3.9.1 Гістерезисна теорія тертя кочення

В основі гістерезисної теорії тертя кочення лежить уявлення недосконалої пружності (Дюпюі).

Розглянемо основну ідею цієї теорії на прикладі кочення жорсткого циліндра по пружній основі. Розподіл тиску в зоні контакту

,

де a – на півширина площі контакту (мал. );

Ne – навантаження, яке відноситься до довжини циліндру.

Елементарний об’єм відносно центру O

.

Рис.45. Деформації, які виникають на глибині кочення циліндру по плоскому зразку

Момент сил, обумовлений тиском на фронтальній ділянці зони контакту,

.

Робота на переміщення циліндра на одиницю шляху тертя Ф₁ пропорційна силі тертя кочення F:

.

Цілком очевидно, що якщо б на тильній стороні циліндру був такий же самий розподіл тиску, то для кочення не треба було б ніякої сили. Однак, насправді при коченні циліндр епюр нормальних тисків несиметричний відносно вісі циліндру, що пояснюється явищем пружного гістеризису. Кожен елемент основи на протязі часу, коли він належить області контакту з циліндром, відчуває послідовно цикл навантаження і розвантаження, який, як відомо, описується петлею гістерезису.

Різниця між затраченою і повернутою роботою дорівнює площі петлі гістеризису і може бути виражена у вигляді .

Тоді сила тертя кочення

.

Якщо виразити напівширину площі контакту через навантаження, то легко можна встановити, що

.

Таким чином, завдання розрахунку опору кочення зводиться до визначення коефіцієнта гістерезисних втрат.

Встановлено, що величина коефіцієнту гістерезисних втрат, яка може бути отримана із діаграми сила–деформація при простих програмах навантаження зразків, наприклад, навантаження і наступне розвантаження при одновісному розтягуванні, виявляється дуже мала для того, щоб пояснити опір коченню. Більш детальний аналіз напруженого стану матеріалу основи, яка деформується, показав, що вона істотно відрізняється від одновісного розтягування. Розглянемо циліндр, який рухається по гумовому зразку. По мірі того, як циліндр буде переміщуватися вліво, елемент об’єму A буде деформуватися, приймаючи послідовно форму B, C і D. Після виходу із контакту його форма повністю відновлюється (E). Гринвуд виходив з того, що запасена пружна енергія в елементарному об’ємі по мірі його трансформування від B до D майже не змінюється.

Визначення гістерезисних втрат було здійснене на тонкостінних трубчатих зразках, виконаних із гуми. Експерименти по одновісному розтягуванні показали, що α = 8%. Той же результат був отриманий при крученні зразків. Потім вимірювання коефіцієнта гістерезисних втрат було проведено по наступній програмі навантаження : трубка розтягувалася до деякого напруження σ₀, потім розтягування зменшувалось і одночасно виконувалося закручування зразку так, щоб запасена пружна енергія в елементарному об’ємі зберігалася постійною. Остання умова виконується для гуми (μ = 0,5) при . При цьому було встановлено, що гістерезисні втрати в два рази більші, ніж при одновісному розтягуванні.

Кількісна оцінка гістерезисних втрат при складному напруженому стані може бути зроблена наступним чином.

Напружений стан будь–якого елементу може бути представлено у вигляді суперпозиції двох напружень зсуву і гідростатичного тиску. Напруження зсуву спрямовані під кутом 45º до напружень чистого зсуву. Гідростатична складовав даному аналізі може не враховуватися внаслідок нестискаємості гуми. Якщо енергія, запас якої в одиниці об’єму при крученні від 0 доt₀, дорівнює , деG – модуль зсуву, і аналогічно для одновісного розтягування , де, то втрати енергії при кожному із цих циклів, як показали експерименти з тонкостінними трубками, пропорційніівідповідно, а загальна величина їх пропорційна.

.

Експериментальні данні, отримані при коченні циліндрів різної довжини (від довгого α_Г≈3,3α, короткого α_Г≈2,9α, дуже короткого α_Г≈2α) і сфери (α_Г≈2,2α) по гумі.

Встановлений опір коченню досягається при проходженні шляху S≈1,5a. Коефіцієнт гістерезисних втрат залежить від швидкості.