З а м е ч а н и е . Интегралы вида \ -- тг~-г—- |
dx |
\ |
J sin |
x |
J cos' T,JC |
, x лучше всего находить с помощью подстановки t = lg — .
Интегрирование тригонометрических выражений с помощью триго нометрических формул. Рассмотрим следующие случаи.
1. Интегралы вида
J sin тх •cos nxdx, J cos тх •cos nxdx, j sin mx-sin nxdx
находят с помощью формул тригонометрии: |
|
|
sin mx-cos пх= |
(sin ( т —«Jjc+sin |
(m +n)x), |
(4.7) |
cos т х -cos nx= -i- (cos (m — »)x-f-cos |
(m + n)*), |
(4.8) |
sin mx-sin nx=* (cos (m — n)x—cos (m+n)x).
2. Интегралывида j sin"1x cos" xdx, m, rt£ N, находят при нечет
ном n с помощьюподстановки (=sin х, при нечетном m — спомощью подстановки <=*cos х. Если же т и п — четные положительные числа, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью фор мул тригонометрии:
|
|
sin х cos х= ~ |
sin 2х, |
(4.9) |
|
|
sin2 дг= i- |
(1 —cos 2*), |
(4.10) |
|
|
cos2 л= -i- ( I +cos 2x). |
(4.11) |
3. |
Интегралы |
вида ^ lgmxdx, |
^ ctg"1xdx, TSA « € М» находят с по |
мощью формул: |
|
|
|
|
|
tg2х= J/cos2х— 1, ctg2x= l/sin2x— I, |
(4.12) |
последовательно понижая степень тангенса или котангенса. |
4. |
Интегралы |
вида |
|
|
|
|
J |
X--- -— dxt \ctgmx---- !— |
dx, |
|
cos r |
J |
sin x |
|
где n — целое четное положительное число, и интегралы вида
dx
cos2"* ’
где п, т — целые положительные числа, находят с помощью формул:
tg2х= 1/cos2х— 1, ctg2д:= 1/sin2jc— I.
Прим еры
Найти интегралы с помощью тригонометрических nqd становок.
dx
1•5 4 sin2 J : —7 cos2 x
Реш ение. Выпишем подынтегральную функцию:
|
|
|
/?{sinjc, cos А") = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin2 х— 7 cos2 л |
|
|
Так |
как |
выполняется |
условие |
/?(— sin х, |
—cos х) = |
= /?(sinjr, |
cos х), то |
применяем |
подстановку |
/ = tgjc |
и используем формулы (4.6). Получаем |
|
|
|
|
|
|
[ |
4 sin2 х —лх7 cos2 х |
|
dt |
|
|
|
|
|
tgjc= f, |
х = arctg/, dx = |
|
|
|
|
|
1+/* |
|
|
|
|
|
■ 2 |
X = |
|
Г |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin |
---COS JC = |
|
1+*2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
____________ . = |
J At2 —7 |
|
|
|
|
|
(!+<“) it 1—7 |
|
|
|
|
|
|
d(2t) |
1+fЙ2" |
|
|
2t-^7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
I |
+C |
|
T |
S (2/)2- (V 7 )2 |
*V7 |
2' ~ V 7 I |
|
|
I |
2/*+V7y7 I |
+ L * |
где |
/ s= tg JC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jsin6* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Выпишем |
подынтегральную функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5 X |
|
|
|
|
|
|
|
(sin JC cos х) = — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin6* |
|
|
|
Так как |
выполняется |
условие |
/?(sin лг, |
— COSJC) = |
= — K(sinjr, |
COSJC), |
то, применив |
подстановку |
/ = sinjc, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« ( ( Г ' - 2 Г Ч г г) й - -5- - 4 ^ - + ^ + С =
|
|
|
_____ L |
+ J ___— + с |
с ’ |
|
|
|
|
|
" |
|
5f* |
3f3 |
' + |
|
|
где / = sin х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Г |
|
_ g _____ |
|
|
|
|
|
|
J |
5 — 4 sin л: -+■3 cos х * |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Так как для подынтегральной функции |
|
|
R (sin х, cos х) =t -=— ---Ц-s---- |
|
|
|
v |
|
’ |
|
’ |
5—4 sin jt-(-3 cos x |
|
невыполняются |
условия: R( — sin x, —cos *) = /?(sin x, |
cosx), |
/?( — sinx, cosx) = —'/?(sinx, |
cos*), |
/?(sin x, |
— cos*) = |
— R (sinx, |
cosx), |
то, применив |
подстановку |
/ = t g y |
и |
формулы |
(4.5), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
dx |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
J 5 — 4 sin x + 3 cos x |
|
|
|
|
|
f— tg y , |
x—2 arctg t, dx= |
|
|
|
|
_ |
. |
|
|
21 |
COS x = |
l — /2 |
|
|
|
|
|
s in X = |
■■ , , |
— — v |
|
|
|
|
|
|
|
l+ r |
|
|
1+f |
|
|
|
|
|
_ f _________________2dt_______ _______ |
__ |
|
|
|
% |
W |
5 |
- |
_ « |
. + i<!= £.'\ |
_ |
) |
|
|
|
|
|
^ |
l+<2 |
|
|
I +<2 |
|
= 2? |
----- ------2“ = 2^ —T ~ --“ |
|
|
|
J 5 + 5 Г —8 f+ 3 - 3 r |
|
J |
2 Г— 8/+8 |
|
|
= t __ ld ___ - С |
d i |
|
*—2 |
- ___ |
|
|
J i* —4( + 4 |
|
J (/ —2)2 |
|
’ |
|
где t= tgy.
4. $ctg5ji:dx.
Р е ш е н и е . Это интеграл вида $/?(ctg jc)dx. Приме нив подстановку ctg* = /, найдем:
I — Jctg5 x d x = | /= ctg x, Jt= arcctg/,
1+/2 = - h -l-f2'
Выделяя целую часть полученной неправильной рацио
нальной дроби, имеем
1==~ \ ( е ~ 1+ 7 ^ ) d t= - T +
- 4- In « 2+1) + С,
где /= ctg х.
|
J |
sm x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реш ение. Данный интеграл относится к интегралам |
|
вида |
^ |
^ |
, |
■, поэтому применим подстановку i s=tg у |
|
и воспользуемся формулами |
(4.5). Тогда |
|
|
|
|
|
|
. |
, |
^ |
SHI Х = |
21 |
|
|
|
|
dx |
|
t = |
tg y , |
|
|
|
|
|
. |
з |
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
sin |
X |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
I+/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
(1 + h 2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2S |
8/3 |
|
|
|
T |
S l+ 2 f2+ f4 dt - т 5 ( г ’ + т + 0 Л - |
|
|
|
|
= |
|
+ |
у |
In |/| + -g- + C. |
|
|
<dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6•5-tg x cos 2x ■ |
как |
/?(—sin x, |
—cos x) =/?(sin x, |
|
Решение. |
Так |
|
C O S J C ) , |
то, |
положив |
f= tgx, |
получим |
|
|
|
|
f |
|
dx |
|
|
f |
dx |
|
|
|
|
|
j tg x cos 2x |
j |
tg*(cosл x— smол) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx\ = |
|
-stg x cos2 *(1 —tg2 *) |
= |
I / = tgjc, |
dt — |
|
cos2 X |
|
= |
J |
|
|
[ ^ |
n |
+ |
t dt= C f + I J " - - |
|
|
|
|
J |
t(\—i2) |
J |
* |
J l —r |
- ln m - T |
\ - x- p- |
=ln U I ~ T ^ i , p |
= |
|
= ln | Д — |
ln 11—Z2! + C, |
|
где /=tgjr. |
|
|
|
7 |
f ___**__ |
|
|
|
'• |
] 5 - 3 cosx |
|
|
|
Решение. |
Так как |
функция /?(sinjc, |
cosx) = |
l
= т—5--- не является четной относительно sin х и cos х,
о—О COS*
нечетной относительно sin х, нечетной относительно cos х,
то |
применим универсальную |
подстановку |
/ = tgy. Ис |
пользовав формулы (4.5), |
получим |
|
|
* = tg y, |
х= 2 |
arctg t, |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
5—3 cos х |
|
|
I |
|
2dt |
|
COS X = |
i + r |
dx~ \+F |
|
dt |
|
|
|
|
|
(1+„ ( 5- |
, . ^ ) = 2 S ^ |
= |
где |
= \ j ^ |
= T aTCte <2*>+C’ |
/= tgy. |
|
|
|
|
|
|
Найти интегралы с помощью тригонометрических фор |
мул. |
|
|
|
|
/ |
|
8. j sin Зх cos 5xdx.. |
|
|
|
|
|
|
Реш ение. Воспользуемся формулой (4.7). Имеем |
|
J sin Зх cos 5xdx= Y |
^ (sin 8х—sin 2x)dx= |
|
*5=у J sin 8xdx— ~ |
^ sin 2xdx— -- ^ cos 8x + |
|
+-^-cos 2x+C. |
|
|
9. ^ cos 2x cos x cos 3xdx. |
|
|
|
|
Реш ение. Применив |
формулу |
(4.8), |
получим |
J cos 2x cos x cos 3xdx— у |
j cos 2x(cos 2*+ cos 4x)dx= |
= У 5 cos2 |
у ^cos 2х cos 4x d x = |
(1 + C °s 4x ) d x + у j (cos2x-|~cos6j()dx =
— \ (*+ 7" sin 4x^ + у sin2 x + -p-sin 6x+C.
10. $cos4xsin5xdx.
