ная линиями f=h{x), y= h(*h *=<*. х=Ь (рис 5 27), то сила давления жидкости на эту пластинку находится по формуле
ь |
|
P - f J Р*(/2W - / i W )<** |
(5-30) |
Примеры
1.Найти координаты центра масс однородной дуги по луокружности у= - \ j и момент инерции полуок
ружности относительно оси Ох (рис. 5.28).
yftfr)
Ри с. 5.27
Решение. Применим формулы (5.27), учитывай, что р(х)**1« Согласно формуле (5.23), имеем
Л2—*2
■-R J dx—Rx\-R~2f?.
ТЪк как I — длина дуги полуокружности радиусом Я. то l**nR. Тогда
ахс=*0, так как центр масс находится на оси симметрии,
аосью симметрии является ось Оу. Находим момент инер
ции дуги относительно оси Ох по формуле (5.25):
Последний интеграл вычислим с помощью подстановки x=R$\nt. Тогда dx= R cos tdt. Если дг = 0, то /=0; если
x=R, то |
л/2. Следовательно, имеем |
|
l, = 2R |
'»/л 2* |
,.---------------— |
|
\ |
sj R2—Z?2 sin2/ R cos tdt = |
|
= 2fl* j |
cos2tdt = tf t (l+ co s2 0 ^ = |
2. Найти координаты центра масс первой арки циклои
ды x= a(t —sin /), у = а{1—cost), а также ее момент
инерции относительно оси Ох.
Решение. Центр масс однородной фигуры лежит на оси симметрии, поэтому хс= ла. Координату ус нахо
дим по формуле (5.27). Имеем: x'(t) = о( 1—cos t), y'(t) —a sin t. Так как дс = 0 при / = 0, х=2па при f= 2я, то отсюда получаем
—cos t)mdt = c? y/2 t 2 д/2 sin3 уЛ = *
0
/= 5 л/ {x'(t) )2+ (y '(t)fd ( =
а
2л __.__.____ __________-—
= J ^ja2( l —cos i f + a2sin2tdt =
2n 2л
—2 cos tdt = 2a \ sin yd /:
= 4a\ sin \ d (~ ) - - 4a cos ~\ * =8a.
0 4
ледовательно, yc= у a.
■[аходим:
p
/,= $</*(/) V ( * '( 0 ) :2+ (y , (/))2d/=
a
2п
= ^ a2(l —cos /)2^y2 —2 cos tdt —
2n
= a3 д/2 ^ (1 —cos /)5/2d/=| 1—cos/=2 sin2y | = 0
2я 2л
= а3д/2 ^ 22д/2 sin5 у d*=8a3j sin5у dt =
2n
= —8a3* 2 | ^ I —cos2 d^cos =
2л
= — 16a3jj ^ l —2 cos2 у + cos4y ^ c o s y^ =
= - 1 6 o *(co sy - 4 “ S’ У + T cos4 ) l Г -
3. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость (вертикально), так что одна из осей (длиной 2Ь) лежит на поверхности. Найти силу дав ления жидкости на каждую из сторон этой пластинки (рис. 5.29), если длина большей полуоси эллипса равна а, а
плотность жидкости р.
X
Рис. 5.29
Реш ение. Имеем: ОА = а, ОВ=*Ь. Сила давления жидкости на пластинку площадью S при глубине погруже ния х P = pgxS.
Полуэллипс разделим на элементарные полоски пря
мыми, параллельными поверхности жидкости. Заштрихо
ванную полоску приближенно примем за прямоугольник с основанием CD и высотой dx и допустим, что все точки этой полоски находятся на одной глубине х (0^.x^~tt). Такое допущение сделать можно, поскольку dx мало. Эле ментарная площадь полоски
dS = CDdx= 2DEdx = 2ydx=
= 2 У а2—д-2dx.
Давление жидкости на полоску, находящуюся на глу
бине х,
dP= pgxdS = pgx Ц- ^ I ^ ? d x .
Тогда |
давление |
на всю пластинку |
|
|
Р « |
\pgx2- |
|
0 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
— |
(a2—*2)i/2I " ____ 2 |
bpg |
2 |
|
2a |
3/2 |
I о 3 |
a |
|
|
—X-)y2\ " = у |
&pga2 = у b(>ga\ |
|
4. Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус
его основания R = 3 м, глубина Я = 5 м. Котел наполнен
жидкостью, плотность которой р = 0,8 г/см5. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жид кость из котла (рис. 5.30).
У
N {3,5)
01х
Ри с 530
Решение. Сечение котла плоскостью Оху есть пара бола, уравнение которой у=ах2. Точка Л^З, 5) принадле жит параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы, т. е. 5= 32 . Отсюда а = 5/9. Тогда
у= уде2— уравнение параболы.
Разделим параболоид на слон плоскостями, параллель ными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глу
бине Ь —у равна dy. Тогда, принимая приближенно слой
за цилиндр, получаем формулу для определения его объ ема:
Из уравнения параболы находим лгг = 9у/5. Подставляя это значение в формулу (I), получаем
d V = ^ d y .
Массу слоя жидкости обозначим через dQ. Тогда
где р — плотность жидкости. Чтобы выкачать жидкость с глубины 5—у, потребуется затратить элементарную ра боту
dA=dQ(5 —y)g = |-apg(5 —y)ydy.
Учитывая, что |
получаем |
5 |
5 |
A ~ $1Глр^(5~ У)У4У= y*p g t(5 jf—
- f ) dy= у npg(125/2 - 125/3) =
- у лр^-125- (1/2— 1/3) = у npg |
= |
22575
-- 6 - я р е = ~ г * Р ё -
Подставляя в последнюю формулу р= 800 кг/м3, g=9,8 м/с2, вычисляем искомую работу.
А = ~ я-800-9,8= 30 000-9,8 я« 294 300 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
5.99.Найти координаты центра масс дуги цепной линии
у = а ch у , содержащейся между точками с абсциссами
/ л |
—/ л |
е -i-ч"2 |
о, » = а. (ответ: с(о. а ‘‘ + £_ J ) . ) |
5.100. Найти координаты центра масс дуги астроиды |
jt=so cos31, у = а sin3 |
расположенной в первом квадран |
те. ( Ответ: С (у а. у
5.101. Найти статический момент синусоиды у = ътх
относительно оси 0дг(0<дс^л). ( Ответ:-yj2-f ln{ 1+л/2).) 5.102. Найти координаты центра масс дуги окружности
радиусом /?, стягивающей центральный угол а. (Ответ: центр масс лежит на биссектрисе центрального угла, стя-
гивающего дугу, на расстоянии — --- |
от центра.) |
5.103. Найти |
статический |
момент |
|
дуги эллипса |
* 7 * 4 ^ /6*= 1, лежащей в |
первом |
квадранте, относи- |
гельно оси абсцисс. (Ответ: |
Ь2 . |
аЬ |
arcsin е, где г — |
-у + |
|
эксцентриситет |
эллипса.) |
|
|
|
|
5.104. Определить давление воды на вертикальный па раболический сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на поверхности воды, а вершина находится
на глубине 4 м. (Ответ: уу-9,81 •103Н « 167103 Н.^
5.105. Вычислить силу, с которой вода давит на плоти
ну, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее осно вание которой а—6,4 м, нижнее 6= 4,2 м, а высота ft = 3 м. (Ответ: 22200g Н = 217 560 Н.)
5.106. Какую работу нужно затратить на выкачивание воды из цилиндрического бассейна радиусом основания 0,5 м, если в начальный момент уровень воды в бассейне
был равным 2,8 м, что на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре? (Ответ: 1120#я Дж.)
5.107. Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из полушара радиусом R м. (Ответ: 250л/?4# Дж.)
5.108. Какую работу нужно произвести, чтобы насы пать кучу песка в форме усеченного конуса высотой ft, име ющего радиусы оснований R и г (г</?)? Плотность песка ^р. {Песок поднимают с поверхности земли, на которой на
ходится большее основание конуса.) (Ответ: |
(R2+ |
+ 2/?г + Зл2).) |
|
5.109. Определить давление воды на вертикальный пря моугольный шлюз основанием 8 м и высотой 6 м. Опреде
лить также давление на нижнюю половину шлюза. (Ответ:
144g кН; I08g кН.)
5.110. За какое время вода вытечет из конической во
ронки высотой h= 40 см, радиусом нижнего основания
г=0,3 см и верхнего Я = 6 см? (Ответ: t = — -----— X о.б,V д/2?
X | xr\[xdx, где h tt 2 — высота дополнительного конуса,
t * 42 с.)
5.111. Шар радиусом R, плотность которого численно
равна единице, погружен в воду так, что касается поверх ности; Какую работу нужно затратить, чтобы извлечь шар
из воды? {Указание. Подъемная сила, действующая на
погруженное в жидкость твердое тело, равна весу вытес ненной им жидкости.) (Ответ: у nR*g^j
5.112. Ветер производит равномерное давление р на дверь, ширина которой b и высота А. Найти момент силы давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
(Ответ: M = hb2p/2.)
5.113. Согласно опытным данным, удельная теплоем кость воды при температуре /°С (0 < / < 100°)
С = 0,9983- 5,184•10'5* + 6,912•10"Y .
ivaiun: л и л и ча гви геилиТЫ нужно затратить, ЧТООЫ 1 Г ВО
ДЫ нагреть от температуры О °С до температуры 100 °С ?
(Ответ: 418,162 Дж.)
5.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечны ми пределами и интегралы от неограниченных функций
Рассмотрим интегралы с бесконечными пределами Пусть функция /{х) непрерывна при х £ (а, + оо). Тогда несобственный интеграл от фун кции }(х) в пределах от а до +оо определяется равенством
+ оо |
|
Ь |
|
t f(x)dx = |
lim |
I f(x)dx. |
(5.31) |
J |
ь- +« |
J |
|
Если предел в правой части равенства (5 31) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел
не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся
+
Г е о м е т р и ч е с к и несобственный интеграл |
J f(x)dx в слу- |
|
а |
чае /(*) > 0 представляет собой площадь фигуры, ограниченной графи
ком |
функции y = f(x), |
прямой * = а и |
осью Ох Если интеграл |
+ ОО |
|
|
|
^ |
f(x)dx сходится, то |
площадь фигуры |
выражается определенным |
а
числом, а ось Ох служит асимптотой для графика функции (/=/(*). Если |
же интеграл |
+ » |
^ f(x)dx расходится, то площадь фигуры — бесконеч- |
|
0 |
ная
Аналогично определяются несобственные интегралы:
|
ь |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
t |
f(x)dx = lim |
tf(jr)dx. |
(5.32) |
|
-L |
|
(Г |
|
|
|
+ ОС |
|
+ 00 |
|
|
|
|
|
|
j |
f(x)dx= |
j |
f(x)dx + j t(x)dx= |
|
— go |
|
с |
— ОО |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= |
lim |
t |
|
hm |
|
(f(x)djr. |
(5.33) |
|
— oo |
^ |
|
b ~ - + |
л |
с |
• |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Несобственный |
интеграл |
+ |
oo |
|
|
|
|
j |
f(x)dx называется сходящимся, если |
— ОО
сходятся оба интеграла в правой части равенства (5 33), и расходящим ся, если хотя бы один нз них расходится
Приведем признаки сходимости и расходимости интегралов с беско
|
нечными пределами |
+ 00 |
|
1°. Пусть для *6 [а; +оо) 0</(x)< g(jc) Еслн |
|
^ g (x )d x |
|
|
а |
|
|
+ «> |
сходится, to сходятся и интеграл |
J f(x)dx, п] |
|
+ 00 |
а |
|
+ « |
Если интеграл |
+ <*> |
|
J f(x)dx расходится, то расходятся К ewwfp&n |
+00
^g(x)dx (признак сравнения).
2". Если для х£ [а, + оо) Дх) >0, g(x) > 0 и существует конечный
предел |
fim |
Цх) |
то |
интегралы |
+°° |
и |
+°° |
g (x )d х |
фО, |
С f(x)dx |
t |
х-* +00 g ( X ) |
|
|
i |
|
J |
|
сходятся |
нлн |
расходятся |
одновременно |
(п р е д е л ь н ы й |
п р и з н а к |
с р а в н е |
н и я ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Если |
интеграл |
J |
\((x)\dx сходится, то сходится и интеграл |
а
+°°
^f[x)dx (последний в этом случае называется абсолютно сходящим-
а
С я ).
4°. Если при х-*■+ оо функция f(*) ■>(> является бесконечно малой
+ <"
порядка а |
по сравнению |
с |
l /х, то |
интеграл |
J f(x)dx сходится |
при |
а~> 1 |
и расходится |
при |
1. |
|
а |
|
|
|
|
|
|
+0D |
|
|
|
З а м е ч а н и е . Интеграл |
J |
сходится при а > I и расходится |
при |
а < 1. |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интегралы от неограниченных функций. Если функция |
/(jt) непрерывна для |
х£ |а; 6) и в точке х==Ь имеет бесконечный разрыв, |
то по определению |
полагают |
Ь —г |
|
6 |
|
J/(jc)djt= lim |
j f(x)dx. |
(5.34) |
Если сушествует конечный предел в правой части формулы (5.34), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся
Геометрически несобственный интеграл в случае /(х)~>0 представ ляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=Цх).
прямой лг=а |
и вертикальной |
асимптотой х= Ь |
имеет |
Если функция f(x) |
непрерывна для х£ (в; 6] н в точке |
бесконечный |
разрыв, то |
|
|
|
ь |
|
6 |
|
|
^f(x)dx= lim j f(x)dx. |
(5.35) |
|
а |
* |
” а+е |
|
Если предел в правой части формулы (5.35) существует н конечен, то
несобственный интеграл |
называется |
сходящихся. |
{о; 6] и не |
Если функция /(*) имеет бесконечный разрыв в точке |
прерывна при х£ [а- с) у (с; bJ, то по определению |
|
ь |
|
*-«1 |
|
ь |
|
\f(x)dx= |
lim |
t |
f(x)dx+ |
lim t f(x)dx. |
(5.36) |
I |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
Несобственный |
интеграл |
j/<x)dx (/(с) = + оо, a < c < 6) называ- |
|
|
|
e |
|
|
ется сходящимся, если оба предела в правой части равенства (5 36) су ществуют, и расходящимся, если не существует хотя бы один нз них.
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам сходимости несобствен ных интегралов с бесконечными пределами. Эталоном для сравнения в признаке 4° служит интеграл
ь |
dx |
ь |
dx |
f |
Г |
\ —----- - |
(а > 0) или \ ------- , |
J |
(b - x )a |
J |
(х —а)а |
о |
|
а |
|
который сходится |
при а< I |
и расходится |
при ajs 1. |
Примеры
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимос:ть.
Уirctg дг
1.^ Ц -dx. о 1+ ?
Решение. Подынтегральная функция непрерывна в промежутке {0; + оо). Следовательно, по определению
V |
_ гс % * dx= |
lim |
а |
V |
\arctg xd(arctg x) = |
J |
I -fX |
|
a-» +40 j |
= |
Jim |
-arcf2g * 1 |
lim y(arctg2a - |
|
&-► + oo |
• |
' ^ |
a-*- + oo ~ |
|
-arctg20)= |
у ( у ) 2= |
4-
^2xdx
—oo x2+l
Реш ение. Разложив исходный интеграл на два интег рала, имеем
