Конспект МАТАН2

Диференціальне та інтегральне числення функцій кількох змінних. Диференціальні рівняння. Конспект лекцій. (І курс ІІ семестр) / Уклад.: В. О. Гайдей, Л. Б. Федорова, І. В. Алєксєєва, О. О. Диховичний, — К: НТУУ «КПІ», 2013. — 144 с.

Навчальне видання

Диференціальне та інтегральне числення функцій кількох змінних. Диференціальні рівняння.

Конспект лекцій

для студентів І курсу технічних спеціальностей

Укладачі: Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц. Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Відповідальний О. І. Клесов, д-р фіз.-мат. наук, професор редактор

Передмова

Конспект лекцій з вищої математики «Диференціальне та інтегральне числення функцій кількох змінних. Диференціальні рівняння» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить:

—конспект лекцій,

—практикум,

—збірник задач, індивідуальних домашніх завдань і тестів.

Конспект складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «Київський політехнічний інститут», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:

—диференціальне числення функцій кількох змінних;

—визначені інтеграли;

—невластиві інтеграли;

—подвійні інтеграли;

—потрійні інтеграли;

—криволінійні інтеграли 1-го і 2-го роду;

—поверхневі інтеграли 1-го і 2-го роду;

—елементи теорії поля;

—диференціальні рівняння 1-го порядку, які інтегруються у квадратурах і рівняння вищих порядків, які зводяться до них;

—лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Конспект містить теоретичний матеріал, обсяг і рівень строгості якого потребує курс вищої математики для майбутніх інженерів. Передбачено, що опанування лекції з конспекту супроводжується опануванням відповідного заняття з практикуму.

Метою конспекту є:

—систематичний виклад теоретичного матеріалу, що звільняє лектора від «надиктовування» і дозволяє більше пояснювати;

—ефективна підготовка студента до колоквіуму та іспиту;

—виділення наріжних питань математичного аналізу.

1

Диференціальне числення функцій кількох змінних

Лекція 1. Функції кількох змінних. Границя і неперервність

1.1. Арифметичний n-вимірний простір

Функції однієї незалежної змінної не охоплюють усі залежності, що існують у природі. Природно розширити поняття функціональної залежності і розглянути числові функції кількох змінних і вектор-функції однієї змінної.

Поширюючи геометричні методи на теорію функцій будь-якої кількості змінних, в математиці запроваджують поняття n -вимірного простору.

Арифметичним n -вимірним простором n називають множину всіляких упорядкованих наборів з n чисел (x1;x2;...; xn ), які називають точками простору і позначають M(x1;x2;...;xn ).

Арифметичний n -вимірний простір називають евклідовим простором n, якщо між будь-якими його точками M (x1;x2;...;xn ) і M (x1;x2;...;xn ) означено

віддаль (метрику) за формулою

(M , M ) (x1 x1)2 (x2 x2)2 ... (xn xn )2 .

Зокрема, евклідів простір 1 називають координатною прямою, а евклідів простір 2 — координатною площиною.

1.2.Підмножини евклідового простору n

1.Окіл. -околом точки M0 n (n -вимірною кулею радіусом із центром у точці M0 ) називають множину точок

U (M0 ) {M n | (M0, M) }.

1.4. Дослідження графіків функцій методом перерізів

Для зображення функцій двох змінних часто використовують метод перерізів, який полягає в тому, що поверхню z f(x,y) перетинають площинами x x0

та y y0 і за кривими z f(x0,y) та z f(y0, x) визначають вигляд графіка функції z f (x, y).

Але можна фіксувати значення не аргументів, а функції, тобто перетинати поверхню площинами z C,C E(f ). При цьому одержуємо криву

f(x, y) C.

яку називають лінією рівня функції.

Тобто, лінія рівня на площині Oxy — це проекція кривої, утвореної перерізом поверхні z f(x,y) площиною z C.

1.6. Неперервність функції кількох змінних

Розгляньмо функцію u f (M ), M D. І нехай точка M0 є внутрішньою точ-

кою множини D.

Означення 1.2. Функцію u f (M ) називають неперервною в точці M0, якщо

lim f (M ) f (M0 ).

M M0

Якщо позначити

f (M0 ) f (M) f(M0),

то умову неперервності функції u f (M ) у точці M0 можна переписати як

lim f (M0 ) 0.

M M0

Точки, в околі яких функція означена (крім, можливо, самих точок), але не є неперервною називають точками розриву функції.

Арифметичні дії з неперервними функціями і суперпозиція неперервних функцій приводить до неперервних функцій.

Для функцій кількох змінних точки розриву можуть заповнювати лінії (по-

верхні). Приміром, для функції z 1 точки розриву утворюють мно-

9x2 4y2

жину точок площини Oxy, що визначається рівністю 9x2 4y2 0, тобто точ-

3

ки прямих y 2 x.

1.7. Функції неперервні в замкненій області

Функцію, неперервну в кожній точці області D, називають неперервною в обла-

сті D.

Область на площині (у просторі) називають обмеженою, якщо існує круг (куля), який містить цю область. Область разом з її межею називають замкне-

ною областю.

Теорема 1.2 (Веєрштраса). Якщо функція z f (M ) неперервна в обмеже-

ній замкненій області D, то

1)z f (M ) обмежена в області D;

2)z f (M ) набуває в області D своїх найбільшого та найменшого значень.

10 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Лекція 2. Похідні і диференціали функцій кількох змінних

2.1. Частинні похідні 1-го порядку

Похідна f (x) функції однієї змінної y f (x) характеризує швидкість змінення функції в точці x.

Для функції двох (або більшої кількості змінних) можна говорити про швидкість змінення функції в точці лише в певному напрямі, оскільки ця швидкість у різних напрямах може бути різною.

Нехай функція z f (x, y) означена в деякому околі U(M0 ) точки

M0(x0 ;y0 ) і

M(x0 x; y) U(M0 ), M(x0;y0 y) U(M0 ).

Частинними приростами функції f (x, y) за змінною x (за змінною y) у точці M0 називають різниці

x f (M0 ) f(x0 x,y0 ) f (x0,y0 ),y f(M0 ) f (x0,y0 y) f(x0,y0 )

відповідно.

Означення 2.1. Частинною похідною функції z f(x,y) за змінною x (за

змінною y) у точці M0 називають границю відношення частинного приросту

функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля і позначають:

Ще використовують позначення:

З означення випливає, що, частинну похідну функції z f (x,y) за змінною x знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної (при цьому змінну y вважають сталою).