М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

2*1 — * 2 + *3 — 3 *4 = 4.

2*1+ 3дг2— *з + 5х< — О,

{3*|— *2 + 2*з — 7*4 = О,

4*1+ *2- З*3+ 6*4 = О,

*i —2*2+ 4*3—7*4= 0.

(Ответ: [ О О О 0]г.)

В задачах J.I05— 1.107 найти фундаментальную си­

стему решений и общее решение однородной системы уравнений.

1.6. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R3. ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. РАЗЛОЖ ЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, объем, масса и т. д.), называются

скалярными.

Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, уско­ рение и т. д.), называются векторными.

Вектором называется направленный отрезок в пространстве или упорядоченная пара точек. Вектор изображается отрезком прямой, на

котором указано его направление, и обозначается АВ или а.

51

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуле­ вым и обозначается 0.

Длнна отрезка, изображающего вектор, называется длиной (моду­

лем) вектора и обозначается так: \АВ I, Iа I или АВ, а.

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на одной пря­ мой, называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если один из них может быть получен из другого путем параллельного переноса.

=[XI IаI, а направление совпадает с направлением вектора а, если X > О,

ипротивоположно ему, если Я. < 0.

Перечислим свойства операции умножения вектора на число:

1) для любого вектора а и чисел а, 06 R справедливо равен­ ство а (pa) — (ар) а;

2) если лфО, то для любого вектора Ь, кодлинеарного а, сущест­ вует единственное число Я., удовлетворяющее равенству о = Яа.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

которых является точка О, называется вектор ОС диагонали парал­

лелограмма ОАСВ , построенного на векторах ОА = а и ОВ = Ь (рис. 1.8).

Чтобы найти сумму векторов а,, а2, ..., а„, нужно конец вектора ai совместить с началом вектора а2, конец вектора а2 — с началом вектора а3, конец вектора а3— с началом а4 и т. д., пока не дойдем до

Разностью двух векторов а и Ь называется такой вектор с, кото­ рый нужно сложить с вектором Ь, чтобы получить вектор а, т. е. а — Ь = с, если Ь 4-с = а.

Вектор а — Ь совпадает с вектором В А диагонали параллелограмма

ОАСВ, построенного на векторах ОА — а и OB = b (рис. 1.9).

52

Проекцией вектора АВ на oct> I называется длинамотрезка CD этой оси, заключенного между проекциями на ось I точек А и В, взятая со знаком « + », если направление отрезка CD совпадает с направлением

оси I, и со знаком «— », если эти направления противоположны.

Обозначается это так: CD = np<AB. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между ним и осью:

up/АВ = \АВ I cos а.

ставлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Приведем теоремы, устанавливающие условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве.

Теорема 1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 2. Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора линейно независимы.

Базисом на плоскости (в R?) называют два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Если на плоскости выбран базис в|, ег, то любой вектор а этой плоскости можно

выбран базис ei, ег, ез, то любой вектор а можно разложить по век­ торам ei, ег, ез, и такое разложение единственно.

Если е,. еа, ез— базис в R3 и вектор а = a.|«i + агег + <хз«з, то числа ai, aj, аз называют координатами вектора а в базисе е,, е2, е, и за­ писывают: a = (ai; иг, а 3).

При умножении вектора а = (on, а?, аз) на число X £ R все его коорди­ наты умножаются на это число:

Я,а = (Я/Х|, Ха_\ Хаз).

Декартовой системой координат в пространстве называется сово­ купность фиксированной точки О и базиса ei, ej, езТочка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов,— осями координат. Прямая Ох назы­ вается осью абсцисс, прямая Оу — осью ординат, прямая Ог — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют

координатными плоскостями.

Вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М. Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к точке О называются коорди-

53

нотами тонки М в дайной системе координат. Первая координата

А(х 1, yi, 2 |) и В (Х 2, 1/2, 2-г), то:

АВ =»(дсг — Х|, у2 — у\, гг~ г ,),

|Л В| = У (л 2 — XiY + (yn— y if + (z3— Zif .

Направление вектора а = (e „ а„, at) определяется углами а, 0, у,

образованными вектором а с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно. Косинусы этик углов называются

направляющими косинусамивектора а н определяются по формулам:

а

Направляющие косинусы связаны соотношением

cos2 a + cos2 0 + cos2у = 1.

Скалярным произведением двух, векторов я и Ъ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла <рмежду ними:

(а, Ъ) = |а11Ыcos <р.

Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:

С помощью последней формулы можно найти угол, который обра­ зуют векторы а и Ь.

54

П рим еры

I. Точки К и L являются серединами сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Полагая АК. = к и AL = I, вы­

разить через к и I векторы ВС и DC (рис. 1. 10).

