Конспект МАТАН2

У векторному полі grad u можна означити дві операції:

( , u) div grad u,

що приводить до скалярного поля, і

[ , u] rot grad u,

що приводить до векторного поля.

2. Нехай задано векторне поле a Pi Qj Rk . Тоді оператор по-

роджує скалярне поле

( , a ) div a.

У скалярному полі div a оператор породжує векторне поле

( , a ) grad div a.

3. У векторному полі a Pi Qj Rk оператор породжує також ве-

кторне поле

[ , a ] rota.

Застосовуючи до цього поля знову оператор , дістанемо:

а) скалярне поле

( , [ , a ]) div rota,

б) векторне поле

[ , [ , a ]] rot rota.

Виберімо у просторі ПДСК Oxyz і розгляньмо кожну операцію 2-го порядку детальніше.

1. Нехай функція u(x, y, z) має неперервні другі частинні похідні за x, y, z,

називають оператором Лапласа або лапласіаном. Його можна записати як ска-

лярний добуток оператора Гамілтона на самого себе

( , ) 2.

Скалярне поле u(x, y, z), що справджує умову u 0, є гармонічним.

2. Нехай функція u(x, y, z) має неперервні частинні похідні 2-го порядку включно. Тоді

rot grad u 0.

Справді,

102 Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

rot grad u [ , u] [ , ]u 0,

оскільки [ , ] 0, як векторний добуток двох однакових «векторів».

3. Нехай задано векторне поле

a P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z)k ,

координати якого P,Q, R мають неперервні частинні похідні 2-го порядку. Тоді маємо

4. За тих же умов, маємо

div rot a 0.

Ці співвідношення вже було доведено безпосереднім обчисленням. Доведімо його, скориставшись властивістю оператора .

Маємо

div rota ( ,[ , a ]) (a,[ , ]) 0,

оскільки [ , ] 0 як векторний добуток двох однакових «векторів».

5. Нарешті, за тих самих умов,

rot rota grad div a a,

3

Диференціальні рівняння

Лекція 21. Диференціальні рівняння 1-го порядку

21.1. Основні поняття

Розв’язуючи різноманітні задачі математики, фізики, хімії та інших наук часто використовують математичні моделі, записані за допомогою рівнянь, що зв’язують незалежну змінну, шукану функцію та її похідні:

F(x,y,y ,...,y(n)) 0.

Такі рівняння називають диференціальними.

Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка після підставлення в рівняння перетворює його на тотожність. Якщо функцію, яка справджує диференціальне рівняння задано неявно співвідношенням (x,y) 0 або параметрично, то кажуть про інтеграл рівняння.

Процес розв’язування диференціального рівняння називають його інтегруванням, а графік розв’язку диференціального рівняння — інтегральною кривою.

Приміром, розв’язком найпростішого диференціального рівняння y f(x)

є функція y F(x) — первісна для функції f (x).

Найвищий порядок похідної, яка входить у диференціальне рівняння, називають порядком рівняння.

Приміром, y y xy5 0 — диференціальне рівняння 2-го порядку.

21.2. Задача про радіоактивний розпад

Відомо, що швидкість радіоактивного розпаду пропорційна кількості x речовини, яка ще не розпалася. Треба знайти залежність x від часу t, якщо в почат-

ковий момент t t0 в наявності було x x0 речовини.

Диференціальне рівняння, яке описує процес розпаду:

x kx.

Зауважимо, що множина розв’язків диференціального рівняння зазвичай нескінченна.

Приміром, диференціальне рівняння y 2x

має розв’язком будь-яку функцію y x2 C, де C — довільна стала.

21.4. Геометричний зміст диференціального рівняння

Розгляньмо диференціальне рівняння 1-го порядку y f(x,y),

де функція f (x,y) означена і неперервна в області D змінних x та y. Нехай y (x) є розв’язком цього рівняння в інтервалі (a;b).

Оскільки функція (x) має в кожній точці інтервалу (a;b) похідну, то графік функції y (x) має в кожній своїй точці дотичну, з кутом нахилу . В кожній точці M(x;y) інтегральної кривої виконано співвідношення

tg f (x,y).

диференціального рівняння.

Будь-яка інтегральна крива (графік розв’язку диференціального рівняння)

має властивість: напрям її дотичної в певній точці збігається з напрямом поля у цій точці.

21.5. Частинний і загальний розв’язок диференціального рівняння

Щоб з нескінченної множини розв’язків диференціального рівняння вилучити певний розв’язок, треба підкорити його деякій додатковій умові.

Означення 21.1. Розв’язок y y(x) диференціального рівняння y f(x,y),

що справджує початкову умову

y(x0) y0

називають частинним розв’язком диференціального рівняння, який справджує цю початкову умову.

Частинний розв’язок, який заданий неявно співвідношенням

(x,y) 0,

називають частинним інтегралом.

Геометрично початкова умова означає, що задають точку M0(x0;y0), через яку повинна проходити шукана інтегральна крива.

Означення 21.2. Сукупність функцій

y y(x,C),

де C — довільна стала, називають загальним розв’язком диференціального рівняння

y f(x,y),

якщо:

1)функція y y(x,C ) є розв’язком цього ДР для будь-якого значення C;

2)для будь-якої початкової умови y(x0) y0 існує єдине значення C C0

таке, що функція y y(x,C0) справджує цю початкову умову.

що проходить через точку M0(x0;y0).

Рис. 21.3. Загальний і частинний розв’язки

21.6. Задача Коші для диференціального рівняння 1-го порядку

Означення 21.3. Задачу відшукання частинного розв’язку диференціального рівняння

y f(x,y)

який справджує початкову умову

y(x0) y0

називають задачею Коші (початковою задачею) для диференціального рівняння.

Геометрично це означає, що через точку M0(x0;y0) проходить одна і лише

одна інтегральна крива рівняння.

Зауважимо, що теорема 21.1 має локальний характер: вона гарантує існування єдиного розв’язку диференціального рівняння лише в досить малому околі точки x0.

Приклад 21.1. Довести, що будь-яка задача Коші для диференціального рівняння y x y має єдиний розв’язок.

Приміром, у рівнянні y x y функція f (x,y) x y означена і не-

перервна в усіх точках площини Oxy і має скрізь f 1. На підставі теореми

y

21.1 через кожну точку (x0;y0) площини Oxy проходить єдина інтегральна крива цього рівняння.

Означення 21.4. Розв’язок y (x) диференціального рівняння y f(x,y) називають особливим, якщо в кожній його точці порушується властивість єдиності, тобто через кожну його точку (x0;y0) крім цього розв’язку проходить і інший розв’язок рівняння, відмінний від y (x) у як завгодно малому околі точки (x0;y0).

Лекція 22. Розв’язання диференціальних рівнянь 1-го порядку

22.1. Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду

f1(y)dy f2(x)dx

називають диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Тут f1(y), f2(x) — відомі неперервні функції.

22.2. Задача про динаміку популяції

Рівняння

x kx,k 0,

що відрізняється лише знаком правої частини від рівняння радіоактивного розпаду, описує лавиноподібний процес розмноження, приміром «розмноження» нейтронів у ланцюгових ядерних реакціях або розмноження бактерій у припущенні, що швидкість їхнього розмноження пропорційна наявній кількості бактерій.

Розв’яжімо це рівняння з відокремлюваними змінними:

dxdt kx dxx kdt;

dxx k dt;ln x kt ln C,C 0 x(t) Cekt .

Але обмеження на C можна зняти, оскільки x 0 є розв’язком. Отже, загальний розв’язок рівняння

x(t) Cekt,C const.

Знайдімо тепер частинний розв’язок, який справджує початкову умову x(t0) x0.

— тобто розв’яжімо задачу Коші для диференціального рівняння: x0 x(t0) Cekt0 C x0e kt0 .

Отже,

x(t) x0ek(t t0 ).

Рівняння радіоактивного розпаду і рівняння розмноження можна об’єднати в одне диференціальне рівняння

dydt ky,k const,

що дає найпростішу математичну модель динаміки популяцій (сукупностей

особин того чи іншого виду рослинних або тваринних організмів). Тут k m n,

де m — коефіцієнт відносної швидкості народжуваності, а n — коефіцієнт відносної швидкості вмирання. Але сталі відносні швидкості не можливі для великих популяцій. Справді, велика кількість членів популяції призводить до зменшення відповідних ресурсів, що знижує швидкість народжуваності і збільшує швидкість умирання.

Узагальненням записаного рівняння динаміки популяції є логістичне рівняння

dydt (A y)y, ,A const,