Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Конспект МАТАН2

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
3.4 Mб
Скачать
☆

 

 

Лекція 25. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

 

131

 

 

 

 

 

 

 

4. Інтегруючи C (x) та C2(x) знаходимо шукані функції C1(x) та C2(x).

 

 

1

 

 

Приклад 25.1.

Знайти загальний розв’язок рівняння y y

.

 

sin x

 

 

 

 

 

25.3. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду

Функція вигляду

f (x) e x (Pn(x)cos x Qm(x)sin x)

називають функцією спеціального вигляду (квазімногочленом).

До розв’язання таких рівнянь застосовують метод підбирання частинного розв’язку ЛНДР. Розгляньмо типи рівнянь до яких він застосовний.

1. Рівняння вигляду

y(n) p1y(n 1) ... pny Pm(x),

де

Pm(x) a0xm a1xm 1 ... am.

а) якщо 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. Qm(x) A0xm A1xm 1 ... Am,

де Ai,i 0,m, — невизначені коефіцієнти;

б) якщо 0 є коренем характеристичного рівняння кратності r (є «резонанс» порядку r), то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. xrQm(x) xr (A0xm A1xm 1 ... Am ),

де Ai,i 0,m, — невизначені коефіцієнти.

2. Рівняння вигляду

y(n) p1y(n 1) ... pny eaxPm(x),

де

Pm(x) a0xm a1xm 1 ... am.

а) якщо a не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. eaxQm(x) eax (A0xm A1xm 1 ... Am ),

де Ai,i 0,m, — невизначені коефіцієнти;

132

Розділ 3. Диференціальні рівняння

б) якщо a є коренем характеристичного рівняння кратності r (є «резонанс» порядку r), то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. xreaxQm (x) xreax (A0xm A1xm 1 ... Am ),

де Ai,i 0,m, — невизначені коефіцієнти.

3. Рівняння вигляду

y(n) p1y(n 1) ... pny e x (Pm(x)cos x Qk (x)sin x),

де

Pm(x) a0xm a1xm 1 ... am, Qk (x) b0xk b1xk 1 ... bk .

а) якщо i не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. e x (Ul (x)cos x Vl (x)sin x,

де Ul (x) та Vl (x) — многочлени порядку l max{m,k} із невизначеними кое-

фіцієнтами;

б) якщо i є коренями характеристичного рівняння кратності r (є «резонанс» порядку r), то частинний розв’язок ЛНДР шукають у вигляді

yч.н. xre x (Ul (x)cos x Vl (x)sin x,

де Ul (x) та Vl (x) — многочлени порядку l max{m,k} із невизначеними кое-

фіцієнтами.

Щоб знайти невизначені коефіцієнти многочленів, треба підставити функцію yч.н.(x) у ЛДНДР і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях x у лі-

вій та правій частинах рівняння. При цьому треба прирівнювати відповідні коефіцієнти тих многочленів, що стоять при cos x, і окремо — коефіцієнти многочленів при sin x.

Зауважимо, що при накладанні різних правих частин для знаходження частинного розв’язку ЛНДР використовують принцип суперпозиції.

Доведімо випадок 1 для ДР 2-го порядку.

А. Нехай 0 не є коренем характеристичного рівняння

2 p1 p2 0 p2 0.

Отже,

yч.н. y Qm(x),y Qm (x),y Qm(x).

Після підставлення функції y та її похідних у ДР y p1y p2y Pm(x)

дістанемо:

Лекція 25. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

133

 

 

(x) p2Qm(x) Pm(x).

 

Qm

(x) p1Qm

 

Зліва — многочлен m -го степеня з невизначеними коефіцієнтами, справа

— многочлен степеня m, але з відомими коефіцієнтами. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x дістанемо систему (m 1) алгебричних рів-

нянь для визначення коефіцієнтів A0,A1,...,Am.

Б. Нехай 0 є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння

2 p1 p2 0 p2 0.

У цьому разі шукати розв’язок у вигляді y Qm(x) вже не можна, оскіль-

ки після підставляння дістанемо рівність:

 

 

(x) Pm

(x).

Qm

(x) p1Qm

У лівій частині — многочлен степеня (m 1), у правій частині — многоч-

лен степеня m.

 

 

 

Щоб одержати тотожність многочленів у розв’язку y треба мати многоч-

лен степеня (m 1). Тому частинний розв’язок шукають у вигляді y xQm(x).

