Конспект МАТАН2

x g(y),

де функція g(y) однозначна і неперервна на відрізку [c;d ] осі Oy.

Площу криволінійної трапеції, обмеженою прямими y c,y d, віссю Oy і кривою x g(y) знаходять за формулою

d

S g(y)dy.

c

y d

S

x g(y)

c

Рис. 10.3. Площа криволінійної трапеції

Нехай криву задано в полярній системі координат рі-

внянням

f ( ),

де функція f неперервна і невід’ємна на відрізку [ ; ]. Плоску фігуру, обмежену кривою f ( ) і двома

променями, що утворюють з полярною віссю кути та

, називають криволінійним сектором.

Щоб знайти площу криволінійного сектора OBA, розбиймо його на n довільних частин променями

Рис. 10.4. Криволінійний сектор

10.3. Об’єм тіла

Розгляньмо тіло, обмежене замкненою поверхнею . Нехай відома площа S(x) будь-якого перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ox .

Вважаємо, що функція S(x) неперервна на відрізку [a;b]. Розіб’ємо тіло на n шарів площинами

xa x0,

xx1,x x2,...,

xb xn.

x

Рис. 10.6. Об’єм тіла за площами перерізів

Замінімо кожний шар тіла циліндром із твірними, паралельними осі Ox, напрямною циліндра є ко-

нтур перерізу тіла площиною x k .

Об’єм vk такого циліндра дорівнює добуткові площі S( k ) основи, де k [xk 1;xk ], на його висоту xk :

S( k ) xk,

а об’єм усіх циліндрів

n

Vn S( k ) xk .

k 1

S(xk 1)

S(xk )

S( k )

Рис. 10.7

10.4. Обчислення об’єму тіла обертання

Розгляньмо тіло, утворене обертанням навколо осі

Ox криволінійної трапеції abBA, обмеженою кривою y f (x), прямими x a,x b (a b) і віс-

сю Ox. Це тіло називають тілом обертання. Переріз тіла площиною, перпендикулярною до

осі Ox, яка відповідає абсцисі x, є круг із площею

S(x) y2 f 2(x).

Отже, об’єм тіла обертання криволінійної трапеції навколо осі Ox знаходять за формулою

b

VOx f 2(x)dx.

y

B

A

a b

Рис. 10.8. Тіло обертання

Нехай z f (x,y) — невід’ємна, неперервна в замкненій обмеженій області D функція. У тривимірному просторі рівняння z f (x,y) визначає деяку поверхню , яка проектується на площину Oxy в область D. Тіло G, обмежене зверху поверхнею , знизу областю D з межею L, з боків — циліндричною поверхнею з напрямною L і твірними, які паралельні осі Oz, називають криволі-

нійним циліндром.

Знайдімо об’єм криволінійного циліндра.

G

O

y

x

L

Рис. 11.2. Криволінійний циліндр

1 (лінійність). Для будь-яких , :

[ f(x,y) g(x,y)]dxdy f(x,y)dxdy

D D D

2 (адитивність). Якщо область D є об’єднанням двох областей D1 та D2, які не мають спільних внутрішніх точок, то

f (x,y)dxdy f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy.

3 (нормованість). 1dxdy площа(D) S(D).

D

g(x,y)dxdy.

D1 D2

x

Рис. 11.4.

Адитивність подвійного інтеграла

Покажемо, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів.

Область D називають правильною у напрямі осі Oy якщо будь-яка вертикальна пряма, що проходить через внутрішню точку області перетинає межу області не більше як у

двох точках.

Нехай функція f (x,y) 0, M(x;y) D. Тоді f (x,y)dxdy виражає об’єм V цилінд-

D

ричного тіла.

Побудуємо переріз циліндричного тіла площиною, перпендикулярної до осі Ox :

xconst [a;b].

Уперерізі дістанемо криволінійну трапецію, площу якої можна знайти за формулою

y2(x )

S(x) f (x,y)dy, x const [a;b].

y1(x )

Згідно з методом перерізів

Рис. 11.5. Область правильна у напрямі осі Oy

z

Рис. 11.6. Зведення подвійного інтеграла до повторних

b

V

a

Отже,

b y2(x)

S(x)dx

a y1(x)

f(x,y)dy dx.

f (x,y)dy dx

12.1. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Щоб спростити обчислення подвійного інтеграла, найчастіше застосовують перехід до полярних координат за формулами:

Рис. 12.1. Узгоджені полярні і декартові координати