|
ь |
ь |
ь |
|
|
|
4) $ (/iW ± M *))d *= $/i (*)<** ± \}i(x)dx, |
|
|
a |
o |
o |
|
|
|
t> |
b |
|
|
|
5) |
^cf(x)dx = c^f{x)dx; |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
6) |
если |
f(x) 3&0 (fix) *£ 0) для |
[a. 6] н |
a <b, to |
|
|
\f(x)dx^ 0 |
|
|
|
7) |
если |
ft (x) ^ fi(x ) для x£ |
&] |
и o<ft, |
to |
|
|
b |
t> |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
8) |
если /{*) интегрируема на отрезке fi; 6] и для этого отрезка имеет |
место |
неравенство m ^ f(x )^ .M , |
то |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
m (b - a)^ . |
|
—а); |
а
9) если f{x) непрерывна на отрезке {з; Ь], то существует такая точка с£}Р', Н что справедливо равенство
ь
\f(x)d x= f(c)(b - a)
а
(теорема о среднем значении);
X
10) если функция /(дг) непрерывна и Ф (х) = J f (0 dt, то справед-
а
ливо равенство Ф '(*) = f{x ) , т. е. производная определенного интеграла от непрерывной функции Дде) по его переменному верхнему пределу х су ществует и равна значению подынтегральной функции при том же дг.
Рассмотрим правила вычисления определенного интеграла.
I. Формула Ньютона — Лейбница. Если функция f (дг) непрерывна на отрезке 6] и F (дг) — какая-либо первообразная для /(*) на этом отрез
ке, то справедлива формула
ь
5/(x)dr=F(.*) |*= F (b )— F(a).
2, Замена переменной в определенном интеграле. Пусть функция
Цх) непрерывна на отрезке [а; 6|, функция *=<р(0 определена и непре рывна вместе со своей производной ка отрезке [а: р], причем для любого t 6 [а; р] <р(/) £ ]а; 6] Тогда, если <р(а) = а, <р(0) = Ь, то
ьр
^f(x)dx= J/(q>(/))<p'(0 df.
аа
3 Интегрирование по частям Пусть функции и{х), и(л) имеют не прерывные производные на отрезке (з, Ь] Тогда справедлива формула
6 ь jud« = uv|£— ^vdu
аа
4 Если f(x) — нечетная функция, то
в
j !(x)dx = 0
—а
Если f(x) — четная функция, то
J f(x)dx= 2y{x)dx
П римеры
Вычислить определенные интегралы.
9
1. | (^fx — 1) dx.
Решение. Применим формулу Ньютона — Лейбница:
^(У* — 1) dx = ^(xl/2— l)dx = ( j x /2—x) \*=
Таким образом, найдена площадь фигуры, ограничен ной прямыми jc = 4, л: = 9, осью Ох и кривой у= -Jx — 1
(рис. 5 I)
2. j In (х+
Ри с 51
Реш ени е. |
Интегрируем |
по |
частям, |
полагая |
«=1п (* + 1), |
dv = dx, du—^^ydx, |
v = x. Тогда |
e - l |
|
|
|
, е — I |
_ |
г— I |
|
j In (л -j-1 )dx=*x In (jc+ 1) J |
С - J - |
d x = |
|
|
|
|
|
|
J *+i |
|
= (e— I ) In e— |
^ |
U + D - l |
dx= |
|
|
|
Ce—I |
|
*+l |
|
|
|
|
C— l |
|
|
|
I |
C— I |
= ( e - l ) ~ |
\ |
dx+ J |
- ^ Г = (й_ |
1) _ х |
+ |
|
о |
о |
|
|
|
I |
о |
- + ln U + l| | *~' = (e - l)- < e - l)+ ln < > - ln 1= 1.