В. Якщо 0 є коренем кратності 2 характеристичного многочлена, то так само з’ясовуємо, що частинний розв’язок треба шукати вже у вигляді

y x2Qm(x).

Приклад 25.2. Визначити і записати структуру частинного розв’язку ЛНДР за виглядом функції f (x):

1)y 2y f (x), де а) f (x) x2; б) f (x) sin 2x;

2)y 6y 10y f (x), де а) f (x) e 3x ; б) f (x) e 3x sin x;

3)y 8y 16y 2 ch 4x.

Приклад 25.3. Розв’язати диференціальне рівняння:

1)y 8y 8x,

2)y 3y 2y xex ;

3)y(4) 2y y cos x.

Приклад 25.4. Розв’язати задачу Коші: y 9y 36e3x ,y(0) 2,y (0) 6.

25.4. Вимушені коливання. Резонанс

Розгляньмо випадок, коли коливний рух відбувається в середовищі без опору і на коливальну систему діє періодична зовнішня сила (t) H sin 1t. Тоді рух точки описується лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням

134

Розділ 3. Диференціальні рівняння

x 2x H sin 1t.

Загальним розв’язком цього рівняння є сума загального розв’язку однорідного рівняння

xз.о. Asin( t 0).

і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Розгляньмо два випадки.

1. Нерезонансний випадок. Припустімо, що 1 , тобто частота зовніш-

ньої сили відмінна від частоти вільних коливань. Отже, частинний розв’язок треба шукати у вигляді

 

 

xч.н.

Acos 1t B sin 1t.

y

 

 

 

 

 

 

 

Підставляючи цю функцію у ДР,

 

 

маємо

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

H

sin t;

 

 

O

t

ч.н.

2

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

H

 

 

 

x

 

Asin( t

)

sin t.

Рис. 25.1. Нерезонансний випадок коливань

з.н.

2 2

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Уразі, якщо та 1 близькі за величиною, матеріальна точка коливається

звеликою сталою амплітудою.

2. Резонансний випадок. Нехай тепер 1,

тобто частота зовнішньої сили дорівнює частоті вільних коливань. Частинний розв’язок треба шукати у вигляді

xч.н. t(Acos t B sin t).

Підставляючи в ДР, маємо xч.н. Ht2 cos t;

xз.н. Asin( t 0) Ht2 cos t.

y

O

t

Рис. 25.2. Резонансний випадок коливань

Амплітуда коливань із плином часу необмежено зростає.

Лекція 26. Системи лінійних диференціальних рівнянь

26.1. Задача Вольтерра (система хижак-жертва)

Розгляньмо співіснування двох видів, приміром, риб. Позначимо кількість особин 1-го виду x(t), 2-го виду — y(t). Припускаємо:

1) 1-й вид харчується продуктами середовища, яких завжди вдосталь;

Лекція 26. Системи лінійних диференціальних рівнянь

135

2)якби 1-й вид жив окремо, то кількість його особин неперервно б збільшувалась зі швидкістю пропорційною наявній кількості особин: x k1x, k1 0.

3)особини 2-го виду харчуються лише особинами 1-го виду;

4)якби 2-й вид жив окремо, то він би поступово вимирав: y k2y, k2 0.

Розгляньмо тепер випадок, коли види співіснують. Припустімо також, що коефіцієнт k1 зменшиться на величину пропорційну y. Так само, що коефіцієнт

k2 завдяки наявності 1-го виду (харчів) зміниться на величину пропорційну x.

За цих припущень маємо таку систему диференціальних рівнянь:

 

 

k y)x,

x (k

 

1

 

3

 

 

 

k4x)y,

y (k2

 

 

 

 

 

 

 

 

де k1,k2,k3,k4 — додатні числа.

26.2. Основні поняття

Для розв’язання багатьох задач математики, фізики і техніки часто потрібно розглядати декілька невідомих функцій. Знаходження цих функцій може привести до кількох ДР, які утворюють систему.

Систему n ДР 1-го порядку, розв’язаних щодо похідної, вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t,x ,...,x

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

f2(t,x1,...,xn ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.............................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(t,x ,...,x

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

називають нормальною системою ДР.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обмежмося розглядом нормальних систем із двома невідомими функціями:

 

 

 

 

 

 

 

a (t)x

 

a

(t)x

 

 

 

f (t),

 

 

 

 

 

 

x

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

11

 

 

12

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22(t)x2 f2(t).

