М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdfAS — S(A'o + Ax) — S(jco), = 2*oA*,
а при переходе от значения аргумента *о — 8 к значению *о + Ах = 9, имеем:
4S L =8 = 5 (9) — 5(8) — 92— 82 = 17 |
(см2), |
|Лх= I |
|
dSL^e = 2 -8 -1 = 16 (см2). |
|
|а*=1 |
|
3. Ребра куба увеличены на 1 см. При |
этом диффе |
ренциал dV объема V куба оказался равным 12 см3. Найти первоначальную длину ребер.
Реш ение. Пусть л-— ребро куба. Тогда |
V(х) = лг3, |
|
Ах = |
1 см, dV = 12. Необходимо найти *о. Так как |
|
|
dV = V'(*,)Ax = 3JcfcU, |
|
то 12 |
= 3*0' 1, *о — 4, откуда *0= 2. |
|
4. |
Найти дифференциал функции t/ = tg* |
в точке |
х0 = л/4, если А* = 0,5; 0,1; 0,01. Реш ение. Так как
dy = /'(хо)Л*= — ^— Ах,
COS Х0
то при х0 = л/4>Ах = 0,5 имеем
|
|
= |
‘ |
- 1 = I. |
|
|
|
|
|Лл = 0,5 |
|
|
( д ^ / 2 ) 2 |
2 |
|
|
Для Аде = 0,1 |
и А* = 0,01 |
соответственно |
получаем: |
||||
|
dy 1*0=л/4 = 2 -0,1 = 0,2 , |
|
|
||||
|
|i*=0,l |
|
|
|
|
||
|
dy L ="/4 |
|
= 2 -0,0 1 = 0,02. |
|
|
||
|
[л^—o,oi |
|
|
|
|
|
|
5. Найти |
дифференциал функции |
г/= * arctg* — |
|||||
— In -^1 + х2 при произвольных |
значениях |
аргумента х |
|||||
и при произвольном его приращении Дx = dx. |
|||||||
Реш ение. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
у '= I .arctg* + — |
|
--- - J = |
|
= arctg*, |
|||
|
+ |
|
|
V l+*2 2VI |
|
|
|
a dy = y'dx, то dy = arctg xdx. |
|
|
|
||||
6. Вычислить приближенно cos 61°. |
|
Здесь /(*) = |
|||||
Реш ение. |
Применим |
формулу (3.7), |
|||||
= cos*, *о = 60°, А* = 1° = я/180, /'(*)= |
—sin*. Тогда: |
||||||
250
cos(x0+ Дх) да cos XQ— sin х0Дх,
cos(60° -}- Г ) « |
|
71 |
cos 60° — sin 60° •-jjr =• |
||
= ° ' 5 - # w |
* w |
# w * °-4868- |
7. Вычислить приближенно tg44°.
Реш ение. Воспользовавшись формулой (3.7), где
Дх) = tg х, jt0= 45°, Дх = — 1° = —л/180, Г (■*)=*1/cos2x,
получим:
|
tg(x0+ Дх)да tg х0----[— Дх, |
|
|
|
COS *0 |
tg(45° — 1°) ft; tg 45°---- i-----— да |
||
& |
& |
c o s 2 4 5 ° 180 |
|
' + т ( - Т 5 о ) * ад657- |
|
8. Вычислить приближенно -у5. |
||
Реш ение. Воспользуемся |
формулой (3.7) и будем |
|
рассматривать д/5 как частное значение функции у = -фс
при x = x0-f Дх=5. Пусть Х о = |
4, Дх= 1. Тогда /(хо) = |
|
= д/4 = 2, а |
|
|
^ ^ ^ 2-ф^х‘=4 |
2л/Г |
4 |
Следовательно, |
|
|
УЁГ — д/4 + 1 да д/4~+ |
Y ‘ 1 |
2,25. |
9. Вычислить приближенно д/нх |
|
|
Реш ение. Будем рассматривать |
д/кГ как частное |
|
значение функции /(х) = д/х при х = хо + Дх= 10. Пусть
х0= 8, Дх = 2. Тогда /(х0) = д{& ==2, |
|
||
П х о ) ~ - != |
I |
1 |
I |
|
|
|
|
3^4 |
|
|
|
Применяя формулу (3.7), получаем |
|
||
д/10_ д/8 + 2 **2 + |
_1_ |
|
|
- 1 - 2 д а2,166. |
|
||
|
|
12 |
|
251
10. Вычислить arctg 1,04.
