М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfили |
|
|
|
г2= 2(cos( - |
-*я) + i sin( - « я )). |
в) |
Имеем: (2з1 =-\/02 -f- 22= 2, arg гз = л/2, |
|
|
2з — 2^cos у 4-i sin . |
|
г) |
Так как |г4| = |
У ( — 5)2_-M)s ==5, a argz< = ft, то |
получаем |
|
|
|
z4= 5{cos л + 1 sin л), |
|
5. |
Вычислить ( —-\/3 — /)5; |
|
Реш ение. Запишем в тригонометрической ффрме число ~ л [з — i:
— ^/з — i = 2^cos -^-л -f-t sin -g-^-
Тогда
( —^3 — /)5 = 25^ cos-g-зх + (sin -I-л^ = 2*^cos-2r-n -f-
-f- i sin ~ л^ = 32(cos{бл — л/6) -f i sin{6л — л/6)) =
—-32^cos — / sin ^ = 32(i/3/2 — i/2) = Iб{-\/з — i).
6. Найти -{/—8.
Реш ение. Запишем —8 в тригонометрической форме:
|
— 8 — 8(cos л + / sin л). |
|
|
|||
Применив формулу (1.1), получим |
|
|
||||
д/8{соб л -f- i sinл) =-\/8^cos n |
4-i sin |
Л +32fen^. |
||||
где A= 0, 1, 2. |
Подставляя |
значения |
k, получаем: |
|||
Zo = 2^cos у |
+ 1 sin ^ |
= |
2^1 + / |
= 1 |
-f (д/з, |
|
= 2(cos л + г sin л) = 2( — 1-f-/ •Q)= —2, |
|
|||||
й - 2(cos I |
+ i sin I ) |
= 2 (i- - |
1 Щ |
- 1 |
- ф |
|
10
Точки zo, Z\, Zi располагаются на окружности радиу сом 2 с центром в точке 0(0, 0) и делят ее на три равные части (рис. 1.3).
7. Найти д/1 + i.
Реш ение. Запишем число 1+ ( в тригонометриче ской форме. Имеем |z| = -\j12 + 12 = -\J2. Так как cos<p =
=sin ф = 1/^2, то arg z = л/4 и
1-j- |
cos ~ + i sin i^ . |
Применив формулу (1.1), получим
7 Г Й = -^л/2(cos ^ + i sin =
= -V2(cos V 4+-2fe* + tsin "Л + а * " ) ,
= ^ c o s ( ^ + | . * n ) + i s i n ( i + j b i ) ) ,
где 6= 0, 1, 2. Для конкретных значений k имеем:
Z o ^ ^ ^ co s^ + /sin-i0, Z\ = -^/2 (cos Щ -fisin
22 = ^ 2 ( cos ~ + i sin
Точки zo, zi, z2расположены на окружности радиусом
иделят ее на три равные части (рис. 1.4).
8.Решить уравнение z* + 1= 0.
п
Реш ение. Так как г* — — 1— cos л + i sin я, то корни уравнения
Zk= У — 1= |
1(cos л + i sin л) — |
= 7T(cos |
+ i sin Ji±2£L), |
где £ = 0, 3. Для конкретных значений к получим:
го = VMfcos |
-Ь <sin |
=■^j- + |
|
г, = V T( cos f |
+ i sin I ) |
- - 2§- + |
|
а |
= У Г ( с о 5 ^ + ^ ) _ |
||
a |
_ V T (c o s ^ + is in i) = ^ - ^ i . |
||
9.Определить множество точек, удовлетворяющих
данному условию: a) Rez = 5; б) Imz = 1;в)|г — »| <3.
Реш ение, а) Условие лс = 5 задает прямую,парал
лельную оси Оу (рис. 1.5).
Рис. 1А |
Рис. 1£ |
б) Так как
z2= (x + iyf = АГ + 2ixy — у- = X* — IJ- + 2ixy,
то Im г2— 2ху, и по условию 2ху = 1 или у — ^ (гипер
бола) (рис. 1.6).
12
в) Имеем:
\х + iy — i\ < 3, \х+ i(y — 1)1 <3,
^Jx2 + (y - lf< :3 , х2+ ( у - l)2<9.
^го внутренность круга с центром в точке (0, 1) ii ра диусом, равным 3 (рис. 1.7).
Задачи для самостоятельного решения |
|
|||||
1.1. Выполнить следующие действия: |
|
|
||||
1) |
(1 + 20(2 - 0; |
2) |
(2 + 30(2 - 30: |
3) |
(4 - 5if- |
|
4) |
(1 +2/)3; |
5) |
| ± i; |
.6) |
||
(Ответ: |
1) 3 + 3t; |
2) |
13; 3) - 9 - 4 0 t; |
4) -11 -2t; |
||
5) | |
+ |
6)1+2/.) |
|
|
|
|
1.2. |
Решить уравнение: |
|
|
|||
1)*2+ 9 = 0; 2) x2 - 2x - 8 = 0; 3) *2+ 6* - 16 =0.
