М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

2 у\- Найти матрицу преобразования fi/2 в том ба­

зисе, в котором даны координаты всех векторов. ( Ответ:

109

34

1.11. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть число X н вектор x£L, х ^ 0, таковы, что f(x) — Xx. Тогда число X называется собственным числом линейного оператора /, а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим собствен­ ному числу X.

В конечномерном пространстве векторное равенство Цх) = Хх экви­

дует, что X является собственным числом оператора / в том и только в том случае, когда система (1.8) имеет ненулевые решения, т. е. det(.4 —

— А£) = 0. Тогда X — корень многочлена

Р(Х) = det (А — ХЕ) = 0.

Многочлен Р(Х) называют характеристическим многочленом опе­ ратора {, а уравнение р(А) = 0 — характеристическим уравнением.

Собственными числами оператора могут быть только корни его характеристического уравнения, но не всякий корень характеристиче­ ского уравнения является собственным числом линейного преобразо­ вания действительного линейного пространства. Например, комплексное характеристическое число не может быть собственным числом линей­ ного преобразования действительного линейного пространства.

Собственное число называется m-кратным, если оно является т-кратным корнем характеристического уравнения, и простым, если оно является простым корнем характеристического уравнения.

Собственные векторы линейного преобразования действительного линейного пространства можно найти следующим образом.

1.Выбирают в данном пространстве некоторый баэнс.

2.Находят матрицу А данного преобразования в выбранном ба­

зисе.

3.Определяют характеристические числа линейного преобразова­ ния /, т. е. корни уравнения det(Л — ХЕ) = 0. Выделяют из них только те которые являются собственными числами данного линейного преоб­ разования, т. е. для действительного линейного пространства — только

действительные корни характеристического уравнения. Если характери­ стических чисел нет, то не существует и собственных векторов.

4. Записывают систему (1.8) в координатной форме:

90

мы. Таким образом, вектор Xw = (а(1\ а ,1 .... а*,0) является собственным

указанного оператора существует бесконечное множество собственных векторов с данным собственным числом.

Примеры

1. Найти собственные векторы линейного оператора действительного линейного пространства, заданного в

Решение. Составим характеристическое уравнение:

—6 + ЗА — 2А + А2 + 4 = 0, Аг+ А - 2 = 0,

отсюда А| = 1, А2= —2.

Для определения координат собственных векторов получаем две системы линейных уравнений:

Поскольку Х| =* 1, то первая из систем имеет вид

XI + 4х2 — 0,1

— Х\ — 4х 2 = 0/

Таким образом, значения х\ и х« должны удовлетворять уравнению Xt = —4х2. Следовательно, решение этой систе­

Значение Х2= —2 приводит к системе уравнений

4xt*| + 4*2 = 0л

—*1 — JC2 = 0,)

91

решая которую, имеем: x2= t, *1 = — /, ^£R, Следова­ тельно, собственными векторами данного оператора, со­ ответствующими собственному числу А2 = —2, являются

=-/), 1 Ф 0, t£R.

2.Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Так как целые корни многочлена с целыми коэффи­ циентами — делители свободного члена, то, подставляя всевозможные делители в последнее уравнение, убеждаем­

ся, что корнями уравнения являются числа 1, 4, 7. Следо­

вательно, А,[ = 1, А* = 4, Х з = 7 — собственные числа. Для определения собственных векторов записываем

систему уравнений:

которая эквивалентна следующей системе:

Решая последнюю систему, находим: *| = —2/, *2 = 21,

16 R- Таким образом, собственными векторами, соответ­

ствующими собственному числу А) — 1, являются Х(|) = = (— 2/, 2/, 0. 0, /6 R-

Подставив в систему (1) Аг = 4, имеем систему:

92

f 6 R.— решение последней системы. Следовательно, Х(2) = = (21, t, 2t), t ф 0, f £ R,— собственные векторы, соответ­

ствующие собственному числу Хг = 4. Подставив в ( 1) Хз = 7, получим систему:

Решение этой системы имеет вид х\ = -i-1, *2 — —t, хз — t,

I £ R. Таким образом, собственными векторами данного оператора, соответствующими собственному числу Хз = 7,

являются Х(3)= ^ у, — (, ^=^0, R.

3. Найти собственные векторы линейного оператора /, заданного матрицей

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

( _ 4 + Х 2) ( - 3 - Х ) + 3 + 2 ( - 3 - Я ) + 5 ( - 2 - Я ) = 0, Л3+ ЗЯ2+ ЗЯ+ 1=0, (Л.+ 1)3= 0,

откуда Х\ = Я2= Хз = — 1■

93

Таким образом, оператор / имеет одно собственное число X = — | кратности 3.

Найдем собственные векторы, соответствующие собст­ венному числу Х = — 1.

— t, t), t Ф 0, / 6 Rt— собственные векторы, соответствую­ щие собственному числу X = — I.

4.Найти собственные векторы линейного преобразо­

вания линейного пространства V, заданного матрицей

4 - 5 7 А = 1 —4 9 - 4 0 5

в некотором базисе, если: а) V — действительное; б) V —

комплексное.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

X3 — 5Х2 + 17Х — 13 = 0.

Число А.| = I ——единственный целый корень данного уравнения. Так как Х=1 является корнем многочлена X — 5Х2 + I7X — 13, то данный многочлен делится без остатка на X — I. Следовательно,

^ - 5Х2 + 17Х— 13 = (X - 1)(Х2 ~ 4Х + 13) = 0, , X2 — 4Х+13 = 0,

откуда Х2 = 2 Зг, Х3= 2 — 3/.

94

а) Если V — действительное пространство, то опера­ тор f имеет только одно собственное число Я = I. Найдем собственные векторы, соответствующие Я=1. Подставив

это значение в систему

Из последнего уравнения полученной системы находим л, = *3. Тогда 5*2 = х\ + 9*з = 10*з, х2 = 2*з. Если *3— t, то *2 = 2/, *i = /. Векторы Х(1) = (/, 2t, -f), 1Ф 0, / 6 R- соответствуют собственному числу Я = 1.

б) Если V — комплексное линейное пространство, то оператор имеет три собственных числа: Я| = I, Яг — 2 + 3«, Яз = 2 — 3/. Для Я| уже найдены собственные векторы Х11)= (/, 2/, (). Найдем собственные векторы, соответст­ вующие собственному числу Я2 = 2 + 3/. Составим систему

уравнений:

(Ф О , t^C.

Для определения собственных векторов, соответст­ вующих собственному числу Я3= 2 — 3/, составим систему

95

из последнего уравнения которой имеем .х,==*^-{3 +

3()л'з. Тогда

и собственные векторы линейного преобразования, задан­

ного в некотором базисе матрицей А.

0, Х(2) = (4/, -50, /#0.)

4 - 5 2 1.191. А = 5 - 7 3 6 - 9 4

(Oreer: X] = 1, Х2 = Хз = 0; Х{|) = (/, t, /), Х(2)= (2/, /, —3/),

/¥=0.)

96

(Ответ: Я| = Я3= А.3 = 2; X = {!. 2, 0)*j + (О, 0, 1}^, где Zi, U не равны нулю одноврем^но-}

1.12. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Квадратичной формой действительных переменных хи х?, х„

называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных, т. е. многочлен, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Квадратичная форма имеет вид

1=)I-I

где Oij — некоторые числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Если L(x|, хj.....*„) — квадратичная форма от переменных *|, х3......

х„, а X £ R, то

L{X*], kx2, .... Xjt„) *= k2L(x,, Хг..... x„).

Если я = 2, то

Ц х|, дс2) = аи-П + 2а,гх,х2 + a^xi-

Для п = 3

L{x|, хг, х3) = о, i^d + а*»4 + о33*3 + 2oisXi*2.+ 2flijXiXj + 2a2iXjXj.

Квадратичную форму можно записать в таком виде, что коэффи­ циенты при XiXj и XjXi, i Ф /, будут равны между собой.

Так как х,IXJ = x,xi, то

OijXiXj + ацХ)Х,н* -i-(<и; + a^xtxj + у (a,, + ац)их,.

Без ограничения общности будем считать, что я,у = allt ац f R. Симметричную матрицу

составленную из коэффициентов квадратичной формы, называют матри­ цей квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть записана в виде

Ц хI, х^..... х „)= Х тАХ,

где А = (ai;); Xr = (it,, *3, ..., х„).

Выражение ХТАХ называют матричной записью квадратичной формы.

Квадратичная форма называется действительной, если все ее коэффициенты — действительные числа и, кроме того, линейное прост­ ранство является действительным.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадра­ тичная форма называется невырожденной, если ее матрица — невы­ рожденная. Ранг невырожденной квадратичной формы равен числу переменных этой формы.

Матрица U называется ортогональной (унитарной), если выпол­ няется условие U~* = UT.

Будем рассматривать квадратичную форму в евклидовом прост­ ранстве ft*.- Так как матрица А = (а^) симметрична, то она может быть представлена в виде А = U TDU. где D — диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А.

Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормироваиного базиса В ' = ( е ei, .... е„), в котором матрица А имеет диагональный вид, а квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением

X = UX' и называется ортогональным.

98

Примеры

1. Записать матрицу для данной квадратичной формы:

б) Для L(x\, Х2, х-t) получаем: ац=3, а22= 4, а3з =

2.Записать в матричном виде квадратичную форму

99