2.9 Стрижнева модель. Контакт двох шорстких поверхонь

Раніше було приведено, як моделюючи реальну поверхню елементами, маючими правильну геометричну форму, можна підійти до розрахунків ФПК і зближення твердих тіл. Сферичний сегмент – одна із можливих моделей реальних нерівностей, котра за цілим рядом міркувань краще за інші описує механіку контактної взаємодії. Однак для визначення контакту двох шорстких поверхонь використання сферичної форми нерівностей поєднано з деякими складностями. Так, наприклад, оскільки центральний контакт двох нерівностей – подія малоймовірна, треба було б проводити розкладання сил на окремих нерівностях, що значно ускладнило б розв’язання задачі.

Ця обставина і призвела до думки моделювати шорсткий шар поверхонь за допомогою стрижнів постійного перерізу.

Модель і реальне тіло вважаються подібними, якщо розподілення матеріалу у них по висоті однакове, тобто, якщо співпадають їх опорні криві. Модель складається зі стрижнів різної довжини, розподілення яких задається за допомогою функції .

Якщо на відстані від бази моделі, в якості якої вибирають найбільший по довжині стрижень, провести площину, паралельно до основи моделі, то вона перетне „n” стрижнів. Відношення числа перетнутих стрижнів до загального числа μ стрижнів моделі є , тобто

Очевидно, якщо розітнути модель двома такими площинами на рівні і , то - рівно числу стрижнів, розташованих між рівнями і .

В подальшому для отримання легко видимого результату будемо вважати, що поперечний розмір стрижня прямує до нуля, а їх кількість при цьому необмежено зростає так, щоб виконувалась умова

При цьому функцію можна прийняти за неперервну, а число торців стрижнів, розміщених в шарі , виразити як

Дискретність контакту поверхонь тертя і невеликий ріст діаметру однієї плями при збільшенні навантаження виправдовує використання стрижневої моделі. Отримані при цьому результати близькі до практичних, при чому розгляд задачі досить спрощується. У зв’язку з цим вона використовується в ряді праць, присвячених оцінці ефектів, що протікають на фрикційному контакті .

Перейдемо до розрахунку ФПК двох тіл, мікрорельєф яких моделюється стрижнями. Будемо вважати, що стрижні однієї моделі ніяк не пов’язані один з одним, тобто всі деформації стрижня локалізуються в межах його геометричних обрисів. В подальшому поперечні розміри цих стрижнів моделей є однаковими, а кожна з них описується своєю функцією . Одразу ж відмітимо, що для встановлення зв’язку між зближеннями і ФПК взагалі неважливо, чи вважати одну з моделей деформуємою, а іншу абсолютно жорсткою або ж обидві деформуємими. Кінцевий результат буде залежати тільки від величини їх зближення, тобто відносного переміщення. І тільки для певності викладення допускається, що модель I – абсолютно жорстка, а II – деформаційна.

На рис. 15 зображено початкове положення поверхонь до прикладання навантажень. Нехай в результаті дії нормального навантаження N відбудеться зближення двох моделей на величину а , котра відраховується в системі координат, пов’язаній з основою моделі ІІ.

Підрахувавши кількість контактів, що виникають між стрижнями моделі І, торці котрих лежать в шарі товщиною dx, на відстані x, від базової поверхні, і стрижнями моделі ІІ, торці яких лежать в шарі dx₂ на відстані . Напрямок відліку від базової поверхні для кожної з моделей вказано на рис. 15 стрілочками x₁ і x₂.

Вочевидь, кількість контактів рівна добутку числа торців в шарі будь-якої моделі (наприклад, І) на вірогідність зустрічі їх з торцями стрижнів іншої моделі (наприклад, ІІ).

Рис.15. Контакт двох шорстких тіл (стрижнева модель).

Будемо вважати, що взаємне положення стрижнів двох моделей носить випадковий характер, а їх торці розташовані рівномірно в кожному перетині.

Тоді шукана кількість контактів буде .

При зближенні на величину „а” шар х, деяку частину свого шляху буде переміщуватись по тій частині площини, де розташовані торці стрижнів моделі ІІ, приховуючи при цьому площу прямокутника АББ₂А₂. В результаті цього загальна кількість контактів, що виникають між шаром х, і всіма шарами моделі ІІ буде

(39)

Якщо ми просумуємо тепер кількість контактів по всіх шарах моделі І, які зможуть контактувати зі стрижнями моделі ІІ при їх зближенні на величину „а”, то отримаємо

Звідси виходить

(40)

Для реальних тіл початкова ділянка кривої опорної поверхні добре описується степеневою функцією виду .

Якщо для таких поверхонь побудувати стрижневу модель, то неважко продемонструвати, що функції будуть мати вигляд

, а , (41)

де і - параметри кривої опорної поверхні одного з контактуючих тіл; - максимальна висота нерівності.

Проінтегруємо рівняння (40).

Виконаємо заміну змінних

; ;

Межі ; ; ; .

(42)

де = і

Значення приведені в таблиці

	1	2	3	4
1
2
3
4

Як видно, формула (42) за своєю структурою нічим не відрізняється структурою від формули . Потрібно замість параметрів і в ній підставити комбінацію параметрів І і ІІ моделі, а саме:

(43)

Отримаємо співвідношення між ФПК та зближенням для двох шорстких тіл. Ця обставина дозволяє привести задачу про контакт двох шорстких поверхонь до випадку для гладкої та шорсткої поверхонь шляхом заміни у приведених раніше формулах величин b і v на ті, що дані нам у формулі (43).