4.150. J |
19sin2 дг— 8 sm x cos x —3 |
|
|
(Ответ: -i-ln | |
| |
+ C.) |
|
|
4.151. $sin4*dx. |
|
|
|
|
( Ответ: ~ x— is in 2x+ |
|
sin 4x+ |
C.^ |
|
4.152. \J |
* >Л . |
|
|
|
|
|
l+ tg *+ tg * |
|
|
|
|
(Ответ: x |
^ arctg 1+^ g* + C .) |
|
|
1.153. J |
sin 2xdx |
|
|
|
|
cos3 x— sin2 x — I |
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
2 |
2 |
|
Ответ: — у |
In |
|1— cos jc| + y in |cos |
x+2 cos x+ |
— у arctg 11-j-cos xt +C.^
4.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим интегралы вида
где R — рациональная функция, mi, ...... . m,, п, — целые ненулевые чис ла. С помощью подстановки
ах+Ь _ д cx-f-d
где ................ . «,) ( К (п >,..., п,) — наименьшее общее кратное чисел щ,
пг), указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
Рассмотрим два частных случая.
1. Если с=0, </=1, то данный интеграл имеет вид (а* + 6)Ж|/Я|, .... (ax+b)m'/n')dx
и преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подста
новки ax-\-b=tl, где X=/C(n,, |
л,) |
2. Если Ь = с = 0, a — d = I, |
то интеграл имеет внд J R (*, |
хГ'!п\ . х"' " ) dx и приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки *=<\ где X=K(/t(, ..., п,).
Примеры
Найти интегралы.
( dx____ ,
' (т/* +4) V*
Реш ение. Так как интеграл имеет вид
xl/3)dx, а К {2, 3) =6, т. е. Л=6, то применим подстановку x = t6. Тогда
( \jx + 4 ) у * |
I d x = § fd t |
_ f 6fid t |
_ f t2dt _ |
=\ — 5------Г = 6 \ - T
= 6^t—4 arctg y ) + C= 6f—24 arctg у +C,
где /= У x .
Решение. Интеграл имеет вид |
$/?(*, |
{1 -f- ->с)'/2т |
(1 + Jt)l/3)dx, поэтому |
применим подстановку |
1+л:= <6, |
так как К {2, 3)=6, |
Л, = 6. Тогда |
имеем: |
x= tb— 1, |
dx—%t&di, |
|
|
|
- j |
.в Л / < - 6 ^ - 2 < Ч |
+ /34-l)d/ = 6j (/'5 —2t*+ f + ?)d i =
где t*=^fi+x .
Реш ение. Это интеграл вида J R (х, (- [~ г) ^ dx.
Применив подстановку
получим:
Разложим рациональную дробь
стейшие. Тогда |
|
|
|
(/2+1)(/-1)(/ + 1) |
/2+ 1 |
(-1 |
/+ Г |
Освободившись от знаменателей, получим:
/2=(/1/ + В)(/2- 1 )+ С (^+ 1 ){/2+ 1)+£>(/-1)(/2+1),
?= (А + С+ 0 ) ? + ( В + С - й ) ? + ( С + 0 - А )( +
+C - D - B .
Полагая /— 1, находим: 4С= 1, С= 1/4; при / — — 1 име ем: —4Z)=1, D = — 1/4. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /, получаем систему уравнений:
A + C + D = О, B + C - D = |,
C + D - A = 0 , С —D —В = 0.
Подставляя в нее С= 1/4, D = — 1/4, находим: Л + 1/4 —
— 1/4=0, >4=0; В+ 1/4— ( — 1/4) =0, В = — 1/2. Тогда
__________^ _________ _ |
- 1/2 |
■ 1/4 |
__ _ 1/4_ |
(<2+1)(<-1){/+1) |
Z2 + 1 |
<-1 |
/+ Г |
т. е.
— —2 arctg if-J-ln U - l | - l n |/+1|+C =
= —2arctgf+ln| -^i-| +C,
где t=
4. \ . -dX -- ■
Решение. Умножив и разделив подынтегральную функцию на -\j1+ х , получим
f |
dx |
f |
|
У ( x ~ l) ( x + i) 2 |
Л |
|
- s |
* -v1 |
|
|
/ I + Т |
V *+ T dx
У (х + l)3( * - l)
idjc
ДГ+I
Применим подстановку xЧ- I = гя. Отсюда
/*+] |
|
|
|
х= i— . Тогда |
|
|
|
г —I |
|
|
|
. |
-6Aff |
. , |
213 |
dx~ |
(/»—!>*’ |
ж-f 1= |
/*—I * |
|
^ |
3 |
At |
c f «V - l)d < |
7 т г - " ь ] ( ? _ Г ) У |
- - 6ST ! T = - 6S
Разложим рациональную дробь на простейшие:
I |
А |
. Bt + C |
________ = _2___ |__ L. |
( ( - 1 ) ( ( 2 + / + 1 ) |
* ~ l |
t2 + t + 1 |
Освободившись от знаменателей, |
имеем: |
1= Л (/а + /+1) + (В/ + С)(/ - 1 ) =
= (А + В )Р + (A + C —B )t + A — C.
Полагая <=1, находим: ЗЛ = 1, Л = 1/3. Сравнивая коэф фициенты при одинаковых степенях /, получаем систему уравнений:
Л + Д = О, Л + С —6 = 0, |
1, |
из которой находим: В = — 1/3, С — — 2/3. Тогда имеем
\J -----(/— 1 )(ГЧ-----+ /+ 1) — т \ А - Т |
37 J ^f- 1" 3=J |
г*+< + |
' ,n | , _ l | ' C'< f + ‘ +.) -
з6 J f2-H+ l
1 2 |
, <+1/2 |
, „ |
I , ,, . . |
- у |
агс,е ^ з т г + с = |
s |п 1 1 1 - |
— ^-1п |/*+ / + II--- |
4^-arctg 21 * * + С, |
™ е ‘ = \ Щ
Задачи |
для самостоятельного |
решений |
В задачах 4.154—4.168 найти интеграл. |
4.154. ( — ^ — |
dx. |
|
|
J |
1 |
|
|
(Ответ: у |
(f3— In (/3+ 1)^ + С, где t= \[х. |
4,55 |
\ |
|
dx (Ответ: |
+ С .) |
4.156. [ |
|
dx------. |
|
|
j |
V ^ F T |
+ \/2x + I |
|
(Ответ: ^ - у ^ + З*—ln (г+1)3+ С, где t = ^/2*+ l.)
4.157. |
\x^a —xdx. |
|
(Ответ: |
(3x? —ax —2c?) -\fa~x + C .) |
|
4-158. |
(Ответ: |
( i x + l f + C.) |
4.159.
(0твет: x—2V* +2,n(V*+ 0+C-)
x+l
4.160. ^ /,^1^ dx.
x V * —2
(Ответ: 2^x —2 + д/2 arctg |
+ C-) |
1 4-,et- \ л/ g f— %
СУ* d*
4.162. \ — “
j r—V?
^Отвгт: 2y[x + 6 - ^ + 3 In j■——-J-t-C.^.
4.163.
J 1+ y3x+4
(Ответ: | (3*+4) - | (Зл:+ 4)2/3+ (3x+4),/3-
|
-1п|-^Здс + 4+1| + С.) |
4.164. ( |
” ** . |
J l\j2x— 3 |
(Ответ: -A. V (2x—3)s + I д/(2х-3j* + C .) |
4.165. ( ---V * ^ + 2 - Ac. |
J |
(x+i)2-V^TT |
(о™*-' I" Ii£Tv^l-^«V VI% +1 +c)
(Oreer: —2 arctg V 1—* +C.)
VJ
4.167. J "~t+2 '
( Ответ. 2yfx —2-^2 arctg + C .)
4.168. J- ут+т + У(*+п3
{Ответ: 2 arctg -\j1+ x + C.)
4.7. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Х БИНОМОВ
Дифференциальным биномом называется выражение вида хт{а -\-
4-biCfdx, где т , п7р — рациональные числа, a, b£ R.
Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через эле
ментарные функции только в следующих |
трех случаях |
1 ) р — целое число, m=r\/si, n = rj/sj |
Тогда данный интеграл сво |
дится к интегралу or рациональной функции с помощью подстановки x= f\ где X= K(si, s2);
2)1)/п — целое число, p=r/s. В этом случае исходный интег
рал рационализируется с помощью подстановки 0+ 6*” = ^,
3) ( ОТ^~ ' — целое число, p=r/s. Тогда данный интеграл ра
ционализируется с помощью подстановки a+bx"=x"ts, где 5 — знамена тель дроби р.
Примеры Найти интегралы.
1. 5-\[х (1 + V * ) 4dx.
Реш ение. Здесь подынтегральную функцию можно записать в виде х'^(1 +д;|/3) 4, т. е. р = 4 — целое число.
Следовательно, имеем первый случай интегрируемости дифференциального бинома. Поэтому применим подста
новку х=^, так как К (2, 3)=6. Тогда dx= 6t5dt,
^дс'/2(1 -\-xi/2)idx= \x= f, dx= 6fdi\ =
= 5/3{ l+ ^ ) 46^ /= 6j/8(l + /2)4d/.
Применив формулу бинома Ньютона
<о+Ь>"=ц-+,шГ-'<>+ "'7 .7 " a *~ V + ...+
+ * (" ~ ' |
i |
+. . . + m a b " - ' + b - . |
имеем
б j /*(1 + ? ) * d t = 6j/8(1 +4/2+ б/4+ 4f -ff ) d t =
|
|
=6$ { f + 4t'° + Ы'2+ 4t'* + t,$)dt = |
|
|
= в (i_ |
4-—____ i_ 6/13 4t'5 |
_i_ i!l\ j_ c = |
|
|
\ 9 |
^ II |
^ 13 ^ 15 |
+ |
17/ + |
U |
|
«= L ? + |
* L t" + |
^-/13+ |
|
+ с |
|
|
3 * -Г Ц ‘ |
-I- 13 “Г 5^ 17 1 |
|
|
где |
6 |
|
|
|
|
|
|
i = s[x. |
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
*• |
Vх |
|
|
|
|
|
Реш ение. Переписав подынтегральную функцию в |
виде |
х_1/2(1 + х1/4) ,/3, имеем:т = — 1/2, п= 1/4, |
1/3. |
Так |
как |
Я1+1 |
|
1/21/20 |
|
|
|
— |
= -щ- = -щ =2—целое число, то имеет |
место второй случай интегрируемости дифференциального бинома. Использовав подстановку 1 = получим: х = (/3 — I)4, dx= 4(t3— 1)3-Zt2dt,
\x-sn{\+ x'iy ridx= \ (t%- \ ) - 2t - \ 2 ? (? - l):idt =
=\2\?{tz- \ )d t= \ 2 \ {f- ti)di =
-‘Ч у - т ) + с .
где |
|
|
|
з. \— j = . |
|
|
|
Решение. |
Здесь |
т = — 11, п = 4, /? = |
-- у , |
m^~1 +/>== |
-- у |
= —3— целое число. |
Имеет |
место третий случай интегрируемости дифференциального
бинома. Полагаем l-J-x4= xV. Тогда х = (/2 — 1)~1/\ dx = —2~((2— \)~s,*idt. Переходя в подынтегральном вы
ражении к переменной t, имеем
$*-11<1+*4Г 1/2Лг=«
— 1 $ ( т - т + 0 + с — 4 + т - т + с .
где t= Y 1+Х* /X2.
4.
Решение. Запишем подынтегральную функцию в ви
де х~г{2—хъ) ~ из. Здесь т = —3, |
и= —3, |
р— ~ |
, |
т+1 |
_ |
-3+1 _ |
2 |
т+1 |
2 |
1 _ |
|
п |
~ |
3 |
3’ |
л |
3 |
3 — |
|
целое число, т. е. имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Положим 2 — х3= Л 3, х3=
= 7 Т Г ’ x = 2,/3(t3+ l)- ,/3, dx=2,/3( — -^yti -{-l)-4/3X
X 3t2dt. Тогда
\х~3(2 -х3Г ]^ х = - J
X 2,/3 (/*+ 1) ~i/3fd t= — у ^ tdt= — +С,
где t~ -\j2-x3/х.
Задачи для самостоятельного |
решения |
|
В задачах 4.169—4.188 найти интеграл. |
|
4.169. ( |
dx |
|
|
J 1 W + T ' |
|
|
^ Ответ: ~ In |
( д/7+Т — 1) — ^ In |
( д/(х2+ 1)2 + |
|
+ д/7+Т + 1) -J- -у- arctg 2 |
+ с ~^ |
4.170. |
^ |
|
|
