Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

.1.pdf
Скачиваний:
2019
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
6.57 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

,

 

b

 

 

 

 

f

—

dx

в завися

и последующей замены x Ч--- = t интеграл \

— ■—

 

 

 

 

 

 

 

 

2 a

 

 

 

 

j

ах2+ £>* + с

мости

от

знака

выражения

с

 

Ь2

 

 

 

 

 

 

— —

■-я приводится к одному из интег

ралов

вида

 

 

 

 

 

а

 

4в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

-

т

= г' “

т

 

+с' S

?

r

p

-

i 4 ^ l

+ c’ « 2>

а интеграл

Г

 

dx

---

сводится

к

интегралу

 

\ — —-

 

 

 

 

 

 

 

уах*+Ьх-\-с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

•= [п|< + л/гач+ с,

Н-3)

 

 

 

 

\Л]Т±^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если а > 0, и

к

интегралу

 

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di

 

 

 

t

,

-

 

(4 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arcsin-7- Ч-C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

-если e < 0

 

 

интегралы

 

вида

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m*+rt

 

 

 

f

mx-\-n

^

 

 

 

 

 

a J+ b x + cJ

Уси^+Ьх+с

 

 

 

 

 

 

числителях подынтегральных дробей выделяют выраже

Если т Ф 0, то в S

 

 

 

а в знаменателях — полный

квадрат

ние 2ах + Ь = (ах2Ьх + f)'»

 

л

 

 

 

 

 

Г

 

тх + п

dx представляют в виде суммы

После этого интеграл

 

V— ---- ■----

 

 

 

 

 

 

} ах

-+-Ьх + с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f du

двух интегралов, первый из которых

сводится к интегралу V—

= )n lu |+ C ,

а

второй — к

интегралу

^

(2<+ &

ИЛИ

^ р~~ ft2

,.

 

г

тх -\- п

■dx также представляют в виде суммы двух

Интеграл

V—

 

 

 

 

 

J ^jax* 4 Ьх 4 -с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегралов, первый из которых приводится к интегралу Г

= 2-Ju +

.

 

а

 

 

 

 

 

с

 

dt

 

 

г

dt J V“

+ С, а второй — к интегралу \ ------- или \—

 

 

Интегралы

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dX

 

 

 

(г - 1,2)

 

 

 

 

 

$■(л»*4-я)г ija x 2 + Ьх+с

 

 

 

 

сводятся к рассмотренным ранее интегралам с помощью подстановки

/пдг+я= 1/<

Рассмотрим интегралы вида

f тХ+П -dx.

где квадратный трехчлен ox2+ t>x + c имеет комплексные корни. Hi___, рованме начинают с выделения полного квадрата

<и?+Ьх+ с= а(х+ +

и последующей подстановки х-f-

= t. приводящей интеграл к виду

 

dt

 

(I- + l2f

где А, В — некоторые числа Первый интеграл из правой чжтн получен­ ного выражения сводится к табличному

f du _ J —*

i-k + С,

а второй находят с помощью рекуррентной формулы, полученной в §4.2

П р и м е р ы

Найти интегралы.

,с _ * ____

3 х2 + 6 х + 1 3

Реш ение. Выделив в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат, получим:

[

dx

__ [

dx

_

f

d(x+ Э) _

J^+ex+IS

3 (x+3)2+4

 

J

(X +3)2+2*

 

 

1

дс-(-3

 

~

 

 

 

= Т arctg —s---hC.

. Г

Зх— 5

.

 

 

 

 

i.

\ —к------- dx.

 

 

 

 

3

-5х+6x2- J

 

 

 

 

 

Реш ение. Преобразуем интеграл следующим обра­ зом:

 

(Зх— 5)dx

__

3 х 2- 55х+6

3J (х-5/2) 2 -1/4

 

_ |

х —5/2= /, х—5/2+ /, I _

f з<+2,5

j

dx=dt

I

3/2-1/4

n —1699

321

+ 1 Ч Й & 1 + С -

Возвращаясь к переменной х, окончательно инеем

З х - 5

,

3

 

SJC4—5*+6

dx=

2

in \х?—5дс + 6| +

+ 1 Ч Й

Й + с -

з. , dx

J -уЗ— 2* —зг

Реш ение. Выделив в подкоренном выражении пол­

ный квадрат, имеем

f dx______Г dx

'

ф '- ь - г ^

V 4~ (•*■+о1

 

<Цх+\)

 

х + 1 1_ г

 

 

 

= arcsin —5-- г С.

