Конспект МАТАН2

Отже, правдива формула переходу до полярних координат у подвійному інтегралі

f (x,y)dxdy f ( cos , sin ) d d ,

D D

з якої випливає, співвідношення елементів площі у ПДСК і полярній системі координат

12.2. Загальний випадок заміни змінної

Якщо функція f (x,y) неперервна в деякій замкненій обмеженій області D, то існує

f (x,y)dxdy.

D

Перейдімо за допомогою співвідношень

xx(u,v),y y(u,v)

уподвійному інтегралі до нових змінних u та v і припустімо, що з них одноз-

начно можна виразити

u u(x,y),v v(x,y).

Тоді кожній точці M(x;y) D відповідає деяка точка M(u;v) D.

Теорема 12.1. Нехай взаємно однозначне перетворення u u(x,y),v v(x,y)

переводить замкнену обмежену область D площини Oxy у замкнену обмежену область D площини Ouv. Якщо функції x(u,v) та y(u,v) мають в області

Визначник J(u,v) називають якобіаном (визначником Якобі — Остроград-

ського). Його модуль є коефіцієнтом спотворення площі під час заміни змінної: dxdy J(u,v) dudv.

Із розгляду безпосереднього переходу від декартових до полярних координат, маємо, що J( , ) . Той самий результат дістанемо, обчислюючи якобі-

12.3.Застосування подвійних інтегралів

1.Площа плоскої області D.

S(D) dxdy.

D

2. Маса пластинки D. Нехай в області D розподілена деяка маса (електричний заряд, теплота тощо).

Розіб’ємо пластинку D довільним чином на ділянки Di з площею Si і ма-

сою mi,i 1,n.

Середньою густиною розподілу маси на ділянці Di називають відношення

mi .Si

Нехай тепер ділянка Di стягується в точку Mi(xi;yi ) і Si 0. Якщо існує

lim mi ,

Si 0 Si Di Mi

то вона є деякою функцією від точки Mi, яку називають поверхневою густиною

(Mi ) lim mi .

Si 0 Si Di Mi

Лекція 13. Потрійні інтеграли

13.1. Означення інтеграла

Поверхню : F(x,y, z) 0 називають гладкою, якщо в кожній її точці існує нормальний вектор n і його положення міняється неперервно. Поверхні утворені скінченною кількістю гладких поверхонь називають кусково-гладкими.

довільну точку Mi( i; i; i ) і побудуймо інтегра-

льну суму

n

f ( i, i, i ) Vi.

i 1

Означення 13.1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми, коли найбільший з діаметрів елементів прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття області G на елементи, ані від вибору точок всередині елементів, то її називають потрійним інтегралом за областю G від функції f і позначають

13.2. Властивості потрійного інтеграла

Потрійний інтеграл має всі властивості інтегралів за геометричними об’єктами. 1 (лінійність). Для довільних , :

( f (x,y,z) g(x,y,z))dxdydz

V

f(x,y,z)dxdydz g(x,y,z)dxdydz.

3 (нормованість). 1dV об'єм (G) V(G).

G

13.3. Обчислення потрійного інтеграла

Як і для подвійних інтегралів потрійні інтеграли зводять до повторних. Область G називають циліндричною в напрямі осі Oz якщо будь-яка верти-

кальна пряма, що проходить через внутрішню точку (x;y;0) DOxy паралельно

то потрійний інтеграл зводиться до трьох повторних:

13.4. Заміна змінних у потрійному інтегралі

Обчислюючи потрійний інтеграл, часто застосовують заміну змінних.

Нехай взаємно однозначне перетворення

x x(u,v,w),y y(u,v,w),z z(u,v,w)

переводить обмежену замкнену область G простору Oxyz в обмежену замкнену область G простору Ouvw. Якщо функції x,y та z мають в області G неперервні частинні похідні і якобіан

xu xv xw J yu yv yw zu zv zv

відмінний від нуля, то правдива формула заміни змінної у потрійному інтегралі:

f (x,y,z)dxdydz f (x(u,v,w),y(u,v,w), z(u,v,w)) J(u,v,w) dudvdw.

G G

13.5. Перехід до сферичних координат у потрійному інтегралі

Сферичні координати r, , зв’язані з узгодженими декартовими координатами x,y, z співвідношеннями:

Якобіан переходу до сферичних координат J r2 sin , а

J r2 sin .

Отже, правдива формула переходу до сферичних координат у потрійному інтегралі:

f (x,y,z)dxdydz f ( , ,r)r2 sin d d dr,

G G

f ( , ,r) f(r cos sin ,r sin sin ,r cos ).

Використовують і узагальнені сферичні координати:

Jabcr2 sin .

13.6.Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі

Циліндричні координати , ,z зв’язані з узгодженими декартовими координатами x,y, z співвідношеннями:

Якобіан для переходу до циліндричних координат

J .

Отже, правдива формула переходу до циліндричних координат у потрійному інтегралі:

f (x,y,z)dxdydz f ( cos , sin ,z) d d dz.

G G

Використовують і узагальнені циліндричні координати:

13.7.Застосування потрійного інтеграла

1.Об’єм тіла G.

V (G) dxdydz.

G

2. Маса тіла G з густиною (x,y, z).

Лекція 14. Криволінійний інтеграл 1-го роду

14.1. Задача про масу дуги

Криву L, задану параметрично рівняннями

L : {x x(t),y y(t),z z(t), t [ ; ]

називають гладкою, якщо:

1)функції x(t),y(t),z(t) неперервно диференційовні на відрізку [ ; ] і

x (t)i y (t)j z (t)k 0 t [ ; ];

2)крива L не має точок самоперетину.

Отже,

14.2. Означення інтеграла

Нехай у просторі задано гладку криву L, у точках якої визначено неперервну функцію f (x,y, z).

Криву довільним чином розбиймо на ланки Li завдовжки li,i 1,n. На кожній ланці Li вибираємо довільну точку Mi й утворюємо інтегральну суму

n

f(Mi ) li.

i 1

Означення 14.1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми, коли найбільший з діаметрів ділянок прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття кривої на ланки, ані від вибору точки на кожній ланці, то її назива-

ють криволінійним інтегралом 1-го роду (за довжиною дуги) і позначають

14.3. Властивості криволінійного інтеграла 1-го роду

1 (лінійність). Для довільних значень , :

[ f (x,y,z) g(x,y,z)]dl f (x,y,z)dl f (x,y,z)dl.

3 (нормованість). 1dl довжина (L) l(L).

L

4. Криволінійний інтеграл 1-го роду не залежить від напряму шляху інтегрування, тобто, якщо L NM, то

f(x,y,z)dl f (x,y,z)dl.

MN NM

14.4. Диференціал довжини дуги кривої

Розгляньмо ламану AA1...An 1B, яку вписану в криву AB.

Знаходячи за теоремою Піфагора довжину кожної ланки ламаної маємо

li ( xi )2 ( yi )2 .

Підсумовуючи, дістаємо наближений вираз для довжини дуги

n

l(AB) ( xi )2 ( yi )2 .

i 1

Довжиною дуги кривої називають границю периметра вписаної в цю криву ламаної:

n

l(AB) maxlim 0 ( xi )2 ( yi )2 .

xi i 1 n