М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

разрыва. Исследуем каждую из этих точек. При имеем:

lim /(*)= lim — !---=0, lim f(x)— lim —!— =0.

Следовательно, в точке х= 1 функция имеет разрыв

второго рода (бесконечный скачок). Данная функция

четная, поэтому при х = — I также имеем бесконечный

скачок.

Разрыв в точке дс = 0 можно устранить, доопределив

функцию следующим образом:

Для построения графика функции находим

lim f(x)~ lim — !— = 0. Jt^±00 ]g1xl

На рис. 2.10 изображен схематичный график данной

функции.

7.Найти точки разрыва функции у = arctg—, опре­

делить их характер и построить схематичный график данной функции.

Решение. Функция не определена при х ~ 0 , т. е. jc = 0 — точка разрыва.

Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при JE-»-0:

220

,ii?^arctB T = arctg(-oo)= - y .

Следовательно, при x = 0 функция имеет разрыв перво­

го рода (конечный скачок) (рис. 2.11). Найдем величину скачка (г:

Для ностроения схематичного графика найдем:

lim arctg— = arctg( —0) = 0.

X - ~ — ОО X

Схематичный график данной функции изображен на

рис. 2.11.

221

У

i

о

X

иточка х = 0 не принадлежит области определения функ­

ции, то при JC = 0 функция имеет точку разрыва первого рода (устранимый разрыв). Учитывая четность функции

ито, что амплитуда колебаний падает по мере удаления от точки 0(0, 0), строим схематичный график данной

функции (рис. 2.12).

X

1, если х — О,

Рис. 2 12

222

Впромежутках между указанными значениями (при

убывании х) функция у — sin попеременно убывает от

1 до 0 и от 0 до — 1, затем возрастает от — I до 0 и от О до 1 и т. д.

Таким образом, функция y = sin— совершает беско­

нечное множество колебаний подобно функции y = sirut, но в то время, как для функции у = sin х эти колебания распределяются на бесконечном промежутке, здесь все

они умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к

нулю {рис. 2.14). График изображен не полностью (беско­ нечное число колебаний воспроизвести невозможно).

Таким образом, lim sin— не существует, и в точке

х-г±0 X

х = 0 функция имеет разрыв второго рода (точка неопре­ деленности).

Р и с 214

224

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 2.116—2.136 определить точки разрыва функции, их характер и построить схематичный график

функции.

2.119. у = arctg^-— . (Ответ: *= 3 — точка разрыва

первого рода.)

2.120. у = 3,/(|~Ч [Ответ: х = 1— точка разрыва второго рода.)

2.121. у = 2[/*\ (Ответ: * = 0 — точка разрыва второ­ го рода.)

(Ответ: х= 1— точка разрыва второго рода.)

2.126. у = 4/(х — 3f. (Ответ: х = 3 — точка разрыва

второго рода.)

2.127. у = 2 — \х\/х. (Ответ: дс — 0 — точка разрыва первого рода.)

3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1. ПРОИЗВОДНАЯ. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Пусть функция у — fix) определена в промежутке X. Исходя из некоторого значения х = хо аргумента х, придадим ему приращение Ах, такое, что и новое значение х + ix принадлежит промежутку X Тогда функция y = f(x) получит е точке дг0 прнращенне A/j = f(x,>-f- Ах) —

~ } ( х о).

Производной функции у = f(x) в течке ха называется предел отно­ шения приращения Ду в этой точке к приращению аргумента Ах (при условии, что этот предел существует), когда 4х произвольным образом стремится к нулю. Производная функции у = j (х) в точке хаобозначается у'(хо) или {'(х„). Таким образом, по определению имеем

В отличие от бесконечной производной определенную выше производ­ ную функции иногда называют конечной производной. Если функция у = f(дг) имеет конечную производную в каждой точке х £ X, то произ­ водную /'{х) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на X. Наряду с обозначением /'(х) для производной функции употреб­

ляются другие обозначения, например: у', у'(х), у'х, dx 1 dx

Операция нахождения производной называется дифференциро­ ванием.

Геометрический смысл производной: производная функции у =

= ! { Х ) в гичке .1,;, равна угловому коэффициенту касательной к графику

функции y = f(x) в точке М(дсо, К*о)) (Рис- 3.1).

Механический смысл ипооз«одной: если функция s = s(l) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то производная

•$'(/) есть ее скорость в момент времени t.

Непрерывность функции есть необходимое, но ие достаточное усло­ вие дифференцируемости функции.

227

Ри с. 3.1

Перечислим основные правила дифференцирования. Пусть с —

постоянная, и = и(х), v = v{x)— функции, имеющие производные. Тогда справедливы следующие формулы;

Приведем таблицу производных основных элементарных функций,

составленную на основании определения производной и правил диффе­ ренцирования:

8) (sin x)' = cos x, 9) lco si)'= -sm x,

Если у — f(u), и = u{x), т. e. у — j(u(x)), где функции /(«), u(x) имеют производные, то

у', = y'uul

Эту формулу называют правилом, дифференцирования сложной функ­ ции.

Если для функции у = Цх) существует обратная функция х = = <р(у), которая в рассматриваемой точке у имеет производную <р'(у). отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция у = /(дг) имеет

228

производную ГМ . равную ]/<р'(у), т. е. справедлива формула

у'(х) = - или {/£ = -7 - (*; Ф 0).

ф(У) *ч

Примеры

1. Найти производную функции y = xi , пользуясь

формулой (3.1) и таблицей производных. Сравнить ре­ зультаты.

Решение. По определению производной имеем:

= Мш(3лгг -j- ЗхДд: (Дх)2) = Здт2.

Дх—-О

С другой стороны, на основании формулы 1из таблицы производных при п — 3 получаем у' = (jr)' = Зх2.

2. Найти угловой коэффициент касательной к пара­ боле у — х2в точках 0(0, 0) и М(3, 9). В какой точке каса­

тельная к параболе у = х2образует с осью Ох угол в 45°? Решение. Согласно формуле 1 из таблицы произ­ водных, имеем у'=2х. Так как угловой коэффициент

3. Точка движется по прямой согласно закону s(/) =

=312-+-21, где / — время; 5 — путь. Найти скорость точки

вмоменты времени / = 3 и t = 4.

Решение. Так как s'(t) = 6/ + 2, то v(t) = 6/ + 2. Тогда у(3) = 6-3 + 2= 20, и(4) = 6 •4 + 2 = 26.

4. Найти угол между двумя кривыми у = 2х2 и </= = л’3-J- 2х2— 1 в точке их пересечения.

Р е ше н и е.^Угол между кривыми y = f\(x) и у~(ч(х)

в их обшей точке Мо(*о, Уо) определяется как угол между двумя касательными к этим кривым в точке Мо (рис. 3.3)

и вычисляется по формуле

W -

1-\-fi(xo)fi(x<>)

229