 

д/г2-(*+ 1)2

 

З а м е ч а н и е

Если в

интегралах

вида

S

тх+ п

 

. Г

тх + п .

— ■

■— dx. \ — J '-----dx

-^ах* + Ьх + с

J ах Л-Ъх-\-с

в знаменателе коэффициент а^О, то его можно вынести за скобки: ах2-h

-fdx+C=e^JC2+ -^-*+

Л f

2 ~ 5jt

j

 

J

V^T+gT+T

 

 

Реш ение. Так

как

 

 

4 / + 9х+ 1= 4 (/ +

+ | ) =

 

= 4(^ + 2.

» , + (• )- +

| - ( | ) >

 

= 4( ( * + т ) - £ >

то представим интеграл в виде

 

f

2—5*

J _ f

2—5*

J

 

2 V ( * +9/8)2-65/64

322

Применим подстановку дс + 9/S=t, x= t —9/8, dx= dt. Тогда имеем

 

 

 

J f _________ 2 -5 .V

 

 

 

 

2

J

У (х + 9 /8 )г—65/64

_

1 f

 

61/8—Sf

j ,

5 f

Ш

~

2 J

 

 

 

2

з

i

61

f

<ft_________ 5 f d \ ? —65/64)

 

16

3

д/*2_ 65/64

4 3

л//2-65/64

+ "Гб lnl*+ V *2“

65/641= — у д//2 — 64 +

+ T ^ in I

 

 

л / 2— 1^1

+ c = - | V ^ + ^ T T +

+ -^-In u + У + ~ д/4/+9л+1 I + C.

5.

t-

. 4+3x

<to.

 

 

 

 

 

J У2-6Х-9*2

 

 

 

 

Решение. Преобразуем интеграл к виду

 

 

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

J Y 2 - 6 * - 9 /

 

J У 3 - (3 * + 1 )г

 

Применив подстановку

Зле + I = t,

х = у

(/ — 1) (lit =

— у dt,

получим

 

 

 

 

 

 

\

I

4+3х

>dx= T \ ^ r ^ r dt =

 

 

3

Уз-(Зх+1)2

3 3

д/з-<2

 

 

 

f

rf/

I f

dtf-/2)

.

t

 

 

— \—r = r — T i

<— - r = arcsin -5—

 

 

3

У з - ;2

6 3

д/з-/2

 

3

-

^ У з - / 2 +C=arcsin-2ii-!---- У 2- 6/ " 8** +C.

«•

\

,

“*

— ■

 

 

 

 

 

J

л:У^ +8х4-1

 

 

 

 

Решение.

Положим

x=\/t,

тогда

dx= — -pdt.

Находим

 

 

 

 

 

 

 

 

f

dx_________ _

[

l dt

_

 

 

J х У / +8ог+1

 

' t Vl/^+e/l+l

323

 

 

_

f

 

dt_______________f

di

 

 

 

 

 

 

 

' л / Т ^ Т Г

 

J л/(< + 4)?— 15

 

 

 

—

S

,

T

 

1'

 

'» —

| п 1 , + 4 +

 

 

 

j

 

д /« + 4)2_ ( / l 5

) 2

 

 

 

 

 

 

+ У (* - Н )2-

(УТ5~Р| + C ^ - ln | / + 4-|-

 

 

 

 

 

+ У<*+ 8/+1 l+C,

 

 

 

Где

t=\/x.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

_

f

5л:— 13

 

 

 

 

 

 

 

 

7* J (/ +4X+5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

Реш ение. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

5x— 13

 

.

_ f

JC— 13/5

 

,

 

 

 

1

(/+4*+5)2

rfjf= 5j , „>2 , ,,2 dx•

 

 

 

J

 

J

((дг+2)2+1)2

 

 

Произведем

 

замену

 

переменной

x+ 2= t,

x= t —2,

dx = dt. Тогда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5f

...

 

 

 

2 dx= b \ ^ ^ d t =

 

 

 

J

((*+2)

+ 1)

 

 

J <;2+Пг

 

 

 

- ' S ^ - v l - g f a r - T W + v - W + i ) -

 

— 23i

 

 

, dt , = ---- r ------ 2A

J

2dt

2'

 

 

3

(r+ i)z

 

 

2(r+l)

 

(r+ i)2

Применив рекуррентную формулу для вычисления ин-

теграла

f

 

 

di

имеем

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S l7 T T F

= ^ 7

r

+ y

arc‘g ' + c -

 

Перейдя к

 

переменной

х,

окончательно

получим

 

 

S

 

 

5л— 13

 

.