Р е ш е н и е . Из треугольника АКМ получаем:

к+Ш =ДлГ=21, /СМ = 21-к,

В К = i -КМ = ±{21 - к )_ * ^ 1 ,

Реш ение. Построим параллелограмм на векторах а и b (рис. 1.11). Воспользуемся свойствами скалярного

произведения векторов. Имеем:

|a + b|2 = (a+ b, a+ b) = (a, а)+*(а, Ь) + {Ь, а) + (Ь, Ь) =

= 1a i2Н-2(a, b) + 1bi2 = [ai2+ 21a||b|cos60° + |b|2=

= 25 + 2-5.8 -1/2+ 64= 129,

откуда |а + Ь(=-\/^9;

|а— Ы 2 = (а — b, a — b) = (a, a) — (b, а) — (а, Ь) + (Ь, Ь) = = |а|2 —2(а, b) + Ib|2= 52 —2*5.8 cos 60° + 82 = 49,

откуда [а — Ь| — 7.

55

а

Рис. 1.11

3. Даны вершины четырехугольника ABCD: /4(1, —2, 2), 5(1, 4, 0), С( —4, 1, 1), £>{—5, —5, 3). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Реш ение. Найдем координаты векторов АС и BD: АС = ( - 5, 3, -1), BD = ( —6, - 9 , 3).

Вычислим скалярное произведение векторов АС и BD:

(AC, ~BD) = ( —5)( —6) -|- 3( —9) + ( — 1) •3 = 0.

=-52/13 = - 4 .

5.Вектор х, перпендикулярный к векторам а = (4, —2,

xi, д-2, л-3: х — (jci, х2, хз). Так как xJ_a, x_Lb, то (х, а) = 0,

(х, Ь) = 0. Переходя к координатам векторов х, а и Ь, по­ лучаем систему уравнений

56

= — 3JC3. х, — — (3/4)*з. Следовательно, х = (—(3/4)*3,

—3*з, *з). Так как |х| =26, то

V (9/16)*§ + 9*3 + *! = 26.

Тогда ±*з-13/4=26, * з = ± 8 .

Так как по условию cos р < 0, т. е. угол 0 — тупой, то cos р = *г/26 = —3*з/26 < 0. Отсюда имеем: —3*з<0,

202 — 4

=—60 — 40 — 66 + 180 + 44 + 20 = 78,

= (6, 0, 11), d= (2, —7, 6). Показать, что векторы а, Ь, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

57

Реш ение. Как известно, базнсом в пространстве R3 является любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов. Покажем, что векторы а, b и с ли*,

нейно независимы, т. е. выполняется равенство

ос| a -f- а 2Ь -|- азе = О

при условии, что все числа а), а2, аз одновременно равны нулю. Подставляя в это равенство координаты

векторов а, Ь, с, получаем:

at(5«i —е2-J- 10ез) a2(3ej -(- 6е2 + 4ез) -)- а$(6в| -|- 11еэ) = 0

или

(5а| + 3a2+ 6as)ej -f- ( —ct■-f- 6a2)e2-j~(10ai -Ь4a2-J- -+•i 1«з)ез = 0.

Для того чтобы вектор, разложенный по базису ei, е2, е3, был равен нулевому вектору, его координаты

Получим однородную систему трех линейных уравне­

ний с тремя неизвестными at, аз, аз. Такая система имеет нулевое решение (ai =0, a2 = 0, аз= 0), если ее опреде­ литель не равен нулю. Поскольку

то векторы а, Ь, с линейно независимы. Следовательно, они образуют базис и вектор d является линейной комби­ нацией векторов а, Ь, с: d = fra + РгЬ -(- рзс. Числа р(,

02, Рз будут координатами вектора d в базисе а, Ь, с Най­

дем их.

Воспользовавшись разложением а, Ь, с, d в базисе ei, е2, е3, имеем:

2*1 — 7е2 ~|~ без — Pi (5ei — е2+ 10ез) -(- p2(3ei + 6е2 + 4е3)+рз(6е. + 11ез)

или

2ci — 7е2 + без = (5pi 4* Зр2 + 6p«)ei + ( —pi + 6р2)е2 +

+ (10р,+4р2 + Нрз)ез.

58

Из равенства векторов следует равенство ил коорди­

нат, поэтому получаем систему:

Решая ее по формулам Крамера р, = Д(/Д, t= 1, 2, 3, на­ ходим:

Следовательно, р| = — 21/ — 21 = 1, Рг = 21/ — 21 =

= - 1 , Эз = 0/ — 21 = 0, т. е. d = (1, — 1; 0).

8.Даны вершины треугольника ABC: Л(3, 2, —3),

Реш ение. Внешний угол при вершине А — это угол

Следовательно, (АВ, СА) = arccos( —4/9) «116°25'.

59