Конспект МАТАН2

Приклад 19.3. Обчислити інтеграл

(e2y x)dydz (x 2y)dzdx (y2 3z)dxdy,

Приклад 19.5. Знайти потік радіуса-вектора через будь-яку замкнену гладку поверхню (нормаль зовнішня).

19.5. Циркуляція векторного поля

Нехай у ДПСК означено векторне поле a (P;Q; R).

Означення 19.4. Циркуляцією векторного поля a вздовж контуру L, орієн-

тованого вектором 0, називають криволінійний інтеграл

CL(a ) (a,dr ).

L

Якщо a — вектор сили (силове поле), то циркуляція виражає роботу цієї сили за замкненим контуром L.

З’ясуймо фізичний зміст циркуляції, розглядаючи, зокрема, векторне поле

щатко навколо осі N, перпендикулярної до площини коліщатка, і яка проходить через його центр.

Обертовий момент поля в кожній точці M характеризує проекція вектора v (M ) на вектор 0(M)

дотичний до кола L :

pr 0 v(M) (v(M), 0 ).

Якщо підсумувати обертові моменти за всім контуром, то прийдемо до поняття циркуляції.

стрілки, якщо дивитись з додатної півосі осі Oz).

Властивості соленоїдальних полів:

1)потік вектора a(M ) через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулеві;

2)(принцип збереження інтенсивності векторної трубки) потоки соленоїда-

льного векторного поля через різні перерізи векторної трубки рівні між собою;

3)силові лінії не можуть ані починатись, ані закінчуватись усередині поля. Вони або замкнені, або починаються і закінчуються на межі поля, або мають нескінченні гілки (у разі необмеженого поля);

4)в однозв’язній області потік вектора a(M ) через будь-яку поверхню ,

що напинається на замкнений контур L, не залежить від вигляду цієї поверхні, а лише від самого контуру L.

Приклад 20.1. Обчислити дивергенцію напруженості поля точкового заряду

не має ані джерел, ані стоків; у точці де розміщено заряд q r 0 і вектор E

не означений).

20.2. Потенціальні векторні поля

Означення 20.2. Векторне поле a Pi Qj Rk називають потенціальним (безвихровим) у деякій області G, якщо

rota(M) 0, M G.

Згідно з означенням ротора, умова рівносильна рівностям

R Q , P R ; Q P .

y z z x x y

Приклади потенціальних полів: магнітне поле, створене рухомим прямолінійним провідником, гравітаційне поле, електричне поле напруженості точкового заряду тощо.

Правдива

Теорема 20.1. Нехай в однозв’язній області обсягу G задано векторне поле a Pi Qj Rk , де P,Q і R — гладкі функції. Поле a є потенціальним в обсягу G тоді й лише тоді, коли існує двічі неперервно диференційовна скалярна функція u u(x, y, z) така, що

a grad u.

Означення 20.3. Функцію u u(x, y, z), що справджує в області G рівність a grad u,

називають потенціальною функцією або потенціалом поля a.

Співвідношення a grad u рівносильно трьом скалярним рівностям

що є диференціальними рівняннями для визначення потенціалу u u(x, y, z). Потенціал поля визначається неоднозначно, з точністю до довільного до-

данку. Справді, якщо u — потенціал поля, то

a grad u grad(u C ),

де C — довільна стала. Тобто u C — також потенціал поля a.

Якщо векторне поле a Pi Qj Rk потенціально в однозв’язній області G, то

Pdx Qdy Rdz u(N ) u(M ),

L

де u — потенціал поля a; M, N — відповідно початкова й кінцева точки кривої L G. Звідси випливає, що якщо L — замкнений контур, циркуляція вектора a(M ) уздовж нього дорівнює нулеві.

Правдиве й обернене твердження: якщо циркуляція вектора a за будьяким замкненим контуром L G дорівнює нулеві, поле a потенціальне в області G.

Приклад 20.2. Перевірити потенціальність поля

a (2xy z)i (x2 2y)j xk

і знайти його потенціал.

20.3. Гармонічне поле

Означення 20.4. Векторне поле a a(M ) називають гармонічним, якщо воно є соленоїдальним і потенціальним одночасно, тобто

div a(M) 0,

M G.

rota(M) 0,

Якщо поле потенціальне, то a gradU. Його потенціал справджує диференціальне рівняння в частинних похідних — рівняння Лапласа

2U 2U 2U U 0.x2 y2 z2

20.4. Оператор Гамілтона

Вже розглянуто три основні операції теорії поля (векторного аналізу): обчислення grad u для скалярного поля u u(x, y, z) і div a та rot a для векторного

поля a a(M). Ці операції можуть бути записані у простішому вигляді з допомогою символічного оператору («набла»):

u grad u.

2. Якщо

a P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z)k ,

де P,Q, R — диференційовні функції, то за формулою для знаходження скаля-

( , a ) div a.

3.Обчислюючи векторний добуток [ ,a ], дістанемо

[ ,a ] rota.

Для сталої функції u c дістанемо

c 0,

а для сталого вектора c матимемо

( , c ) 0,[ , c ] 0.

Зауваження 20.1.

1. Умовились вважати, що оператор діє на всі величини, написаних за ним.

У цьому розумінні, приміром

( , a ) (a, ),

оскільки

2.Застосовуючи оператор до добутку яких-небудь величин, використовують правило диференціювання добутку.

3.Щоб відзначити той факт, що «набла» не діє на величину, що входить у склад складної формули, цю величину відмічають індексом c (const ), який у підсумку випускають.

4.Використовуючи формалізм дій з оператором як з вектором, треба пам’ятати, що не є звичайним вектором — він не має ані довжини, ані напрямку, так що, приміром, вектор , a не буде, взагалі кажучи, перпенди-

кулярним до вектора a.

Приклад 20.3. Нехай u u(x, y, z) — скалярна диференційовна функція,

a a(x, y, z) — векторна диференційовна функція. Довести, що div(ua ) u div a (a, grad u).

Перепишімо ліву частину в символічному вигляді div(ua ) ( , ua ) ( , uca ) ( , uac )

uc( ,a ) ( u,ac ) u div a (a, grad u). 

Приклад 20.4. Довести правдивість формули

div[a,b ] (b, rota ) (a, rotb ).

Маємо

div[a, b ] ( ,[a,b ]) ( ,[a,bc ]) ( ,[ac ,b ])

( ,[a,bc ]) ( ,[b ,ac ]) ([ ,a ],bc ) ([ ,b ],ac )

(rota, b ) (rotb ,a ).

20.5.Диференціальні операції 2-го порядку. Оператор Лапласа

Диференціальні операції 2-го порядку дістаємо в результаті дворазового застосування оператора .

1. Нехай задано скалярне поле u u(x, y, z). У цьому полі оператор

породжує векторне поле

u grad u.