 

 

5

 

 

 

 

 

( ? + 4* + 5)2

dx=

2(** + 4* + 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

*+ 2

 

 

23

 

<*+2>+с -

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

324

Задачи

для

самостоятельного решения

В задачах

4.66—4.87

найти интеграл.

4 66'

\dx■( ° ™ ет

I -TTT-I + с )

4.67.

(

 

xdx

 

( / + 2* + 2 ) 2 '

 

( Ответ,

- i ^ - J ^ + a r c t g O c + l ^ + C.)

,

Г

 

Здс— 5

 

4.68.

\

 

— — dx.

 

 

J

yx?-4x +b

 

(Ответ:

3~\Jх2—4х-j-5 + ln |jc—2+ д /?—4*4-5 | + C.)

I/ 4.69.

\ х+- - ■dx.

,

 

J д/з+4*-4/

v

Ответ: -j ( j arcsin--g 1-- -\j3+ 4x—4д^ + С.)

4.7°.

\

,

dX

 

\

 

J

\9>c+6x—I

Ответ: -j In |3JC+ 1+ V 9^2H-6JC— 1 j + C.)

4.71. J д/х2—4* + Xdx.

О т в е т :

x 2 2 -\Jjc2— 4x+ 1 + y in [JC— 2+

 

 

 

 

 

+ y / - 4 * + i l + c . )

4.72. \ д/з + 2x-x?dx.

Ответ: — —“

д/3+ 2х—дс2+2 arcsin * 2 1 + C ^

.73.

J

, 4<fx---.

 

 

J

3 /+ 8 JC- 2

 

 

0твет

^

4

w

+

v S l + c )

4.74.

(

/3x"~1

dx.

 

J

-y*2+2*+2

 

(Ответ: 3У JC2+ 2JC+ 2 —4 In |x+ l +

+ ^ [7 + 2 4 + i'\+ C .)

32S

4-75- J

 

 

 

 

 

 

(Ответ: |

arctg (*+1) + |

 

+

 

 

Г

 

Зх + 2

 

 

+ 4(ж5-Ь2*+2)* + C )

4.76. \

2

 

7T dx.

 

 

 

 

J

(я2

- 3*+3) 2

 

 

 

 

/ _

 

13x— 24

.

26

.

2jc—3

_ \

( ° reeT:

»[^-a.+3) + IV T arct*

- JS - + c )

4.77. {

i* ~

— dx.

 

 

 

 

 

J

/ + З.Г+4

 

 

 

 

(Oreer: jc— y in

I*2+ 3x+4| +

 

arctg 2x^ 3 + C.)

. __

f

j.

xdx

 

 

 

 

4.78.

\

 

 

 

 

 

 

 

J

y5f-2x+l

 

 

 

 

(Ответ:

1

^ 7 Z

i ^ T

+ _ L _ in

| * y 5 -

+

+ д /5 ^ -2х+ 1|+ С .)

4.79.{ 2 *— -- .

J /-fix+IO

(Ответ: jc+ 31h (дс2—6x+ 10)+8 arctg (jc—3)+C.)

4.80.[ **— — dx.

J з^ - ^ + б

(Ответ: |-1п |Зле2 + 2x-f 51 +

arctg 3^*j1 + C.)

4.81. \

|--~ 7

dx.

 

J

8^ + jt+ l

 

 

(o ™ «r: 4

- In |8«! +

, + l | - - sllIr

a r c t g - ^ ± i + C . )

4.82. t

 

*+5-- dx.

 

J

2x?+2x + 3

 

(Ответ: y in

2*s+ 2x+ 3| +

arclg ^-±-! + C.)

4.83. Jf

sin

x—6 sin x+ 12

 

(Ответ: _ - L . a r c t g i ^ + C . )

4 М

- S

7

: 5

+

3

'

( ° ™

4.86.t — ' " dx

•*л: V 1—4 >пJf— In2дс

| Ответ; — д/1—4 In дс —In2JC —2 arcsin 2^ 1”— + C.^

4.86.

(

j

5— dx.

 

J

x —2jc—8

(Ответ: y1in

|/- 2 *- 8 |+ 1 п | ^ z i| + C.)

 

 

3x—4

dx.

4’87' ^

/ + 8д:+ 15

 

(Ответ: y in

|/ + 8 *+ 151-16 In | ^± || + C .)

4.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ

ДРОБЕЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ

ИХ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ

Рациональной дробью называется дробь вида QW , где P(jc),

Q(дг) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р{х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае она называется неправильной.

Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следую­ щие четырех типов:

I- 4 - s

х— а

II. ---—---, где m3*2, mg N;

(*-а>"

III.