Реш ение. Воспользуемся формулой (3.7). Здесь
f(x) = arctgх, хо~\, &х = 0,04, /'(*„)= 1/(1 х$). |
Тогда |
|
arctg 1,04« arctg I + |
•0,04 = + 0.02 |
да |
да0,785 + 0,02 да0,805 да46°7'.
11. Убедиться в том, что функция у, заданная урав
нением
arctg^ = lnV ^T7 , (О
удовлетворяет соотношению x(dy — dx) — y(dy -|- dx). Реш ение. Исходная функция задана неявно. Найдем
дифференциалы от обеих частей уравнения (1). Имеем: rctg-jj^ = d(tn^Jx2 + у2),
т. e.
1 |
xdy — ydx ________1 |
I |
(2xdx + 2ydy),
\+ (y/xf |
** V * 2+ V* H - S + У2 |
|
|
|
|
x1 |
xdy — ydx __ xdx + ydy |
|
|
Отсюда |
V + 7 |
? |
+ |
' |
|
|
|
|
|
xdy — ydx = xdx -f- ydy, dy = *^ |
dx, |
|||
|
x(dy — dx) = y(dy + dx), |
|
||
что и требовалось доказать. |
|
|
||
12. Найти dy, d2y, если у = 4~*\ |
найдем сначала dy: |
|||
Реш ение. Так как 'd2y = d(dy), |
||||
dy = f'(x)dx = 4~х 1п4-( —2x)dx.
Далее имеем
d2y = f"(x)(dxf = —2 In 4 •(4~‘1x)/(dx)2=
—- 2 In 4 •(4_дг5 In 4 •(—2x2) + 4-zt)(dxf _
=—4-jr! •2 In 4 •(1 — 2ДГ2 In 4)(dx)2.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 3.81—3.86 найти дифференциал фу
3.81. у = ± + arctg А |
(Ответ: |
Л |
а |
\ |
х2(<г + ;г ) } |
252
у = д/Т+х2. |
( Ответ: |
xdx/^j 1+ х2.) |
3.83. у= ln - ^ - . |
(Ответ: |
- ^ г Л |
1+ ** |
^ |
1-Х* ) |
3.84. о— arcsin—. (О твет:---- --- Л |
||
* |
V |
) |
3.85. у = arctg-J4x |
— 1. /Огвег: ---d— _ Л |
|
V2х^4х —1 /
3.86.y=ctgjc + —!— . /Ответ: — L+S05* dx.\
sin X \ sin X }
3.87. Найти приближенное выражение для прираще ния: 1) AS площади кругового кольца; 2) AV объема
сферической оболочки. (Ответ:1) |
ASzzdS = 2nRdR\ |
2) A V & d V = 4nR2dR.) |
при х = л/6 и Дх = |
3.88. Найти dy, если y = cosx |
=я/36. [Ответ: dy = —л/72» —0,0436.)
3.89.Пусть у = х3. Определить Ау и dy и вычислить их при изменении х от 2 до 1,98. (Ответ: Ау= —0,2376, dy = -0,24.)
3.90. Период колебаний маятника Т = 2лд///980 с, где / — длина маятника, см. Как нужно изменить длину
маятника I = |
20 |
см, чтобы его период колебаний умень |
|
шился на 0,1 |
с? |
(Ответ:dtcv 4,46 |
см.) |
В задачах 3.91—3.100 вычислить с помощью диффе ренциала приближенное значение данного выражения.
3.91.arcsin 0,4983. (Ответ: 0,52164.)
3.92.tg45°3'. (Ответ: 1,0018.)
3.93.In 1,005. (Ответ: 0,005.)
3.94.sin30°2'. {Ответ: 0,5005.)
3.95.-д^ГГ (Ответ: 7,995.)
3.96.д/624? (Ответ: 4,998.)
3.97.д/§02? (Ответ: 30,03.)
3.98.д/257? (Ответ: 4,0039.)
3.99.д/7307 (Ответ: 9,004.)
3.100. /^ Р37Г ~ 1 , (Ответ: 0,782.)
V (2,037) +- I
253
3.4.ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ РАСКРЫТИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
При раскрытии неопределенностей вида |
и |
применяется |
Правило Лопиталя. Пусть функции /(х) и <р(*) дифференцируемы
в 6-окрестности точки *о и ф'(.с)Ф 0. Если lim f(x) = lim ф(д’) = 0 или
Х-+Хц х~+х9
lim f(x)= lim <р(х)= оо, т. е. частное f(x)/ip(x) в точке х = х,-, представ- X-+-XQ
ляет собой неопределенность вида — или , то
|
fix) |
/'(.<) |
|
|
|
lim ' ' = |
lim — |
|
|
|
x-i-xa |
<p'(jr) |
|
|
«.при условии, что существует предел отношения |
производных, |
|||
s |
Правило Лопиталя справедливо и в случае, |
когда функции f(x) |
||
|
и <р(лг) не определены при х = х0, но |
lim/(дг) = 0, |
lim ф(х) = 0. Для того |
|
|
|
с * |
X -J.I |
|
чтобы свести этот случай к уже рассмотренному, надо доопределить функции /'(дг) и <р(х) в точке х = л'0 так. чтобы они стали непрерывными
в точке хо. Для этого достаточно положить /(*<,) = lim /(х) = 0, <р(хо) =
дг—►JS<I
= lim <{’(*) = 0, так как предел отношения f(x)/<t(x) при х~>-хп не зависит
Х-*-Х<>
от того, определены ли функции /(*) и ф ( х ) в |
точке х = хц. Если f'(.*o) = |
|||||||||||
= ц>'(jco) ==0 |
или |
lim |
lim (р'(х) = |
оо, |
<j"(.v) Ф 0 |
и существует |
||||||
Г(х) |
|
|
|
л—*х$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то приходим к формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim ~ ~ г> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Х^-Хъ ф (х) |
|
|
,im Ш |
_ |
lim |
rtSL |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
х~Хь ф'(х) |
|
х~хс ф"(дс) |
|
|
|
|
|||
и т. д. |
|
неопределенность |
вида |
О-оо. |
Пусть |
lim/ ( JC) = 0. |
||||||
Рассмотрим |
||||||||||||
lim <p(x)«: о©. Тогда |
неопределенность вида 0*оо |
|
Х-+ХС |
|
не- |
|||||||
преобразуют к |
||||||||||||
определенности вида |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1«т(/(д£)ф(дг))= lim |
- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
*-*■*> |
|
х-**, 4/<р\х) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
или к неопределенности вида оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim (/(дс)ф(лг)) = |
lim |
■ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
*-*e |
|
|
x-rxo |
I/f(x) |
|
|
|
|
|
Если lim /(.v) = оо, lim ф (дг| = оо , т о |
выражение f(x) — ф (л ) |
можно |
||||||||||
Х-*Хо |
|
Л-»Хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразовать слудующнм образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f(x )- |
<f(x) = f(x)(l - ^(х)/((х)\ |
|
|
|
|
|||||
азатем раскрытьнеопределенность ~ |
ф(х) |
|
оо |
„ |
.. |
■ |
<р(х) |
|||||
- вида ——. |
Если |
Kim |
Ф |
|||||||||
Ф 1, то lim (/(дг) — <р(дс))= |
оо. |
|
/(■*) |
|
00 |
|
X—XQ |
|
Цх) |
|||
X-+XQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
254
Если же lim ^ |
7-=1, |
то |
получаем |
неопределенность вида |
|
х—Ч дх) |
|
|
|
|
|
ос -0, рассмотренную выше. |
оо — оо•можно |
также преобразовать к |
|||
Неопределенность |
вида |
||||
|
О |
|
|
|
|
неопределенности вида — : |
|
|
|
|
|
Iim ( / ( * ) - <р(*))« Iim |
* |
~ |
( lim /<лс) = оо, |
||
x-*ta |
x-~xt |
|
l/ (f(X )< f{X )) |
|
|
|
lirti |
<р(дг) — оо). |
|
||
|
х^р-хц |
|
|
||
Рассмотрим неопределенности вида 0°, оо°, J® . Необходимо найти |
|||||
lim (f(x)flx>, где f(x) при х-^ха |
в |
первом случае — бесконечно малая, |
|||
во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел, равный единице. Функция же q>(x) при *->-*о в первых
двух случаях |
является бесконечно |
малой, а в третьем — бесконечно |
|
большой. |
|
получаем равенство In </ = |
|
Логарифмируя функцию у = |
|||
= <р{х)1п }(х) н |
находим предел 1п у |
при х->-х,:,, после чего определяем |
|
предел у при х-*х(1. Во всех трех |
случаях In у при |
является |
|
неопределенностью вида 0 •<х>, метод раскрытия которой изложен выше. При вычислении пределов с помощью правила Лопиталя возможно использование эквивалентных бесконечно малых, ранее известных за
мечательных пределов и т, д.
