М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 3.101—3.110 с помощью правилу Лопиталя найти предел.

3.101. lim - ■-еЧ* ~ 1— . {Ответ: 0.)

ж-*-» 2 arctg дг — л

зл02- 1!3 Л 1 - 3}о- ( 0теет: f )

3.103. lim -— —-. {Ответ: ln a — 1.)

x - i In X

260

В задачах 3.118—3.124 раскрыть неопределенности

Если функция у = fix) имеет производные до (п -{-\)-го порядка включительно в некотором интервале, содержащем точку х = а, то она может быть представлена в виде суммы многочлена п-й степени и остаточного члена R„(x):

называемого многочленом Тейлора (или при а = 0 многочленом Макла­ рена), если для функции f{x) выполняется условие

261

Формула Тейлора позволяет оценить возникающую при этом погреш­ ность /?„, которая может быть сделана сколь угодно малой только при

тех значениях х, при которых lim /?» = 0. Л-*ОС>

Приведен разложения некоторых функций по формуле Маклорена:

^ = 1 + - j r + + •.. + (3.13)

Формулу Тейлора используют при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вычислить значение функции fix) в точке *о с абсолютной погрешностью, не пре­ восходящей е, если известно значение этой функции и ее производных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что

Ш

Примеры

1. Разложить многочлен х4— бх3+ х2 — Зх + 4 по степеням х — 4.

Реш ение. Если о = 4, то /(4) = 44- 5 - 4 3+ 42- 3 - 4 + 4 = -56.

Так как /'(х) = 4х3— 15х2 + 2х — 3, то

f (4) = 44- 15 •42 + 2 •4 - 3 = 21.

Аналогично получаем:

//,(х)=12х2-30х + 2, П 4)= 12 •42 — 30 •4 + 2 = 74; /'"(х) = 24х-30, f"'(4) = 24-4-30 = 66;

Г V)(x) = 24, f (4) = 24; ^'(х) = 0.

Подставляя найденные значения в формулу (3.11), получаем

х4— 5Х3+ х2 — Зх + 4= —56 + 21 (х — 4) + 37(х — 4f +

+11(х-4)3+ (х -4)\

2.Найти первые 3 члена разложения по формуле

Тейлора при х = 2 функции f(x) = х8— 2х7-|- 5х® — х 3. Подсчитать приближенно значения /(2,02) и /(1,97).

Реш ение. Воспользуемся формулой (3.1 J) для п = = 2. Так как

/(2) = 2й — 2s+ 5 •26- 2 + 3 = 321, f'(x) = 8х7- 14х6 + ЗОх5 - 1,

/'(2) = 8 * 27— 14 •26+ 30 •2s— 1= 1087, /"(х) = 56х* - 14 •бх5+ 150х\

/"(2) = 56 •26— 14 •6 . 2Б + 150 •24= = 25(112 — 84 4* 75) = 3296,

то

/(х)« 321 + 1087{х-2) + 1648(x-2f.

Следовательно,

/(2,02) ж 321 + 1087(2,02 - 2)+1648(2,02- 2/= 343,3992,

/(1,97)«321 + 1087(1,97-2)+ 1648(1,97-2)* = 289,8732;

3. Записать формулу Тейлора и-го порядка для функ­ ции у = l/х при Хо= — 1.

Реш ение. Находим значения функции и всех ее

производных в точке х0= — 1:

/( — 1)= 1; / '(* )= - 1/х2 = - х - 2, П - П = - 1 ; Г (4 - ( - 1) ( ~ 2)х-3, Г ( - 0 = ( - 1Г ■•2 !;

263

JL = _ ! _ ( * + ! ) _ ! _ ( * + ( )* _ | _ (* + i f

1 = _1 _(*+!)_(*+ 1)*_(Х + 1)?_..._(Л + 1)Г4.

X

( — I) 1" 1-‘( * 4 1 Г +|

+{- I +e(jt+ 1)Г+3'

4.Вычислить с точностью до 10 3 приближенное зна­

чение

Реш ение. Выполним преобразования:

д/29 = ^/27 + 2 = У<27(] +2/27) = 3(1 +2/27),/3.

Воспользуемся разложением (3.16), для которого погрешность Ra можно сделать сколь угодно малой при |х| < 1 и достаточно большом п. Имеем

264

Оценивая величины последовательных ошибок вы­ числения 31Лп1, находим:

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять сумму трех первых членов из формулы

(3.16), которые предшествуют остатку Ri, т. е.

^ ffi3( , + i r ~ 5 F ) ~ 3'072-

5. Вычислить cos 10° с точностью до 0,001 с помощью формулы Тейлора.

Реш ение. Избавляясь от неизвестного параметра в,

которое позволяет легко оценить погрешность при замене

функции cos х многочленом. Воспользовавшись разложе­ нием (3.15) с учетом того, что 10° = я/18« 0,174, по­

лучаем

о-1" ' < « £ «0 ,0 0 0 6 .

24 24

Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно взять два первых члена формулы Тейлора.

Следовательно,

cos 10° « 1- 0,1742/2 * 0,9847.

З а м е ч а н и е При любом значении х и п->-оо остаточный член fltn+i формулы Макларена для функции cos х сремится к нулю, т. е.

lim tfm+ i = 0. Отсюда следует, что при любом значении х функцию

П —+оо

cos х можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой за­ данной точностью, причем последовательное повышение точности аппроксимации достигается путем простого увеличения числа членов аппроксимирующего многочлена. Полагая п — I, 2, 3, получаем простей­ шие приближенные формулы для cos х:

265

Теорема I (достаточное условие возрастания и убывания функции >.

