Рис. 5,11
ронний корень.) Для х £ [0; 2] фигура ограничена сверху кривой у=л[§х, для jc£[2; 4]— кривой у = л[ 16 — х1
Фигура симметрична относительно оси Ох, поэтому можно
вычислить половину площади, а затем полученный резуль
тат удвоить, т. е.
S = 2J |
У 16—x dx= |
|
х= 4 sin t, I |
= | у б * 3/г| ’ - и |уТ б ^ 7 < *х = dx—4 cos tdt
. ^ |
ft/2 |
^ ------- |
|
= -у у з +2 J 4*4 у I —sin21 cos tdt = |
1fi |
n/6 |
1с |
|
|
УЗ + |
= ~ у з +16 \ (l+cos2t ) d t = ~ |
|
fl/6 |
|
|
+ 16(/+ { |
sin It |
'!’ -/3+8Л- |
"" - |
- 8sin- H ^ + ^ # - 4 V 5 = ^ + ^ .
Площадь Si другой фигуры можно.найти как разность площади круга и уже вычисленной площади S:
S l=n-42- S = l6 n - |
у УЗ = j (8я— УЗ ). |
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 2*+1, х — у — 1=0 (рис 5 J2)
Реш ение |
Найдем точки пересечения кривых Для |
этого решим |
систему |
|
|
|
|
|
/ = 2*+ !, |
| |
или Х = У + 1, |
|
х—у — 1= 0/ |
|
/ = 2(у+ 1) + 1 |
угкуда у2—2у —3= 0, |
|
т |
е у\= — I, |
у% = 3 |
Площадь фигуры |
находим по формуле (5 4) |
|
з |
|
|
|
|
|
|
S= j (({/+ 1 )— ^ ^ d y ^ |
_ { i _ . |
|
з |
_ / М |
3 |
з |
~ v % |
|
% |
6 J l |
~i |
5. Вычислить площадь фигуры (рис 5 13), 01|иишченной осью Ох и одной аркой циклоиды
х= а(/ —sm <)> 1
у = а (1 — cos/)}
Р и с 5 13
Реш ение. Находим площадь фигуры по формуле (5.5). Если JC= 0, то / = 0; если дг=*2яа, то / = 2л. Отсюда имеем
5= |
2л |
|
2л |
|
|
J a(l —cos t)a{\ —cos t)dt = a2j (1—cos t)2dt= |
|
2л |
|
|
|
|ол + |
|
= a2J (1 —2 cos * + cos2t)dt = a2(t —2 sin t) |
|
r? |
2c |
|
a2 |
|
|
+ Y- |
\ (1 +cos 2t)dt = 2n(i -\- |
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-j- |
sin 2^ [ o = 2IUJ2-(-лаг = 3ла2. |
|
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнис |
катой |
Бернулли г= а у 2 cos 2<р. |
|
|
|
Реш ение. |
Искомая фигура |
изображена |
на рис. |
5.14. Применяя формулу (5.6) и учитывая то, что фигура
состоит из четырех |
одинаковых частей, |
имеем |
,л |
/ |
4 |
_________________ |
|
S = Y |
'4 ^ |
(о -\j2cos 2<p ) 2d<jp= |
я /4 |
cos 2<pd(p=2a2sin 2<p| |
s |
= 2a2-2 |
J |
=2a2sin Y =2a2.
7.Вычислить площадь фигуры (рис. 5.15), ограничен
ной линией r = asin3q>.
Реш ение. Находим площадь фигуры по формуле (5.6). Фигура состоит из трех лепестков, поэтому можно
найти третью часть площади, а затем полученный резуль
тат умножить на 3. |
Имеем |
|
|
|
л/З |
|
|
|
|
л/3 |
S = ~ •3 ( |
a2sin2 3cpd<p= |
f О “ |
о |
|
|
|
|
|
0 |
—cos 6 < р ) = ^ - (ф - |
-^-sin6<p)| о = |
|
л |
2 |
д |
по |
2 |
|
|
da |
|
|
|
— |
’ Т |
|
” ‘ Т = |
|
4 "• |
|
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 5.26—5.52 найти площадь фигуры, ограни
ченной данными линиями.
5.26. |
ху = 6,х4-у —7= 0. (Ответ:17,5—6 In 6.) |
5.27. |
4y = xt, у = 4х. (Ответ:16/3.) |
5.28.y2= \ —xt х= —3. (Ответ: 32/3.)
5.29.у = X2+4дс, у=х-\-4. ^Ответ: 20
5.30.у —х2—6дс + 9, дс/З—у/12= 1. (Ответ: 32/3.)
5.31.у2+ 8*=16, —24х=48.
(Ответ: 32л/б /3.)
5.32.у=хг3, у = 2х, у=х. (Ответ: 3/2.)
5.33.у —2х—хг, у = —х. ^Ответ: 4
5.34.у= 3—2х, у= х2. ^Ответ: 10j . J
5.35.х2 + (/2 + 6* —2t/+ 8= 0, у=*х2+ 6х+ 1Q.
(Ответ: S, = (3n + 2)/6, |
—2)/6.) |
5.36.у = е\ у = е~х, х— 1. (Ответ: (е— 1)2/е.)
5.37.у= - ~ j , у= -у-. (Ответ: f - у .)
5.38.у2=9х, х2= 9у. (Ответ: 27.)
5.39.у = х2+ 2. * + У = 4- (Огвгт: 4 у . )
5.40.у=дс2, у —7х— 10. (Ответ: 4,5.)
5.41.у = *2 + 6, у = —Ъх. (Ответ: 1/6.)
5.42.у = х2-|- 1, у= 6х—7. (Ответ: 4/3.)
5.43.*2+ у2=9, у = 3-х. (Ответ: 9(л/4 — 1/2).)*
5.44.y=s=jr—9, —7— г. {Отвгг: 4,5.)
5.45. |
х= уг, у — у (4—х). (Ответ: 2(>|-.) |
5.46. |
х= 3, х~5, Зх —2у+ 4= 0, 3* —2у-{-1= 0. (Ог- |
вет: S = 3.) |
, |
5.47. х = у а 2—у2, х-\-у—а.[Ответ: |
(я —2).j |
5.48. X2+ I? = 8, у=х?/2. |
|
(Ответ: S] = 2n+ 4/3, $*= 6я—4/3.) |
|
5.49.r = a cos 2ф. {Ответ: па2/2.) *
5.50.r = a (l —cos <р). {Ответ: Зяа2/2.)
5.51./^ = 0 sin4<p. {Ответ: а2.)
5.52.г= 2+ cos ф. {Ответ: 9я/2.)
В задачах 5.53—5.55 найти площадь фигуры, ограни ченной данной линией. {Указание. Перейти к полярным координатам.)
5.53.х4-1-у4=х2+ у2. {Ответ: я/д/2.)
5.54.(х2+ у2)2 = о2(4хг-)-1/2). (Ответ. 5ла2/2.)
5.55. (** + / ) W * Y . |
(Ответ: шг2/8.) |
5.56. Найти площадь |
фигуры, ограниченной одной |
ветвью трохоиды |
|
x—ai —Ь sin t,
(О< 6 < а ) .
у = a —b cos t
{Ответ: л (Ь2-\-2ab).)
5.3. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Если площадь S(jc) сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является непрерывной функцией на отрезке |а; Ь], то объем части тела, заключенной между плоскостями х= а и *==&, перпендикулярными к осн Ох, находится по формуле
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у —Цх) и пря мыми у=0, х=а, х<=Ь, вращается вокруг оси Ох, то объем тела враще ния (рис. 5.16) вычисляется по формуле
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V -M \f(x )d x . |
|
|
|
(5 9) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Если |
фигура, |
ограниченная |
прямыми |
х= а, |
х= Ь |
и |
кривыми |
</=/i(jf), |
j/=f2<х> (0< / i ( * X f 2W для х£ |
b|), вращается вокруг |
оси |
Ох. то объем |
тела |
вращения |
находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
(5ю) |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной |
трапеции, |
ограниченной |
прямыми |
у = с, y=d, непрерывной кривой |
* — £(у) и отрезком оси |
Оу (рис |
5.17), определяется по формуле |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
(5.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* “ |
Беля |
фягура, |
ограниченная |
прямыми |
Jf€ (?; |
y=*d |
и |
кривыми |
*«(»). |
|
(0< S i(y ) < g 2 ^y) для |
dlb вращается во- |
*-9(ч)
круг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле d
V = n \ {& y ) - £ iy ))d y . |
(5 12) |
С |
|
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой r=r{<f) я лучами Ф=о, <р=р, вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения выражается интегралом
Р
Прим еры
1. Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у= х 2, 2х-\-2у—3= 0.
Реш ение. При вычислении объемов тел вращения нет
необходимости изображать сами тела; достаточно постро
ить только фигуры, которые будут вращаться. Найдем точ ки пересечения кривых, для чего решим систему уравнений
2у=х\ |
\ |
У= £ /% |
|
\ или |
, |
2у~\~2х—3= 0 J |
* + 2 * —3= 0, |
откуда х\= —3, * 2= 1- |
|
Примеияя формулу |
(5,10), получаем |
[ ( ( 4 - , ) 2- ( 4 ) У =
-3
= я \ ( | - 3 x+ S ~ ^ ) d x =
|
/ 9 |
3 |
t |
3 |
*3 |
/ \ | |
1 |
—Л^4 X |
2 X + |
|
20 |
_ з — |
/9 |
3 . 1 |
|
I |
, 27 |
27 |
. а 243 \ |
ЖЛ\Т - |
У + У _ |
2 0 |
+ 1 “ + ^ _ + 9 _ Ж ) ~ |
=18-^*.
2.Оси двух круговых цилиндров, радиус основания ко
торых равен R, пересекаются под прямым углом. Найти
объем тела, составляющего общую часть цилиндров.
Реш ение. Рассмотрим два цилиндра x2-j-tf = R2>
*2Н-Z2=*R3. Приведем рисунок только для первого октанта
(1/8 часть тела) (рис. 5.18). В данном случае удобнее рас
смотреть сечения данного тела плоскостями, перпендику лярными к оси Ох. Тогда объем тела найдем с помощью формулы (5.8). Так как в нашем случае сечение представ
ляет собой квадрат ABCD, то имеем:
S ( X )= S ABCD=AB-BC =
=y * w
ЬR
V= S\S(x)dx = & U l?- > ?)d x =
3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Оу фигуры (рис. 5.19), ограниченной линиями х2/а2 —
— У2/Ь2=\ И у = ±Ь.
Решение. Находим объем тела по формуле (5.11):
“ W (9+ w ) \ 0- 2 “ *(»+ т )= Т"1’4
4. Найти объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной параболой у = 2х—х2 и осью Ох, вокруг оси Оу (рис. 5.20).
Р и с. 5 20
Решение. Построим параболуу = 2х — х2, приведя ее
уравнение к виду у ~ — (х2—2дс) = — (х— 1)2-Н1. Точка ( — 1, — 1) — вершина данной параболы. Выразив х из
уравнения |
параболы, |
имеем: л=1 + д/7— у |
(для |
пра |
вой ветви |
параболы), |
лг=1— д/1 —у (для |
левой |
ветви |
параболы). Применив |
формулу (5.12), получим |
|
V = n j ( ( 1 + |
) * _ ( ! _ |
- у ) 2) r f y = |
|
|
= « j 4 y i —ydy —Ал^ (1 —y )indy = |
|
|
8л(1-у)3/2 _ |
16 |
|
|
|
" " |
3/2 |
3 Л‘ |
|
|
5. Найти объем тела, образованного вращением фигу
ры, ограниченной линией Jc = acos3/, y = asin3/, вокруг
оси Ох (рис. 5.21).
Ри с. 5.21
Реш ение. Фигура, ограниченная астроидой, при вра щении вокруг оси Ох образует тело вращения, объем кото рого определяется формулой (5.13). Из параметрических
уравнений астроиды находим, что при х*=0 / = л/2, при
|
х= а t= 0. |
Тогда |
|
|
|
о |
a2sin6<( —3a) cos2/ sirWd/= |
|
V—2n J |
|
|
n/2 |
|
|
|
0 |
|
|
= 6а3 ^ (1 —cos21)3 cos2 td(cos t) = |
|
0 |
я/2 |
|
(cos21—3 cos41-j-3 cos6 /—cos8/)d(cos /) = |
|
= 6а3л \ |
|
я/2 |
|
3 . 3 5 , . 3 7 , |
|
|
3 / 1 |
|
= 6a я( у |
cos f— у cos / + у cos t— |
- l cos9/) 1°/2= т ? г * а3-
6. Найти объем тела, образованного вращением лемни
скаты г2= о2 cos 2<р вокруг полярной оси.
Реш ение. Находим объем по формуле (5.13):
я/4
V = { n \ a3cos3'22<р sin <pdqp =
о
л/4
= — ~ па | (2cos2<p— [)3/2rf(cos ф) = jcos ф=/|=е
= - | л а 3 j (2/2— l) 3/~dt=
т = О, п—2, р= 3/2, /= (2 —г2) -1'2,
■+/> = 2, 2 ^ - l= / V , d t= (2 ~ ^ )~ 3/2zdz
|
4 |
|
зf / |
z2' \3/2 |
zdz |
_ |
|
|
|
|
|
|
-(-2 _-7j-3/2- - |
|
|
|
|
i |
zZ*d2аг |
|
|
|
|
|
4 _ Дj3 f |
|
|
|
|
= — яй I ~--„ = |
|
|
|
|
|
T |
J |
(2-г2)3 |
|
|
|
u= z3, dv = (2—z2) |
32dz, i |
|
|
dn = 3z2dz, |
v = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4(2—г2)2 |
|
|
з( |
|
*э |
|
|
1 |
|
4 |
|
I '— AC „f o . |
= т |
l |
4 (2 - г У |
| о |
4 |
J (2- z 2)2 J |
|
u= z, |
|
(2 —^ )~ 2zdz, \ |
|
|
du = dz, v= |
^ |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2(2—z) |
1 |
|
4 |
3 / |
I |
3 |
|
|
2 |
\ |
|
|
113 f |
3 * 4 4 |
8 2-z1 l0 + 8 j 2_^2 ^ |
4 |
я / 1 |
3 |
|
3 [ |
<*2 |
\ _ |
= 3 Я^ 4 |
8 |
|
8 i ^ - ( V ^ J - |