(Ответ: 1) ±3i; 2) 1±3(; 3) |
|
—3± 5i.) |
|
1.3. Найти действительные |
решения |
уравнения |
|
(1 + 2i)x + (3 — |
5i)y = 1— |
3i. |
|
(Ответ: x = —4/11, у = 5/П.)
В задачах 1.4— 1.7 выполнить указанные действия.
| Ответ: I) — 12 |
; 2) 1.^ |
13
1.5. l) ( - i+ o 5; 2) (л/зч-О5; 3) - i i ± L
_ |
( i — /'V3)6 |
(Ответ: 1) 4 {l- (); 2) 16(-V3 + /); 3) — i/4.)
1.6.1) (1 - i f ; 2) (V 3 - /)e; 3) (2 -|-/Vi2)5. (Ответ: 1) 8/; 2) —64; 3) 512(1 —
1.7.1) (1+2/)6; 2) (1+20*- C l- 2 0 s;
3)(I + %)* — (! - if (3 + 2if — (2 + if
(Ответ: 1) 117 + 44/; 2) -76/; 3) , ~ ^ 3+ 5''.) |
|
|
|||||
|
1.8. Найти все значения д/7 и изобразить их точками |
||||||
на |
комплексной |
плоскости. |
У(Ответ: cos ^О |
/ sin |
<Э |
||
fc = |
0,“ ~5^ |
|
|
|
|
|
|
|
1.9. Записать в тригонометрической форме следующие |
||||||
комплексные числа; 1) |
z = —4; |
2) z = 3/; 3) |
г = —2; |
||||
4) |
г = 2 - 2/; 5) |
1 -j-h /З ; |
6) |
г = 2 — 1л[\2\ |
7) г = |
||
= —д/2+ /д/2. (Ответ: |
1) 4(cos л + <sin л); 2) з(со$ |
+ |
|||||
4-i sin у^; 3) 2 (co Sy |
4-/sin у ); |
4) 2V2(cos( —л/4)4- |
|||||
+ /sin( —л/4)); 5) 2^cos у +/sin у^; 6) 4^cos(^^ +
+ /sm (^ £ )); 7) 2^cos^i+ /$ in^).)
1.10. Вычислить; |
1)2) |
Ц ~2 -{-2/; 3) |
-\/— 1. |
||||
(Ответ: 1) —/, |
|
2) |
1+г, |
- 1.36 + 0.365/, 0,365- |
|||
-1,36/; |
3) |
±/, |
|
|
|
|
|
1.11. Выполнить указанные действия: |
|
||||||
1 ) ~\j— 1 4 ~i\ |
2 ) |
~\j — 8 4 " 8"^3/" |
|
||||
(Ответ: |
1) |
-\/^(cos <p+ / sin <p), |
ф=45°; |
165°; 285°; |
|||
2) ± (У З + /), ± (1 - V 3 /).) |
|
|
|||||
1.12. Решить уравнение: . |
|
|
|||||
I) г3— 8 = 0; |
2) z4+ |
4 = 0. |
|
|
|||
14
(Ответ: I) 2; |
— 1±Уз<; 2) ± l± t.) |
||
1.13. Решить уравнение: |
|
||
1) z4— 3z2+ |
4 = 0; 2) |
г4— ЗОг2+ 289 = О. |
|
(Ответ: 1) ±^7/2 ±1/2; |
2) ± 4± /.) |
||
1.14. Изобразить множество точек, удовлетворяющих |
|||
неравенству: |
1) |
|г|< 2; |
2) \г— I — П < 1. (Ответ: |
1) внутренность круга радиусом 2 с центром в начале ко ординат; 2)внутренность круга радиусом 1с центром в
точке (1,1).)
Взадачах 1.15— 1.17 выполнить указанные действия.
1.15.1) (1+0*6; 2) ( - Ц ^ ) 20; 3) ( i - ^ z i ) 24.
(Ответ: |
1) 212(1+0; |
2) |
29(1 |
- л /Si); |
3) (2 |
- л /з)1'2.) |
|
1.16. 1) У 2-21; 2) л[—4; 3) У - |
2 7 .(Ответ: |
1) -1 + |
|||||
+ /, |
+ |
|
|
|
|
2 ) | + / , 1 _ / , |
|
|
3) ф |
, |
- ф ; |
^ |
L , |
|
|
|
U7' ■»Щ г 2) V ^ 7; 3» |
(0т‘ |
вег: 1) |
* = 0— 5Г. |
|
2) |
+ |
к - ™ : |
3) ( T^ c o s i l ^ „ + i s i „ ^ t - » ) . * _ 0 Г Г )
1.2. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Матрицей размеров m на п (m X п) называется прямоугольная таблица, составленная из тл элементов некоторого множества. Будем пользоваться следующими обозначениями матрицы:
"он |
а12 |
.. |
а,п |
|
U|l |
(Х[2 - |
й\п |
21 |
<222 |
|
Д2п |
НЛН АтХ„ = |
Л2( |
|
<12п |
Й |
|
|
|
|
|||
Дт1 |
|
. |
Отя |
|
ат |
Ля,? . |
Аящ |
Матрица, элементами которой являются числа, называется чис ловой.
15
Элементы a,i, а,г, .... о,, составляют «-ю строку, а элементы а |(>
огу, .... Чт{ — /-Й столбец матрицы.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной. В квадратной матрице |
|
|
||
|
ап |
а и |
. |
а ы~ |
|
021 |
Й22 |
• |
аг* |
|
а„\ |
О»2 |
|
Опя |
элсмбнти Он» |
>*■»fl(u> составляют главную диагональ. |
|||
Нулевой называется матрица, |
все элементы которой равны нулю; |
|||
ее обозначают буквой О.
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ке на главной диагонали, равны нулю. Диагональ ная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб цом с тем ж номером, называется транспонированной. Ее обозначают А 1.
Операции сложения и вычитания вводятся только для матриц одинаковых размеров.
Суммой (разностью) матриц АтУ „ и В тХ„ называется такая матрица
СтХ**= АтХя + Впхт что С;; = а ,;± 6ф )= |
I, п, /= I. т. |
матрица |
|||
Произведением матрицы Атх« |
число а. называется |
||||
Вт , такая, |
что bij = аа,;, i = !, m, |
/= I, |
п. Произведение |
матрицы |
|
А на число а |
обозначается aA и л и |
Aa. |
В вводится только в том |
||
Произведение матрицы А на |
матрицу |
||||
случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,
т. е. если А — матрица |
размеров |
т |
X «, а В — размеров п X k. |
Произведением АВ |
матрицы А „ Хл на матрицу В,*» называется |
||
матрица С „, *, элементы которой |
ci; |
находятся по формуле |
|
|
|
П |
|
|
Сц= 2 i |
j. |
|
Из определения следует, что элемент с,, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и соответствующих элементов /-го
столбца матрицы В. |
|
В,то из |
этого, |
|
Если матрицу А можно умножить на матрицу |
||||
вообще говоря, не следует, |
что В можно умножить |
наА. |
|
|
Справедливы следующие свойства операций сложения и умноже |
||||
ния матриц (при условии, что они имеют смысл): |
|
|
||
1) |
А + В = В + Л, А + {В + С) = (/4 + В) + С; |
|
a (fiA), |
|
2) |
(« + $)А = аА + 0/4, |
а{А + В) = ссА + aЯ,(а§)А = |
||
3)А В ^ В А , А(ВС) = (АВ)С\
4)А{В + С) = АВ +АС, С {А + В) — СА + СВ.
Целой положительной степенью Ak(k I) квадратной матрицы
называется произведение k матриц, каждая из которых равна А. Нуле вой степенью квадратной матрицы А называется единичная матрица Е того же порядка, что и А, т. е. А0= £.
Выражение Р(А} = a<>Ak+ atA*~' + ... + a*£ называется много членом от матрицы А. Если Р(А) — нулевая матрица, то А называется
корнем многочлена.
16
При меры |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Даны матрицы |
|
|
|
|
|
|||
|
in л I рпц 1я |
|
|
|
|
|
||
|
'З |
2 |
J ] - |
- |
|
- 3 |
О |
|
|
- [ ? 2I |
|
— 4 I |
|
||||
Найти 3/4 + 2В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Реш ение. Матрица |
|
|
|
|
|
|||
|
ЗА + 2В = |
'9 |
6 |
0' |
|
- 6 |
0 |
- 2 ' |
|
3 6 - 9 + |
- 8 2 |
2 |
|||||
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
8 |
|
|
|
2. |
Найти |
матрицу |
X , |
удовлетворяющую условию |
||||
ЗЛ -Ь 2Х = £, если |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
— |
2 |
6 |
|
|
|
|
А = 4 |
3 - 8 |
|
|
|||
|
|
|
2 - 2 |
|
5 |
|
|
|
Реш ение. Выражая X из данного равенства, по лучаем
- 2 |
6 |
— 18" |
-1 |
3 |
-12 |
- 8 |
24 = |
- 6 |
- 4 |
- 6 |
6 |
-14 |
- 3 |
3 |
3. Даны матрицы
А = |
'3 |
- Г |
3 |
- 1 |
4 |
- 2 |
4- |
2] |
Выяснить, существуют ли произведения АВ и ЯЛ, и,
если они существуют, найти их.
Реш ение. Произведение АВ существует, так как
знсло столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
|
— 1 |
3 |
- Г |
— Аа><аД |
-Р - 2 |
4 |
2 |
17
С и |
С \2 |
С 13 |
С и |
С22 |
С 23 |
Здесь:
2 |
5 |
- 5 ' |
2 |
4 |
- 8 |
гп — 3 •1+ ( — 1)* i = 2, |
C12 = 3•3 + ( — 1) * 4 = 5, |
|
с,з = 3( — l)+ (— !)• 2= —5, C2.= 4-1 + (- 2 )- 1= 2, |
||
C22= 4 •3 + ( —2) *4 = 4, |
C23 = 4{— !) + (—2)*2= —8. |
|
Таким образом, |
|
|
AB = \* |
5 |
- 5 ] |
[2 |
4 |
- 8 J ’ |
Произведение BA не существует, так как число столб цов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
4. Даны матрицы
" — .1 |
2 |
3 |
- 5 " |
|
"2 —3" |
|
1 |
0 |
4 |
3 |
, В = |
1 |
4 |
- 2 |
3 |
0 |
0 |
5 - 2 |
||
1 |
-1 |
3 |
2 |
|
3 |
4 |
Выяснить, существуют ли произведения АВ и ВА, и, если они существуют, найти их.
Реш ение. Произведение АВ существует, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда
|
|
|
|
|
Си |
Ct-j |
|
|
^4X2 - A AXiB 4X2- |
С2] |
С22 = |
|
|||
|
С31 |
£ 3 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
С41 |
С |
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
— 1 |
2 |
3 |
- 5 ' ~2 - 3 ' |
0 - 1 5 |
|||
1 |
0 |
4 |
3 |
1 |
4 |
31 |
1 |
- 2 |
3 |
0 |
0 |
5 |
- 2 |
— 1 |
18 |
I |
— 1 |
3 |
2 |
3 |
4 |
22 |
- 5 |
Здесь:
С ц = (— 1)*2 + 2-1+3*5 + ( —5)-3 = 0,
Ci2 = (— 1){—3) + 2 -4 + 3(—2) + ( —5) •4 = — 15, с21=«'1 .2 + 0-1+ 4.5 + 3-3 — 31,
£■22= l{ —з) + о- 4 + 4(—2) + 3- 4= 1, Сц =г( —2) •2 + 3 •1+ 0 * 5 + 0-3 = —~I,
Сз2 = ( —2)( —3) + 3 •4 + 0(—2) + 0 •4 = 18,
18
с«| = 1-2 + (-1)- 1+3-5 + 2-3 = 22, = 1(—3) + (— 1)-4 + 3(—2) + 2 •4 = —5.
Произведение ВА не существует, так как число столб
цов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
5. Даны матрицы |
|
|
|
|
||
|
' — I |
0” |
|
- 2 |
5 |
|
А = |
2 |
3 |
, в = |
|||
3 |
О |
|||||
|
4 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|||
Выяснить, существуют ли произведения АВ и ВА, и, если существуют, найти их.
Реш ение. Произведение АВ существует, так как
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Вычисляем:
|
" - I |
0 “ |
- 2 |
5 |
1 |
||
Сзхз — АзхЪ& 2хз = |
2 |
3 |
|||||
|
3 |
0 - |
1 |
||||
|
4 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
( — 1)(— 2) + 0 -3 |
(— 1) •5 + 0 •0 |
( — О 1 1 |
+ 0 - I |
||||
2 •(—2) + 3 •3 |
2 -5+ 3 -О 2 * 1 + 3 -( — 1 ) |
||||||
4 •{ —2)+ 1-3 |
4 * 5+ 1* О |
4 •1+ 1•( — 1) |
|||||
2 - 5 - 1
51 0 - 1
—5 20 3
Произведение ВА также существует, так как число
столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А. На ходим:
|
- 2 |
5 |
t |
■— 1 |
0' |
|
Р 2 X 2 — В 2 X 3 ^ 3 X 2 |
2 |
3 |
||||
3 |
0 |
- 1 - |
||||
- [ |
4 |
1 |
||||
_Г(—2)( — 1)+ 5 ■2 + 1-4 |
|
(—2) •0 + 5 •3 + 1 |
||||
[3 •(— I) + 0-2 + ( — 1)-4 |
|
3*0 + 0 * 3 + ( — 1) |
||||
|
16 |
|
16 |
|
|
|
|
- 7 |
-1 |
|
|
||
в. Найти М ), если А = |
|
f(x) = jste* — 2х + 4. |
||||
19