Примеры
Вычислить пределы путем раскрытия неопределенно
стей вида ~ или |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. lim * ~ sin* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о х — tg х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реш ение, |
Убедившись, что при *-►() имеет место |
|||||||||
неопределенность вида |
|
применяем правило Лопиталя; |
||||||||
П т *-- Ф * = l b |
' - cos* |
= \imil— |
*1^1* = |
|
||||||
x-»0 X — tg X |
|
|
J — 1/cos X |
|
r—0 |
cos |
x — \ |
|
||
^ H m--( cos- |
|
* |
- |
= - lim |
.e0*2* |
= — —. |
|
|||
Jr->-0 (cos x — l)(cos X |
|
I)*-►<) |
1 |
COS X |
|
2 |
||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x — sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Реш ение. |
Имеем |
неопределенность вида |
для |
|||||||
раскрытия которой применим правило Лопиталя: |
|
|||||||||
ljm f - g- *- 2* = |im е>± е ^ ~ 2 |
|
|
||||||||
.г-*-0 |
|
X — sin X |
лг-^0 |
1— cos X |
|
|
||||
255
Поскольку полученное выражение также представляет собой неопределенность вида оо_ то, применив еще два
раза правило Лопиталя, имеем
цт Л ± £ ^ 2_ ! т , £ = £ L = i —О I — COSXДГ—о sin X
|
|
= Vlm£ + JZ L = l± L ^ 2 , |
||||
|
|
jr—0 |
COS X |
|
1 |
|
3. lim-^-. |
|
|
|
|
|
|
r—'» |
X |
|
|
|
|
|
Реш ение. Так как данное выражение представляет |
||||||
собой неопределенность видато, применив 5 раз пра |
||||||
вило Лопиталя, получим |
|
|
|
|||
|
lim ~ |
- lim —V = lim |
^ = lim |
— |
||
|
оо х |
*->» 4jt |
х-^оо ]2.г |
24х |
||
|
|
|
г- |
? |
= оо. |
|
|
|
= lim — |
|
|||
|
|
|
*-*» |
24 |
|
|
4. lim - |
. |
|
|
|
|
|
-с-^0 |
ДГ |
|
|
|
|
|
Реш ение . Имеем неопределенность вида -jj-, которую |
||||||
раскрываем по правилу Лопиталя: |
|
|||||
lim * " |
|
= lim |
1/(1 + **> = lim - L± 4 n L = |
|||
x-*o |
дг |
дг-^о |
|
2дс |
|
(1 + j^ ) - 2 x ' |
“2(1 + n’t
5.lim-*’' - 3' - 1
*—0 sin25*
Реш ение. Раскрывая |
неопределенность вида у по |
||||
правилу Лопиталя, имеем |
|
|
|
||
lim ^ |
— ? » - ' |
= lim------- |
----------------------- |
l i m |
- - — — ^ - |
jc—о |
sm эхдг—о |
2 sin 5-г •cos 5х •5 |
*-*-0 |
5 sin 10х |
|
|
|
= lim------- |
^ |
= -1. |
|
|
|
/—в 5 •10 cos Юдг |
50 |
|
|
Найти пределы выражений, представляющих собой неопределенности вида 0 •оо.
6. limj^lnx
JC—►О
256
Реш ение. Имеем
lim jc2 In х — Iim |
. |
|
0 |
х-*0 |
I /х2 |
Полученное выражение представляет собой неопре
деленность вида 'гс°°- . Для раскрытия ее применяем
правило Лопиталя:
|imJ!L* -_=П т- J£ - = _ J_ iimx2 = 0.
*—о L/дг |
о — 2/х32л—о |
7. lim(я — *)tg y.
Х—~П |
£> |
Реш ение. Убедившись в том, что имеет место неопре
деленность вида 0 •оо, преобразуем ее к неопределенности
ОО
вида — :
оо
|
|
Iim(л — |
2 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
*-*-n J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л—x |
|
|
|
|
а затем применим правило Лопиталя: |
|
|
|
|
||||
, |
* |
|
i |
j_ |
|
|
|
|
|
з |
х 2 |
|
|
|
|
||
i:_ |
~2 |
l:„ |
CW |
2 |
l;„ (n - x f |
|
|
|
lim— -— — lim------------- ==■lim —---- —. |
|
|||||||
|
I |
JC-^Л |
I |
. . . |
x—n л |
X |
|
|
----- |
— |
---- -j- ■( — t ) |
2 cos |
— |
|
|||
n — x |
|
(л — x f |
|
|
2 |
о |
|
|
г> |
|
|
|
|
|
|
для |
|
В результате получаем неопределенность вида |
|
|||||||
раскрытия которой применим два раза правило Лопиталя:
limi f l ^ |
. = 1im---- 2<л~ *><-■)---- = |
|
л— я |
, X *->-лX / |
X \ 1 |
с~2 4cosT ’( - * mT ) ' T
= iim |
= |im ^ L = ^ L = l. |
а-*-п — 2 S in X |
x-*-n c o s A' — 1 |
Вычислить пределы, раскрывая неопределенности &ида
оо — оо.
8. lim(ctgjc — 1/х).
Реш ение. Записав ctg* = cosx/sin х и приведя дан
ное выражение к общему знаменателю, получим неопре
деленность вида
® - 1699 |
257 |
lim/«£iL _ |
_L\ = )im * |
- s-^ , |
||
x-+o^ sin x |
x / |
*-*o |
x sm x |
|
к которой применим правило Лопиталя: |
||||
х cos х — sin х |
__iim |
cos * ~ x sin * ~ cos x = |
||
x^o |
x sin xjr-о |
sin x 4- x cos x |
||
— lim— ——sin x— = | sin |
x при x-»-0 | = |
|||
jr-»o |
sin x + x cos x |
|
|
|
= tig , +1 |
~ Й |
|
- 1 - °- |
|
9. lim(-----1 Y |
|
|
|
|
x—ii у x |
e* — 1 / |
|
|
|
Реш ение. Приведя дроби к общему знаменателю, преобразуем неопределенность вида оо — оо к неопреде-
|
0 |
|
|
|
ленности вида -д-. |
|
|
|
|
|
lim/---- ~г Ц Л = lim— |
|
||
|
л-►о \ х е* — 1 ) |
i-Ki |
х(е? — I ) |
|
а затем применим правило Лопиталя: |
|
|||
цт |
g1— I _ |
]jm |
g1 |
_ _l_ |
л_»о ё* — I -J- xe* |
x-*(s |
e1+ xe* + e* |
2 |
|
Найти пределы выражений, раскрытия неопределен |
||||
ности вида 1" , 0°, оо®. |
|
|
|
|
10. Iim(£* +x)l/Jt. |
|
|
|
|
,r-*-0 |
|
|
|
|
Реш ение. Имеем неопределенность вида 1". Поло |
||||
жим y = (eJI-|-jc)l/JI и прологарифмируем обе|части этого равенства:
|
|
1п у= у \п(е* + х). |
|
||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
lim in у = lim lnK |
, |
|
|
|
|
х-й) |
х-*0 |
X |
|
|
Так как последнее выражение представляет собой |
||||
неопределенность вида |
то по правилу Лопиталя имеем: |
||||
,imi!!l£ l± il _ |
нш («■+ *>(8, + l) _ |
im, £ ± i _ |
i ± l »2 . |
||
-«—о |
х |
х-*о |
1 |
х^й е* + х |
1+ 0 |
258
Поскольку lim In у = 2, то X—О
limj/= lim(e* + х)'/х = е2.
г-*-0 х-*-0
1 1 . lim*81"'.
Х-+0
Реш ение. Данное выражение представляет собой
неопределенность вида 0°. Введем обозначение у = х*ю\
Прологарифмировав обе части этого равенства, получим In у = sin х In х. Отсюда
lim In у = lim(sin х\п х)= lim- |
1пдг |
||
о |
о |
х—о |
1 /sin х |
Имеем неопределенность вида — , Применив правило
Лопиталя, получим
Um_l!L*--- |
п т ----- |
Ц*---- |
= |
l/s in x |
х-»о ( — 1/sin jc)cosx |
* —о jc cos л: |
|
= ||im -^- = l| = lim - ^ |
= limtg* = 0. |
||
I jr—Mil X |
I |
jt~*0 COS X |
Jf-H) |
Следовательно, 1im у = Iim JC3"1 1= e° = 1. |
|||
|
x-*0 |
* ^0 |
|
12. lim (tg*)2jt-n. |
|
|
|
x-*-n/2 |
|
выражение представляет собой |
|
Реш ение. Данное |
|||
неопределенность вида оо°. Полагая у = (tg x fx~x и лога
рифмируя обе части этого равенства, получаем
In у = (2х —п)\п tgx
Тогда:
lim In у = lim {2х — л)1п tg дс = |
lim ln tg -- = |
||||||
ж-п/2 Г |
x-*/2V |
|
’ |
Ъ |
х-я/2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2дс— я |
|
= |
lim |
lgJf |
cos * |
= lim f c l i i L |
« |
||
|
x—n/ 2 |
1 |
|
2 |
х-*я/2 |
sin 2x |
|
|
|
(2x-~nf' |
|
|
|
||
|
|
= lim .2(2-*- я ) -2 = 0( |
|
||||
|
|
х—я/ 2 |
2 |
cos 2x |
|
|
|
|
lim у = |
Iim (tg xfx~n = eb = 1. |
|
||||
|
ДГ-Яn |
x—*-л/. |
Б |
' |
|
|
|
259