Конспект МАТАН2

Властивості границь вектор-функцій можна дістати з означення і відповідних властивостей границь числових функцій.

Вектор-функцію r r (t), означену в деякому околі точки t0, називають

неперервною в точці t0, якщо

lim r (t) r (t0 ).

t t0

Вектор-функції r (t) неперервна у точці t0 тоді й лише тоді, коли коорди-

натні функції x(t),y(t), z(t) неперервні в точці t0.

3.6. Похідна вектор-функції

Нехай вектор-функція r (t) означена в деякому околі точки t0. Надамо аргумен-

ту приросту t 0 і розгляньмо приріст вектор-функції

r (t0 ) r (t0 t) r (t0 )

і відношення r (t0 ), яке є вектором, колінеарним вектору r (t0 ).

t

Означення 3.5. Похідною вектор-функції r (t) за її аргументом t в точці t0

називають вектор

r (t) iR sin t jR cost kh.

Правдиві такі правила диференціювання вектор-функції:

1)(r1(t) r2(t)) r1(t) r2(t);

2)(Cr (t)) Cr (t),C const;

3)(r1(t),r2(t)) (r1(t),r2(t)) (r1(t),r2(t));

4)[r1(t),r2(t)] [r1(t),r2(t)] [r1(t),r2(t)].

Лекція 4. Дотична і нормаль до кривої і поверхні

4.1. Геометричний і механічний зміст похідної вектор-функції

Вектори r (t0 ) і r (t0 ) колінеарні. Якщо t 0, то ці вектори напрям-

t

лені в бік зростання t. Якщо t 0, то вектор r (t0 ) напрямлений у бік спа-

дання t, а вектор r (t0 ) знову напрямлений у бік зростання t.

t

Геометричний зміст вектора r (t0 ) полягає в тому, що він напрямлений уз-

довж дотичної до годографа функції r (t) у бік зростанням параметру t. Вектор-функція r (t) з механічного погляду задає закон руху матеріальної

точки по кривій, яка є годографом. Оскільки похідна є швидкістю змінення функції в заданій точці, то r (t0 ) є швидкістю руху матеріальної точки по цій кри-

вій, напрямленою вздовж дотичної до кривої у бік зростання t.

4.2. Дотична пряма і нормальна площина до просторової кривої

Площину N, перпендикулярну до дотичної в точці дотику називають нормальною площиною до кривої в цій точці.

Нормальна площина до кривої L має рівняння

x (t0 ) x x0 y (t0 ) y y0 z (t0 ) z z0 0.

Приклад 4.1. Знайти рівняння дотичної і нормальної площини до гвинтової

лінії x a cost,y a sin t,z ht при t0 2 .

4.3. Геометричний зміст градієнта

Розгляньмо поверхню , яку задає рівняння

F(x, y, z) 0.

Нехай функція F(x, y, z) диференційовна в точці M0(x0; y0; z0) , причому не всі частинні похідні в точці M0 дорівнюють нулеві.

Кажуть, що вектор n перпендикулярний до поверхні у точці M0, якщо

він перпендикулярний до будь-якої дотичної прямої, проведеної до поверхні в цій точці.

Теорема 4.1. Вектор grad u(M0 ) перпендикулярний до поверхні рівня гладкої функції u f (x,y,z) у точці M0(x0 ;y0 ;z0 ) цієї поверхні.

А це й означає ортогональність вектора grad u(M0 ) до вектора дотичної ,

і його перпендикулярність до поверхні .

Приклад 4.2. Записати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні

конуса x2 y2 z2 0, M0(4; 3; 4). 16 9 8

5.2. Необхідна умова існування локального екстремуму

Теорема 5.1 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція z f(x,y) має в точці M0(x0 ;y0 ) локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні 1-го порядку за змінними x та y дорівнюють нулеві, нескінченності або не існують.

Нехай M0(x0 ;y0 ) — точка екстремуму. Тоді функція (x) f(x,y0) бу-

де функцією однієї змінної, яка має екстремум у точці x x0. Тому її похідна fx (x0,y0 ) дорівнює нулеві, нескінченності або не існує.

Так само, розглянувши функцію (y) f (x0,y), дістанемо, що fy(x0,y0 )

дорівнює нулеві, нескінченності або не існує.

Означення 5.2. Точку M0(x0;y0 ), в якій частинні похідні 1-го порядку функ-

ції f дорівнюють нулеві, називають стаціонарною точкою функції f .

У стаціонарній точці виконано також умови: dz(M0) 0, grad f (M0) 0.

Стаціонарні точки та точки, у яких частинні похідні функції дорівнюють нескінченості або не існують, називають критичними точками.

Лекція 5. Екстремуми функції двох змінних

Проте не всяка критична точка є точкою екстремуму, тобто теорема встановлює лише необхідну, але не достатню умови екстремуму.

5.3. Достатні умови локального екстремуму

Отже, знак приросту функції f(M0 ) визначається знаком 2-го диференціала d2f .

Другий диференціал функції z f (x,y) є квадратичною формою Q(dx,dy) щодо змінних dx і dy, яку можна записати як

dx d2z (dx dy)H ,

dy

де

матриця квадратичної форми, яку називають матрицею Гессе. Визначник матриці Гессе detH називають гессіаном.

Отже d2 f (M0 ) 0 (d2f (M0 ) 0) тоді й лише тоді, коли матриця Гессе є

додатно (від’ємно) визначеною.

Згідно з критерієм Сильвестра матриця H є:

1)додатно визначеною, якщо zxx (M0 ) 0, detH(M0 ) 0;

2)від’ємно визначеною, якщо z (M ) 0, detH(M ) 0.

xx0 0