Реш ени е Выполним преобразования:
Jcos4x sin5x d x = — J cos4x (1 — cos2* )2*/ (cosx) = = — $cos4x (1 — 2 cos2x + cos4x ) d (cos x) =
= — |
$ (cos4X — |
|
2 COS® X + COS® X )d (C O S x)= |
— |
cos5 x . |
2 cos7 x |
cos9 x |
_ |
5 |
t |
7 |
9 |
Г-С. |
11. J cos2x sin4xdx.
Решение. Используя формулы (4.9) и (4.10), имеем
Jcos2х sin4x d x = j (sin x cos x )2sin2x d x =
= K yS in 2 x ^ |
I ,.-c°.s2- |
d x = у jsin22xdx — |
— у ^ sin22x cos 2x d x = у |
^ -— y -s -* d x — у ^ sin2 2xX |
X y d (sin 2x) = |
-- -^sin4x— ~ -~ ^ 2x- + C = |
“l ¥ x~ ^ T sin 4x~ T rSin 32x+ C.
12.$sin6 xdx.
Реш ение. Используя формулу |
(4.10), |
получаем |
^ sin6 x d x = ^ {sin2x)3dx=* ^ |
— у — |
d x — . |
=~ J (1 — 3 cos 2x-j- 3 cos22x— cos3 2x) dx =
—у \^dx — у ^ cos 2xdx + у ^cos2 2xdx —
Jcos32 x d x = y - ~ s i n |
2x+ 4 “ 5 (1 + |
-j-cos 4x)dx— у ^ (1 — sin22x) |
•у d(sin 2x) = |
e т ~ 4 - sin 2jc+ 1 ё х+ |
~ k slnAx~ |
= —\ (1 + ctg2* )2d(ctg*) =
=— $(1 +2 ctg2x-f-ctg4x)d(ctg x) =
=—ctg x— |^ctg3jc— -g-ctg5x4 -C.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 4.120—4.153 найти интеграл.
4-120- |
|
|
|
|
|
|
(Ответ: | |
|
In | tg | | |
+ | |
tg* у |
+ С.) |
4.121. |
) |
sin 2х |
|
|
|
(Ответ: у |
|
(tgx + ln Itgjc|)+C.) |
4 ,22 |
S ЗТ ^ Т - |
{ 0твет |
Т Г а^ 4 г + С ) |
4.123. [ ..... — -- т. |
(Ответ: — — 1---- |-сЛ |
|
J |
(sin Х+ СО& X) |
|
V4 "tg * / |
4.124* |
\ -**х |
, (ответ: |
J |
+ tg х~\-С.^ |
|
J |
cos |
х ♦\ |
|
/ |
4 ' 25- |
|
|
! sin л +cos х ' |
|
(Ответ: arctg (tg у |
— l) + C.) |
|
Гf ti
4.126• S t+4,inJ.- |
J a-t- |
Лс 3 |
4.127. \— 3 |
J sinr |
x cos x |
i/ |
оО |
ъe X |
\ |
( |
2 |
5tS y + ' - |
(огвет: у |
arctg--- j --- + C.J |
| Ответ: у (tg2x—ctg2x)+2ln |tg*|+C.)
dx
4.128. \ rs tg *
( Ответ: x— у ctg7дг+ ~ ctg5 x— у ctg3 * + ctg x+ 3.)
1.139. |
J |
sin^ |
|
|
|
|
|
1+tgx- |
|
|
|
(Ответ: у |
(sin дс-eos x) - |
In | tg |
+ £ )| + C.) |
1.140. |
J |
5+$in *+ 3 cos x ' |
|
|
|
|
|
X |
|
|
( |
2 |
arctg |
2 t ? T + l |
\ |
|
{Ответ: |
|
|
+ C .J |
|
4.141. |
j |
cos x —3 |
|
|
|
C O S^ J f |
|
|
\ |
(Ответ: —g---|-3cosjt + 81n |Cos x—3( +C .J
3cos2 x 4- 4 sin2x
124g*
(Ответ: ^ arctg - ^ + С.)
4.143. J cos5 x sin2хЛс.
^Oreer; ysin 3x— -|-sin5jc+ y s in 7je + C.^
1.144. J cos3 xdx
4 sin2 дг— 1
( Ответ.• - | sin x+ 4 - In | | £ q n “| + c )
4.145. |
^ |
, |
dx . |
(Огвет: |
4 y'tg jc +C.) |
|
|
sm * cos |
JC |
|
4.146. |
|
V r- |
5 |
|
|
J sin3/5 |
|
|
JCcos5 дсйдс. |
|
(oreer: |
|
-\jsin8x — у д/sin18x — |
"л/siii * x -+-C?j |
4.147. |
\ |
. |
dx |
|
|
|
’ |
у cos7X sin X |
|
(Ответ: у |
|
-\jtgsx -\-2yJigx + C-) |
|
4.148. |
^cos x cos 2xdx. |
|
(Ответ: |
|
sin Зх+ у |
sin ac + C.) |
|
4.149. |
j (tg2дс-j-tg4x)dx. (Ответ: ytg® jc+C.^ |