 

 

 

 

 

 

x2 a21(t)x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цю систему можна записати у матричному вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

Ax f ,

 

 

 

 

 

x (t)

a (t)

a (t)

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

11

 

 

12

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де x

 

,A

 

(t)

a

 

 

, f

 

, або

 

x

2

(t)

a

22

(t)

 

 

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

L[x(t)] f (t),

де L dtd A.

136

Розділ 3. Диференціальні рівняння

Якщо стовпець f 0, то систему називають однорідною, інакше — неод-

норідною.

Розв’язком системи ДР називають сукупність із двох функцій x1(t),x2(t)

які справджують кожному з рівнянь цієї системи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 26.1.

Якщо функції aij (t), fi(t),i, j 1,2,

неперервні

на

відрізку

 

[a;b], то в досить малому околі кожної точки M0(t0;x10;x20),t (a;b),

викона-

 

но умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші.

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо стовпці x1(t) та x2(t)

є розв’язками лінійної однорідної системи

 

L[x ] 0, то для довільних сталих

C

1

та C

2

стовпець C x (t) C x

2

(t) також є

 

розв’язком цієї системи.

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(про структуру розв’язку однорідної системи).

Загальним

 

Теорема 26.2

 

розв’язком

 

 

 

 

 

 

 

нормальної лінійної однорідної системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

Ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з неперервними на відрізку [a;b] коефіцієнтами aij (t),i, j 1,2

є лінійна комбіна-

 

ція двох лінійно незалежних в інтервалі (a;b) розв’язків x1(t),x2(t) системи

xзаг.одн. C1x1(t) C1x2(t),

де C1,C2 const.

26.3. Метод Ейлера розв’язання однорідної системи диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами

Шукатимемо розв’язок однорідної системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

у вигляді

 

 

 

dt

Ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(t)

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

e

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

x

e

 

,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

x

2

(t)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Підставляючи ці розв’язок у систему і перетворюючи її, дістанемо

 

 

 

 

 

) a

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

(a

11

12

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (a ) 0.

21 1 22 2

Щоб ця система мала ненульовий розв’язок необхідно й достатньо, щоб

Лекція 26. Системи лінійних диференціальних рівнянь

137

 

a11 a12

 

0 2 (a

11

a

22

) (a a

22

a a

21

) 0.

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Це рівняння називають характеристичним рівнянням для системи.

1. Якщо корені характеристичного рівняння 1

та 2

дійсні різні, то зна-

ходять відповідні їм нетривіальні розв’язки 1, 2

алгебричної системи і запи-

сують загальний розв’язок однорідної системи ДР у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

t

 

 

 

t

 

 

 

const.

 

 

 

 

 

 

x

заг. одн.

e

1 C

2

e

2 ,C ,C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Якщо корені характеристичного рівняння 1 та 2 комплексно спряжені:

1 i , 2 i ,

то знаходять нетривіальний розв’язок алгебричної системи , який відповідає

1 i . Тоді

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

x1(t)

Re( e

),x2(t)

Im( e

 

 

)

 

x

заг. одн.

(t) C x (t)

C x

(t),C ,C

2

const.

 

 

 

1 1

 

 

2 2

1

 

 

3. Якщо корені 1 та 2

характеристичного рівняння дійсні і рівні, то зага-

льний розв’язок системи шукають у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

A Bt

 

,A,B,C,D const.

 

 

x(t)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C Dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 8y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Приклад 26.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язати систему

 

x

y.

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.4. Метод виключення змінних

Нормальну неоднорідну систему ДР

 

 

 

 

 

 

a (t)x

 

a (t)x

 

f (t),

x

1

2

 

1

11

12

1

 

 

a21(t)x1

a22(t)x2

f2(t).

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можна звести до одного диференціального рівняння 2-го порядку, виражаючи або змінну x2(t) із 1-го рівняння системи, або змінну x1(t) із 2-го рівняння системи.

Приклад 26.2. Розв’язати задачу Коші

 

 

dx

 

 

x y cost,

 

 

 

dt

 

dy

 

 

y 2x cost sint,x(0) 1,y(0) 2.

 

 

 

dt

 

Відповіді

2.1.

dz 3x2 sin ydx x 3 cosydx;dz(M

)

3

 

dx

1

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

0

2

2

 

 

 

 

 

 

2.2.dudt cos 2t.