Если функция у = Цх) дифференцируема в интервале (о; Ь) и /'(х)> О при всех *€(<*; Н то функция Цх). возрастает в (л; Ь)\ если j'(x) < О для всех х£(а-. Ь). то f(x) убывает в (а; Ь).

Точка xi>называется тонкой минимума функции y —f(x), если суще­ ствует такая окрестность Ut(x<>) точки х0>что для х£ (/«(хо) выполняется неравенство Цх)> Цхо)’, если же для х 6 Ut(x„) выполняется неравен­ ство f(x) < f(xо), то точка дго называется тонкой максимума. При этом число f(*o) называется максимумом (минимумом) функции. Точки ми­ нимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума).

Если функция y = f(х) в точке хо имеет экстремум, то Г(*о) — 0 или j'(xo) не существует.

Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критическими. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема 3 (достаточные условия существования экстремума).

1. Пусть функция у = Цх) дифференцируема в некоторой окрестности

6{хо — 6; Хо) и !'(х) > 0 для х£ (х0; х0 + в), то Хц— точка минимума. Если /'(*) при х (х0 — 5, Xo + fi), х ф х0, сохраняет знак, то точка хв не является точкой экстремума.

2. Пусть f'(xo) — 0, {"(хо) ф 0. Тогда функция у — Цх) имеет в точке хо максимум, если f"(xо)<0, и минимум, если f"(xn)> 0.

3. Пусть f 'W = f'(i,)= ... = f(*-|)(i,) = 0, Г\хо)фО . Если п = = 2* + ], *€ N, то в точке Хо экстремума нет. Если же п = 2k, то в точке хо будет максимум при f n\x«)< 0 и минимум при 1("(х«) ;> 0.

Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь), то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

именьшее).

Примеры

Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума данных функций.

1. ( / = ^ - 2*3+ -У-*2 - 6*+ |- .

Реш ение. Функция определена для JC £ ( — оо; -|- оо). Находим ее производную:

у' = jc3 — 6jc2-j- 1 1jc— 6 = (дг — 1)(jc — 2)(х — 3).

точками на четыре интервала: ( — оо; 1)U(1; 2)(J(2; 3)U (J(3; +<»). Определим знак у' на каждом из них. Для

267

этого в каждом интервале возьмем точку и выясним, ка­

кой знак имеет у' в этой точке, затем применим достаточ­ ное условие возрастания или убывания функции. В ре­ зультате получим, что для * е ( — 00; ОU(2 ; 3) функция

убывает, а для *6(1; 2)(J(3; +<») возрастает. Следова­ тельно, при х = \ , х = Ъ функция имеет минимум, а при

х = 2 максимум. Вычислим значения функции в этих точках: </(!)= О, у{2)— 1/4, {/(3) — 0.

Таким образом, (1,0), (3,0) — точки минимума, (2, 1/4)—

точка максимума (рис. 3.6).

2. у = х3 — \ х2— Ьх + 4.

Реш ение. Функция определена для х£( — оо; + оо), ее производная

у' = Зх2- Зх ~ 6 = 3(*2 - jc- 2) = 3(* + I )(х - 2).

Поскольку у '= 0 при л' = — I и дг = 2, то разбиваем область определения функции на три интервала: ( — оо;

— 1)U(-1; 2)U(2; +оо). Определив знак у' в каждом

из этих интервалов, получим: у' > 0 для дс £ ( — оо; — 1) (J U(2 ; +оо), следовательно, f(x) возрастает в данном ин­ тервале; у' < 0 для * £ (— 1; 2) и /(х) убывает в этом ин­

268

через точку х = 2 у' меняет знак с «— » на « + », т. е. при х = 2 функция имеет минимум. Вычислив значения функ­ ции в этих точках, получим: у (— 1)=7,5, у(2)= —6.

Таким образом, ( — 1; 7,5) — точка максимума, (2,

—6) — точка минимума (рис. 3.7).

3. у = х2е~х.

Реш ение. Функция определена для всех х £ (— оо;

+ оо). Ее производная

у' = 2хе~* — х2е~х = е~хх(2 — х).

Так как у' = 0 при х = 0 и х = 2, то jct = 0, х2= 2 — критические точки данной функции. Область определения функции разобьем на три интервала: ( — оо; 0)U (0; 2)U U(2; + оо). Определив знак у' в каждом из этих интерва­ лов, получим, что: для -*■£(— оо; 0) у’ < 0, для * 6 (0; 2) у' > 0 и для х £ (2; + оо) у' < 0. Следовательно, при

минимум; при переходе через точку х = 2 у' меняет знак с « + » на «— следовательно, при х = 2 функция имеет максимум. Вычислим значения функции в этих точках: /(0) = 0, /(2) = 4/е2. Следовательно, имеем: (0, 0) — точка

максимума, (2,4/е2) — точка минимума.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = Зх — х3 на отрезке [—2; 3].

Реш ение. Имеем

/'(х) = 3 - 3 х 2= 3(1 - * 2) = 3(1 - х){\ + х ).

Так как f'(x) — 0 при х = — 1, х = I, то х\ = — I , = = 1 — критические точки данной функции, причем обе они принадлежат отрезку [—2; 3]. Вычислив значение

функции в этих точках и на концах отрезка, получим:

/{— 1)= — 3+1 = —2, f ( l ) ~ 3 — 1=2,

/(—2) = 3(—2) -— ( —2)3= 2, f(3) = 3 •3 — З3= -18.

Следовательно, наибольшее значение функции на дан­ ном отрезке равно 2, а наименьшее равно — 18.

5. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Реш ение. Обозначим высоту конуса BD через х

(рис. 3.8). Так как OB = R, то OD = x — R, ADi = /?4- —(дг —R f = 2 Rx — г\ Учитывая, что объем конуса опре­

269