Данный интеграл геометрически выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 1п (х+1), прямыми х=0, х = е— 1 и осью Ох (рис. 5.2)
9
xdx
’$■VT+7'
Решение. Положим -^1 +х =t. Тогда х = ? — 1,
dx=2tdt. Если д с= 3, то / = 2; если jc = 8, то t=*3. Следова тельно,
8 xdx |
(5 ( гг— 1) -2tdt |
3 |
2 |
=2|((! - 1 )Л = 2(4— |
<)| - 2 (9 - 3 - - § - + 2 )= f . |
4. ^jc2 д/1— х2 dx.
Реш ение. Положим дг=^=sin t, тогда <l»:= cos tdt. Если х= 0, то / = 0; если х=1, то <= я/2. Отсюда находим
1 <, I------ |
я/2 --------- |
jjf у I —x2dx= ^ sin2 /у 1—sin21 cos tdt =
|
я/2 |
я/2 |
|
= j sm21cos2tdt = |
j sin22/d*= |
|
л/2 |
|
= | |
j (l- c o s 4 0 ^ = |(/ - |s in 4 / )| |
n /2 |
d* |
|
« |
|
5. 5 |
2 cos JT+ 3 |
|
Решение. Применим подстановку / = tg y, отсюда
jc = arctg/, dx= ~~г- Если jc= 0, то / = 0; если x=n/4,
to t= l. Tогда
n/2 |
|
|
1 |
|
|
|
r |
dx |
_ |
f |
_____________2dt |
|
|
Jо 2 cosx+3 |
|
J |
_ |
/< |
|
|
|
|
|
° |
(1+<3)( |
2<|+/g>+3) |
|
|
|
|
= 2i |
^ |
= |
r |
2x I
=-7Г arctg -7Г- y5 d,“ K V5'
6.Вычислить среднее значение функции у= д/х +
+ i/V* в интервале (1; 4). |
ь |
Решение. Применим теорему о среднем: \f(x)dx =
а
= /(с)(6 —а). Тогда
Ис) = т = т У (х)</х*
5.2.J х2cos 2xdx. [Ответ: - 3/-~.j
5-3' S 7 7 7 Т Г ( 0г<кт; t )
|
2 / V » |
V |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5-4. ^ т т т е т - |
( 0твет: 2( ,п2~ т ) |
) |
5.5. |
n/< |
( |
-dx |
|
(Ответ: |
—^=Л |
|
|
J |
|
/ |
|
|
l-f2sin |
л V |
|
Зуз |
|
s-e- 5 |
^ |
= |
- |
( ° ™ ет: |
|п £т |
^ - |
) |
5-7- |
|
|
|
|
( 0г,кг; |
агс' е т ) |
|
5.8. |
Д/4 |
|
|
|
/ |
|
8 |
|
|
|
^cos72xdx. |
[Ответ:35.j |
|
л
5.9.sin xdx. (Ответ: я3—6л.)
1 |
/ |
2 \ |
|
5.10. \^xe~*dx. (Ответ: |
1— —.J |
|
^ |
/ |
|
3 \ |
5.11. Jjc In xdx. (Ответ: 2 In 2— |
|
я/2 |
|
|
|
5|2- S т Д г г - |
'•> |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5.13. [ — d—. . (Ответ: |
6 ' |
|
3 у ^ 7 |
' |
|
I |
|
|
|
5л4- ^ 7Г^~ -Г. (Ответ: arctg е—
О
In 5 |
r—x-- |
5.15. ^ |
1 dx. (Ответ: 4 —я.) |
оe
5-,e- j iT T b i- |
( 0т‘ ет: * ) |
5' 17' |
|
n/2 |
2 |
5.18.| sin3<j>d<p. (Oreer: —
5.19. j" |
i 2dX |
(Ответ: |
In --+^ |
.) |
f x-\jx2+ 5x+ l |
y |
9 |
/ |
- n /4 |
, |
„ |
|
|
5.20.f ™ .xdx(Ответ: 32(7д/Т—12)Л
-i/i
'2
5.21. t |
* d~~ {Ответ: д/2 — In (л/2+ l ) . ) |
_ i |
v ^ * |
5-22- |
( 0твет: ■®r-) |
5.23. Найти среднее значение функций /(дс) =sin jc и
/(x)= sin2;t для х£ [0, л]. (Ответ: 2/л, 1/2.)
5.24. Найти среднее значение функции / (л:) = p^jTf
для |
[0; 2]. (Ответ: 2 + In fi2+ ( |
|
|
|
X |
|
5.25. Решить уравнение \ гг~~ ~ |
(Ответ: |
х= 2.) |
|
* V* - 1 |
|
|
^ |
|
5.2. |
ВЫ ЧИСЛЕНИЕ |
ПЛОЩАДЕЙ |
|
ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ |
|
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
|
Рассмотрим следующие случаи |
|
1 |
Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывноЛ линией |
у=Цх) |
(f{x) ^ 0 для х£ (з, 6)), ординатами х —а, х=Ь и отрезком оси |
абсцисс |
(рис 5 3), выражается |
интегралом |
|
|
ь |
|
(5 0 |
|
S= |
|
а
2. Плошадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у=с, y = d, непрерывной кривой х = g(y) (g(y) > 0 для у£ [с; rf|) и осью Оу (рис. 5.4), выражается интегралом
d
S= \ g\y)dy- (5.2)
С
3 Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми х=а, х= b и двумя непрерывными кривыми у = /,(*), у = /2(v)(Ы АХ h w для х£
f [а, £]) (рис 5 5), вычисляется по формуле
ь
s = j (h М —ft W )dx- |
<5-3> |
4. |
Если фигура ограничена прямыми |
у= с, y= d и кривыми |
x—giiy), x= giiy) |
{g\(y)<gs{y) Для у£ |
(рис. 5.6), то СС пло- |
щадь |
определяется |
формулой |
|
|
|
d |
|
s = J (гг(?)-81(0))<**/• |
(54> |
с |
|
5. Если кривая задана параметрическими уравнениями дг=дс(/), У==У(О, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=&, осью абсцисс и кривой, находится по формуле
е
S = $</(/)*'(<)<*/, |
(55) |
a |
|
где a и р определяются из формул х(a) = a, -r(fl) = |
^ 0 для I £ |
€(«. №
6 Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, задан ной в полярных координатах уравнением г = г (9), и двумя полярными радиусами д>=0 ( « О ) (рис 5 7), выражается интегралом
S = |
1 Р |
|
y jr 2(«p)dip |
|
|
a |
|
7Если фигура ограничена двумя полярными радиусами ?= а , |
и кривыми r = rt(<р), г=гг(ф), где п(ф) <У2(<р) для |
I*. Pi (рис |
то ее площадь находится |
по формуле |
|
1 р
5 = ^ J (Г2(<Р>—rf(<p))dcp |
(5 7) |
Р и с 57
Примеры
I. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у~4/х, х=\, х=А, у = 0 (рис. 5.9).
Реш ение. Данная фигура является криволинейной трапецией, прилегающей к оси Ох, поэтому ее площадь находим по формуле (5.1):
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у= х2, у = 2 — х2 (рис. 5.10).
Реш ени е. Найдем точки пересечения данных кривых.
Для этого решим систему уравнений:
У=х2,
У
откуда х= ± 1, у=1.
Площадь данной фигуры находим по формуле (5.3):
5 = j (2 —x~ —x2)dx= J (2 —2x')dx =
-I
3. Вычислить площадь фигур, на которые парабола S/2= 6jc разбивает окружность хг+ у2— 16 (рис. 5.11).
Решение. Находим точки пересечения кривых. Для этого решаем систему уравнений
^ + / = 1 6 ,)
у2= 6х,)
откуда имеем *2-+6JC— 16 = 0, т. е. *i= 2, *2 = —8 (посто