2.3.xz yx ln y, dxdz yx ln y xyx 1 sin 2x.

2.4.

z

6(u v)uv

3(u v)2v;

z

6(u v)uv 3(u v)2

u

v

2.5.

z

 

 

2xy

 

z

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

,

y

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

ez 1

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2.6.

2z

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

,

 

2z

 

 

 

6

 

,

x2

 

 

 

3y)2

 

x y

 

 

3y)2

 

 

 

 

 

 

 

(2x

 

 

 

 

 

(2x

 

 

2z

 

 

 

6

 

 

 

,

2z

 

 

 

9

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3y)2

y2

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

(2x

 

 

 

 

 

(2x 3y)2

 

 

3.1.

T(M0)

 

2e

5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Густина зростає найшвидше в напрямі вектора grad (M0)

зі швидкістю, що дорівнює

 

grad (M

0

)

 

 

104

.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1. Рівняння дотичної:

x

y a

 

 

 

z

a

 

2

.

 

a

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

h

 

 

 

Рівняння нормальної площини: 2ax 2hz a h 0.

1 2

4.2. Рівняння дотичної площини: 2 x 3 y z 0.

u.

 

2

 

6

 

8

T

 

;

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

5

 

 

 

 

Рівняння нормалі

x 4

y 3

z 4 .

 

 

1

 

 

2

 

1

23

5.2.Точка мінімуму M0(1; 1)

5.2.

max z(x,y) f( 1;1) f ( 1; 1) 2;

min z(x,y) f (0, 0) 0.

 

 

 

 

 

 

(x;y) D

 

(x;y) D

8.1.

a2

.

8.2.

1

( ln 4).

4

4

 

 

 

 

 

 

 

9.1. Розбігається у звичайному розумінні і збігається у розумінні головного значення за Коші.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповіді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139

9.2. Збігається.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.1.

a3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.2.

8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.4.

27 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.5.

 

3 a2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.1.

268.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.2. S 16 15 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.3. I 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.1.

 

J(u,v)

 

 

 

 

1

 

. S

b2

a2

ln

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

 

 

 

2

 

12.2. S ab.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.3. m 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.1.

V

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.2.

V

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.3.

V

 

4 abc.

13.4. m

(2

2) R4.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.1.

a2 b2 (3a2 4 2b2).

14.2.

8a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.1. 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.2.

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.3.

I

R4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.4. I 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.1.

u(x,y) ln

 

x

 

2 ln

 

y

 

x

C. 16.2. u(x,y,z) x2y 3xz2

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

16.3. A 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

16.4.

S

3a2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.1. S 4 a2.

17.2. S

2 a2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.3.

2 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1).

18.1. 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.1.

7 .

19.2. div

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.3. V 72 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.4. 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.5. 3V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.7. 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.6. 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.1. x Cearctg y,C const.

22.2.

x C ctg x y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.3.

y

 

 

 

y2

1 Cx,y x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140

Відповіді

2

2

 

22.4. (y 3)

2(y 3)(x 1) (x 1)

C.

22.5. y sin x . cos2 x

22.7. x sin y y cos x ln xy C.

23.3. y C1x 1e1 C1x C2.

C12

22.6. y

23.1.y

23.4.x y

1

,C const.

1 Cex2

x4 sin x C1x2 C2x C3. 24

2 0.

23.7. x2y 2xy 2y 0.

24.1.1) y C1ex C2e2x ; 2) y ex (C1 cos x C2 sin x); 3) y ex (C1 C2x).

24.2.y C1 C2x C3ex C4e x C5 cos x C6 sin x.

25.1.y C1 sin x C2 cos x sin x ln sin x x cos x.

25.2.1) а) Ax3 Bx2 Cx; б) Acos 2x B sin 2x;

2)а) Ae 3x ; б) xe 3x (Acos x B sin x);

3)Ax2e4x Be 4x .

 

8x

 

x

2

 

x

 

2x

 

x

 

 

2

25.3. 1) y C1 C2e

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

; 2) y C1e

 

C2e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) y (C

1

C x)ex (C

3

 

C x)e x 1 cos x.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.4. y 2e3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3t

4C e

3t

 

 

 

 

 

 

 

2C e

 

 

 

 

 

 

 

26.1.

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

const.

 

 

 

3t

 

 

3t

,C ,C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 t)cost sint,

y (t 2)cost t sint.

x

x ex ;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности