрисы,

то, учитывая, что выражения, стоящие в последнем равен­

стве под знаком модуля, могут иметь разные знаки, по­ лучаем для одной из биссектрис уравнение

Найдем уравнения биссектрис угла А. Уравнение сто­ роны АВ имеет вид 4х+ у ~ б WO. Воспользовавшись каноническим уравнением прямой ( 1.10) и тем, что вектор

АС = (5, — I) можно считать направляющим вектором

стороны АС, получим ее каноническое уравнение

Тогда из уравнения (I) имеем

т. е.

119