Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

.1.pdf
Скачиваний:
2017
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
6.57 Mб
Скачать
☆

 

Ц- оо

2xdx

_

0

2xdx

.

-f»

2xdx

 

Г

Г

f

 

W

+1

”

)

Л и

+

 

 

 

= lim

дс

-J- 1

+

lim

(■

/+1

 

0-+ — Ob J

fr-*- Ч" 00

J

=

lim

(In I*2+ 1I |a) -+■1*171(In

|JC*+ 1I |o) =

 

a-f —oo

 

 

^ oo

 

 

= —

lim

ln|a2-|-l| +

lim

ln|f>2+ I| = — oo + oo.

 

0“*-—«>

 

£>*' -+■oo

 

 

 

Исходный интеграл расходится, так как расходится

каждый из интегралов в правой части последнего равен­

ства, а достаточно расходимости только одного из них.

3- 5 7 0 7 '

1

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконеч­

ный разрыв при лг=1. Следовательно,

 

 

 

 

(

i S ! j f « L _

 

 

J х l a X

e-*-0

J

 

In X

 

 

 

I

 

 

l+s

 

 

 

= lim

t ln-sjcrf(ln x) =. lim

 

~\

=

e-,-0

J

 

 

 

e^O

- 2 I

1+ t

 

i + e

 

 

 

 

 

 

 

 

)U<? (

2ln2e

 

2ln2 (I + e ) )

 

=— i -f oo = -j- oo,

т.e. исходный интеграл расходится.

Исследовать интегралы на

сходимость.

 

+- с«о

 

 

 

 

4 С — Л ____

 

 

 

 

| 3+ 2.с2+ 5*4

 

 

 

 

Решение. Применив признак сравнения, для

имеем 3+2.*2 + 5л:4;> /, откуда

 

 

 

'

х4

< 4 .

 

з+г*2-^*4

 

-f оо

 

 

 

 

dx

Исследуем на сходимость

интеграл

f

\

— . По

определению

 

 

1

 

410

 

 

\

X

=

 

lim

t дс V * —

 

 

 

J

 

О- + ОС jF

 

 

=

lim (

--- ^yl °^=

lim

(

--- Ц- -)- 4Л = 4">

a - i - + a > \

3 * I I /

 

 

J --+ O C P \

3 0

3

т. e. интеграл

+f■dx

сходится, а тогда по признаку срав­

I

нения сходится'и исходный интеграл.

 

+ ОС

 

 

 

 

 

 

 

 

_

Г sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

)

Решение. Применим признаки 1° и 3°. Имеем:

 

Ддс) = sin JC/JC2,

sin

 

Is*0

l/jc*.

Так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

~

=

lim \x~2dx=

 

 

 

 

J

ДГ

04- +oo J

 

 

 

 

 

=

Jim ( -- -I

)=

Hth ( ~

— - b lW l .

 

a-*- -f- оо \

X I

1/

a—» + oo \

^

/

 

то интеграл

+Г«с dx

сходится, а тогда, согласно признаку

\

 

 

|

 

 

 

+О0

 

_

сравнения,

сходится и

интеграл

f

Ism jcj rfjc

\

— р-- . Следова-

тельно,

на

основании

признака

3?°

сходится

интеграл

+f» sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

V\ — х*

Решение. Функция f (jc ) = yjx/ -\J1—jc4 имеет бес­

конечный разрыв при *=1. Применим следующий при­ знак: если функция f (x )^ 0 определена и непрерывна для

х 6 [о; Ь) и является бесконечно большой порядка а по

сравнению с при х-+-Ь—0, то интеграл \lf{x)dx

•'*. а

411

сходится при а < 1и расходится при а ^ 1. В нашем слу­ чае а = 0, 6=1, тогда

 

 

lim

f{x)

к = lim

 

, •(1 - х)* =

 

 

 

!(*_*)*

х-1 д/l-*4

 

 

= Um .

 

 

-limV* =

 

 

 

 

у (I —* ) (1-4-дг)

х~'

 

' — lim

 

. 1= у

lim <! —x)*~l/S.

 

 

 

1 у 2 V1—*

2 i- 1

Следовательно,

ft= l/ 2 d ,

и

интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного

решения

В задачах 5.114—5.127 вычислить несобственный ин­

теграл

или установить

его расходимость.

 

 

+ ж>

 

 

 

 

5Л14.

^

хе ^dx> ^Ответ:

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

+ «

 

 

 

 

 

5.115.

[— . (Ответ:

1—In 2.)

 

 

 

|

*2(*+1)

 

 

 

 

 

+ <»

 

 

 

 

 

5.116.

[

 

-. (Ответ: л.)

 

 

J

дс+2д:+2

 

 

 

 

 

— СО

 

 

 

 

 

5 " 7- \ i^ r - ( ° ™ r: f )

 

 

5.118.

(

 

dx ( Ответ: 144-Л

 

 

I

V ?

'

 

 

7>

 

 

е

 

 

 

 

 

5"

9- 1

 

(0геет; 2 >

 

 

5.120.

|

 

. {Ответ:

\f\25.}

412

5 л п -

|

 

1 7 Л ) г ' ( 0твет: т +

т ' п 3 )

 

1

 

 

 

5-122.

j

~з

■ (Ответ: расходится.)

 

I

 

 

 

5.123.

\ ---- (Ответ:

V3 /

 

i,

 

(2-л:) У 1-х2 v

 

5

 

 

 

5Л24

S v u - m s - x r (0твет: л >

 

25

 

d*

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

-»------. {Ответ: расходится.)

 

 

д —бх-Ьб

 

512‘ - 1

 

С0™ 61' т- )

 

 

—ос

 

 

Э

5.127. ^ (x-i)tn (х-1) • ((->твет: расходится.)

2

В задачах 5.128—5.132 исследовать интеграл на сходи­ мость.

'x2dx

К*28. \ - — (Ответ: расходится.)

iУ о - * 2)5

I

5.129.

t —\-Х

(Ответ: сходится.)

 

о е

-

1

 

+ СО

dx

5.130.

С

—

\

--- (Ответ: сходится.)

 

i

V1 +*

 

х

 

 

 

т

 

 

5.131. ^ ~°^| dx. (Ответ: сходится.)

о

I

Sи—& — dxCOS X •. (Ответ: расходится.)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ

1. Апатенок Р. Ф. и др. Элементы линейной алгебры н аналитически! геометрии / Р. Ф. Апатенок, А. М. Маркина, Н. В. Попова, В. Б. Хейнман Под ред. В. Т. Воднева.— Мн.: Выщ. шк., 1986.—271 с.

2.

Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу: В 2 ч,—

Мн.: Изд-во Белорус, ун-та, 1974.— Ч, 1,— 175 с.

 

3.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии.— М.: Нау­

ка, 1975.— 160 с.

 

1968.—431 с

4.

Kypoat А. Г. Курс высшей алгебры.— М.: Наука,

5.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления

В 2 т.— М.: Наука,

1985,— Т. 1,— 432 с.

интегрального

6. Фихтенгольц

Г, М. Курс дифференциального и

исчисления: В 3 т,— М.: Наука, 1970.— Т. 1.—607

с.; Т. 2.-799 с

7. Шипачев В. С. Высшая математика.— М.: Высш. шк., 1985.—

368 с.

 

8. Шнейдер В. Е „ Слуцкий А. И,, Шумов А. С. Краткий курс выс­

шей математики: В 2 т.— М.: Высш. шк , 1978— Т

I.—383 с.; Т. 2.—

327с.

СБОРНИКИ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

9.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анали­ за.— М.: Наука, 1985,— 416 с.

10.Данко !Т. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я- Высшая математика

в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986,— Ч. I.— 446 с.

11.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов /

Г.С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефимеико и др.; Под ред.

Б.П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

12.Минорский В. Я. Сборник задач по высшей математике.—

М.: Наука, 1977.— 352 с.

13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.— М.: Наука, 1974.—384 с.

14. Сборник задач по курсу высшей математики / П. Е. Дюбюк, Г И. Кручкович.-Н. Н. Глаголева и др.; Под ред. П. Е. Дюбюка,

Г.И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1965.—590 с.

15.Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии/ Р. Ф. Апатенок, А. М. Маркина, Н. В. Попова, В. Б. Хейнман; Под ред В. Т. Воднева.— Мн.: Выш. шк., 1990,—286 с.

16.Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и

основы математического анализа: В 4 ч. / В. А. Болгов, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. А. В. Ефимова, Б. П Демидовича.— М.: Наука, 1981,— Ч. 1,— 368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р е д и с л о в и е

 

3

1. Элементы линейной алгебры ианалитической

геометрии 5

1.1. Комплексные числа

над ними

5

1.2. Матрицы и действия

15

1.3. Определители и их

свойства. Вычисление

определи*

телей

 

23

I 4. Обратные матрицы. Невырожденные системы линейных

уравнений

 

30

1.5.Ранг матрицы Произвольные системы линейных урав­ нений. Теорема Кронекера — Капелли. Однородные

системы линейных уравнений

40

1.6.Векторы в пространстве R3. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису Скалярное

 

произведение векторов

 

51

1.7. Векторное и смешанное произведения векторов

62

1.8. Линейные пространства

 

68

1.9

Евклидовы пространства

 

77

1.10. Линейные операторы. Матрица линейного оператора

82

I I I . Собственные числа и собственные векторы линейного

90

 

оператора

квадратичных

1.12. Квадратичные формы. Приведение

97

1

форм к каноническому виду

 

13. Плоскость. Взаимное расположение плоскостей

107

I

14. Прямая ка плоскости

расположение

115

1.15. Прямая в пространстве. Взаимное

128

 

прямой н плоскости

 

1.16. Кривые второго порядка

 

142

1.17.Преобразование координат Приведение к канониче­ скому виду общих уравнений кривых второго порядка 154

1.18. Поверхности второго порядка

 

164

1.19. Линии, заданные уравнениями в полярных коорди­

176

натах и параметрическими уравнениями

2. Введение в математический анализ

 

189

2.1. Функция и числовая последовательность. Предел чи­

189

словой последовательности и предел функции

2.2. Первый и второй замечательные

пределы

201

2.3 Сравнение бесконечно малых

функций

210

2.4. Непрерывность и точки разрыва

215

3. Производная и ее приложения

227

3). Производная. Основные правила дифференцирования 227

3.2.Логарифмическое дифференцирование Производные функций, заданных параметрическими уравнениями, и производные неявных функций. Производные высших

порядков

237

3 3 Дифференциал функции, его свойства и геометрический

смысл. Приближенные вычисления с помощью диффе­

248

ренциалов

3.4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

254

3.5. Формула Тейлора н ее приложения

261

3.6Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на от­

резке

266

3.7. Выпуклость и вогнутость кривой, точки

перегиба.

Асимптоты

274

3.8. Приложения производной к исследованию функций и

построению графиков

279

3.9. Векторная функция скалярного аргумента и ее пронз-

%водная. Кривизна кривой. Касательная к пространст­

венной кривой. Нормальная плоскость

289

4. Неопределенный интеграл

299

4.1.Первообразная и неопределенный интеграл. Непосред­ ственное интегрирование. Интегралы, приводящиеся

к табличным

 

 

 

299

4.2. Интегрирование методом замены переменной. Интегри­

рование по частям

 

 

311

4.3. Интегралы от

функций,

содержащих квадратный

трехчлен

 

 

 

319

4.4. Интегрирование рациональных дробей с помощью

разложения их на простейшие дроби

327

4.5. Интегрирование

тригонометрических выражений

с

ломошью подстановок н

формултригонометрии

338

4.6. Интегрирование

иррациональных

функций

350

4.7. Интегралы от дифференциальных

биномов

356

4.8. Интегралы вида J ft{x, -TJ OX1+ Ьх + c}dx

361

5. Определенный интеграл

*

 

369

5.1.Определенный интеграл, его свойства и вычисление 369

5.2.Вычисление площадей плоских фигур с помощью

определенного интеграла

376

5.3. Вычисление объемов тел с помощью определенного

384

интеграла

5.4. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности

391

вращения

5.5 Приложения определенного интеграла к решению не­

398

которых задач механики и физики

5.6. Несобственные интегралА

407

Р е к о м е н д у е м а я л и т е р а т у р а

414
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности