М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Реш ение. Применив формулу (3.4), имеем

Следовательно,

в. Найти угловой коэффициент касательной к эллипсу

x = 3cos/, г/= 4sin/ в точке М(3-\/2/2, 2-^2) {рис. 3.4).

м [ ь п / г г ' п ]

X

Р и с 3 4

Реш ение. По определению первой производной для ,

функции, заданной параметрически, имеем

Подставив координаты точки М в параметрическое уравнение эллипса, определим, какое значение параметра t соответствует точке М:

3^2/2 = 3 cos /,

2-^2 = 4sin<,

4_

3 ‘

241

Реш ение, а) Продифференцируем обе части дан­ ного равенства, считая у функцией от х:

Зх2+ 3у2у' — 3ш/* — 3аху' = 0.

Отсюда имеем

(у2— ах)у’ = ау — х2.

Следовательно,

у' = (ау — х2)/{у2— ах).

б) Дифференцируя обе части исходного равенства по х, имеем

у' — еэ + х&у',

откуда у'( \— хеу) = еу. Тогда

у' = е*/(l-xe»).

Так как по условию хед= у — 1, то окончательно по­ лучаем

8. Чему равен угловой коэффициент касательной к окружности (х— I) + (у + 3)г= 17, проведенной в точке

/И{2, 1)?

Реш ение. Продифференцируем обе части уравнения,

считая у функцией от х:

2(х-1) + 2(у + 3)у' = 0.

Реш ение. По формуле Лейбница имеем:

242

Остальные слагаемые равны нулю, так как все высшие производные функции х? — 1, начиная с третьей, тождест­

венно равны нулю. Тогда

у<-24)= ех(х2— \) + 24ех-2х + 12-23^.2 =

=е*{х? + 48х + 551).

10.Найти у’х, уКх, если

jc= In t,

xgZ ? - , , 'е<°- +~>]

Реш ение. По определению первой производной для функции, заданной параметрически, получаем

Окончательно первую производную запишем как функ­ цию, заданную параметрически:

Тогда первую производную как функцию, заданную па­ раметрически, запишем в виде:

<«-•= '>)

Теперь находим tfi*.

243

Окончательно получаем:

выражения, считая у функцией от х:

Отсюда

у'{ I — )/cos2{at + у)) = l/cos2(*-|-i/).

Тогда у '— — sin_2{jc + y)- Дифференцируя полученное равенство, имеем

У" = ( — 1)( — 2)sin~ 3{х + у) •cos(JC + у) (1 + у').

Подставив в последнее равенство вместо у' его выра­ жение, получим:

— 1 +*g2(Jt'+ y)= 1 + У2, то окончательно имеем

У" = — 2(1 + У2)/У*■

13. Найти у", если «/= I -^хе*.

Реш ение. Первая производная данной функции была

найдена при решении примера 76:

У' = & /(2 - У)-

Продифференцировав обе части последнего равенства по х, имеем

Подставив в полученное равенство выражение для у', найдем вторую производную данной функции:

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 3.48—3.58 найти производную данной функ­ ции, используя правило логарифмического дифференци­ рования.

3.50.y = f os\ /Ответ: y '= ^ os V _ sinx •lnx + ^

3.51.y — (sin xj*x, | Ответ: у' = (sin ^ nj;(ln x- ctgx-f-

+ J£ ^ L»

3.52. у = (cos x)l/x. ( Ответ: у' = — -cosxj ' (In cos x -f- -f * tg x\\

3.53.y = x'\ (Ответ: у' =jc*‘+i(2 lnx+ 1).)

3.54.y = ( i g Xy. (Ответ: y' = (tgxY(\ntgx+2x/sir\2x).)

ln(jf + I) \ \

J)

3.56.y ~

{x - b f ‘

(Ответ: y '= -

V 3 ( x - 5 ) ’ y i x + i f '

245

В задачах 3.70—3.75 найти производную у' Неявной функции.

3.70. х2+ у2— ху — 0. (Ответ: у' = ^-^у ')

В задачах 3.76—3.80 найти первую и вторую произ­ водные неявной функции.

3.76. х = у — arctg у. (Ответ: у '= у ~ 2 + 1, у" =

=- 2<у- 3+ <г5).)

3.77.ё* = х-\-у. ( Ответ: у' = — !— = --- !--- , у" =

247

3.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ, ЕГО СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

ПРИ БЛИ Ж ЕННЫ Е ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Д</(дсо» Дх) = А&х + 0(Д*).

Главная лииейиая часть А&х приращения &у называется диффе­ ренциалом этой функции в точке *о, соответствующим приращению Дх, н обозначается dy, т. е. dy = А&х.

Для того чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке .to, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная f'(*o). При этом выполняется равенство А = f'(xo). Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную.

Таким образом,

Ду= у£Ддг + 0(Дж).

Выражение для дифференциала иыеех вид

dy = I'{x)&x.

Дифференциалом аргумента считается приращение аргумента

ращение функции Ду и ее дифференциал dy в фиксированной точке

являются эквивалентными бесконечно малыми, поэтому Дy ~ d y при

Д*-»0.

Ри с. 3.5

24в

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке Л4<](хо. уо) при при­ ращении аргумента, равном Дх (рис. 3.5).

Перечислим основные свойства дифференциала:

Если приращение &x аргумента мало по абсолютной величине, то Ау » dy и получаем формулу приближенных вычислений с помощью дифференциалов

Дифференциалом второго порядка функции у = fix) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т. е. d2(t/)= d(dy).

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка d*y =

= d(d2y) Вообще,

d°y = d(da-'y\

Если y = f(x) и х — независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

Примеры

1. Дана функция у = х2 + 2х. Найти значения при­

ращения и его главной линейной части, соответствующие изменению аргумента от х0= 2 до х = 2,1.

Реш ение. Так как Ду = f(xo + Дх) — /(хо), то найдем

сначала приращение данной функции при переходе аргу­ мента от значения х0 = 2 к значению х0+Дх — 2,1:

Ду|*«=2 = f ( 2,1) - f ( 2) = {2,1 f + 2 •2 ,1- (22+ 2 •2)= 0,61.

| д с = 1).|

Учитывая, что dy = f'(xa)&x = (2х0+ 2)Дх, при задан­

ных числовых значениях аргумента получаем

djfU-s = (2 •2 + 2) •0,1 — 0,6.

| Д* = 0.1

2. Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увели­

чится его площадь, если каждую сторону увеличить на 1см? Найти главную линейную часть приращения площа­

ди квадрата.

Реш ение. Пусть сторона квадрата равна х. Тогда его площадь S(x) = x2. Из условия известно, что х<>= 8, Дх = 1. Следовательно,

249