^ х

^— , где р1/\ — <? < 0, т. е. квадратный

трехчлен

 

х‘ + рх + q

 

 

 

х + рх + q не имеет действительных корней;

 

 

 

Ах -4- В

г £ N, и квадратный трехчлен х* -j-

IV. —--- —----- , где т ^ 2 ,

(*

+ р* + qY

 

 

 

+ рх + q не имеет действительных корней.

 

 

Во всех четырех случаях предполагается, что А,

В , р,

q, a£R.

Перед

 

 

Р(х)

 

интегрированием рациональной дроби ^

- яеобходимо

выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления.

1.

Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее

целую часть,

т. е. представить

эту дробь в виде

 

 

 

 

Р(х)

, Р >М

 

 

где М(х) — многочлен;

р■<*>

--- правильная рациональная дробь.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные н квадратичные мно­ жители:

Q(x) = {x - a r (x - b ) - (x ‘ + Px + qy...,

где квадратичные множители имеют комплексные сопряженные корни.

3. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дро^

6и:

/>iW

Ai

\

А*

\

\ Ат

\ а‘

(?(*) "

( x - a f

(лг-о)”1- 1

"

х—а

(x - b )s

J

в 2

l j

в 5

 

с ^ + о ,

i ---------------

------------i ____ L

4. ____ . Z

1 .______ t-

+ (x- Ь )* - 1 + + x- Ь + " + t f + p x + t f +

 

C^x+ D2

 

 

C,JC4-Dr

 

 

{*?+ px+ q)r~ ] + +

Z+ px -fij

 

4. Вычислить неопределенные коэффициенты At, Аг, .... А„, В,, B j....

Bs, ..., СI. D\, C2. Z>2.....

C„ Dr, ..., для чего привести последнее равен­

ство к общему знаменателю, приравнять в числителе коэффициенты при одинаковых степенях * в левой и правой частях полученного тождества н решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффици­ ентов. Можно определить коэффициенты н другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффици­ ентов

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахож­ дению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

П рим еры

1. Найти \ 32j^ , 1— dx.

J дс —5;Г+6ж

Решение. Разложим на множители знаменатель по­

дынтегрального выражения;

/_5 /_|_6 *= х{х 5 —5х+6) = х(х—2) (х—3).

Так как каждый из множителей х, х —2, х—3 входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде сум­ мы простейших дробей типа I;

2 ^ - 1 _ А

в

С

х(х—2 )(л —3) ~

X ~т~ х—2

* —3 ‘

Освободившись от знаменателей, получим

2Х2- 1 = А {х? - 5х+6) + В (х2Зх) + С (х2~2 х ).

328

Сгруппируем члены при одинаковых степенях х:

2х*-1 = (А + В + С )х *+ (- 5 А - ЗВ - 2 С )х + 6 А .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по­ лучаем систему уравнений

А

+ В + С=

2,

—5А

—ЗВ —2С=

О,

6А = - 1,

из которой находим: В = —7/2, С=17/3, А — — 1/6. Таким образом, разложение рациональной дроби на

простейшие имеет вид

2 ^ - 1

_ -1/6 _

7/2

17/3

jc (дс —2)(х —3)

х

х— 2

.г— 3'

Неизвестные /4, В, С можно определить и другим спосо­ бом: после освобождения от знаменателя придать х столь­ ко частных значений, сколько неизвестных содержится в системе (в данном случае — три числовых значения). Осо­ бенно удобно придавать х значения, являющиеся действи­ тельными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера.

После освобождения от знаменателя было получено равенство

2Х2— 1= Д(ж—2) (лг—3) Н-Йдг(х—3) + С лг(л: —2). (I)

Действительными корнями знаменателя являются числа О, 2, 3. Положим в равенстве (1) х= 0. Тогда

_ 1=А (0 —2) (0 -3) +В-0- (0 -3) +С-0- (0-2),

6Л = - 1, А= — 1/6.

Полагая дс = 3, получаем: 17 = ЗС, С=3/17. Далее, по­

лагая х= 2, имеем: 7 = —2В, В = — 7/2. В результате по­ лучились те же значения, что и при первом способе опреде­ ления неизвестных.

Итак,

Г

2х*-1

, _

I

Г

 

J

* (* - 2 )(* - 3 )

 

6

)

х

 

7

С dx

17 f

dx

_

 

2

j х - 2 + 3 ] х—3 —

— — у In UI — у In \х— 2| + у

In \х— Й| + С.

329

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности