3.5.1 Контакт пружних сфер при одночасній дії нормальних і тангенційних сил

Ця задача для випадку однакових пружних властивостей матеріалів розв’язана Міндліном. До двох сфер, початково навантажених нормальною силою N, прикладають тангенційні зусилля Т і –Т, лінії дії яких паралельні контактній зоні і віддалені на однакову відстань від неї.

Якщо просковзування в області контакту відсутнє, тобто тангенційна складова компонентів переміщень постійна в області контакту, то тангенційні напруження всюди паралельні переміщенню, а закон розподілу має вигляд

тобто характеризується осьовою симетрією. Величина напруження зростає від половини середнього значення в центрі області контакту до нескінченності на її границі. Остання обставина потребує залучення допоміжних припущень, які дозволять відтворити більш реальну картину в зоні контакту. Припускається, що величина дотичних напружень в зоні контакту повинна задовольняти співвідношенню

,

де σ - нормальне напруження.

Таким чином область контакту повинна складатися із двох зон: зони зчеплення і зони просковзування. В зоні просковзування виконується умова

Вона поширюється від периферії від області контакту в середину її із-за симетрії має форму кільця з зовнішнім радіусом "а” і внутрішнім радіусом “с”.

В цій зоні розподіл тангенційного напруження, згідно умові , має вигляд

,

В зоні зчеплення , тобто

,

Маючи на увазі умову зчеплення поверхонь в зоні, де (постійність тангенційних переміщень в колі радіусас), встановлюється закон розподілення напружень в зоні зчеплення

,

і радіус кола зчеплення

На рис.31. показано розподіл дотичних напружень в області контакту при зчепленні по всій площі й у випадку існування зони зчеплення і просковзування.

Під дією прикладених тангенційних сил відбувається взаємне зміщення сфер.

Зміщення точок сфери, достатньо віддалених від області контакту, визначається співвідношенням:

, або ,

де G – модуль зсуву; μ – коефіцієнт Пуассона.

З ростом сили Т збільшується зона проковзування за рахунок переміщення її внутрішньої границі до центру зони контакту. В момент, коли Т = fN, зона просковзування охоплює всю область контакту, а зміщення досягає граничної величини.

,

вище якої починається ковзання.

Рис.31. Розподіл тангенційних напружень на площі контакту при повному зчепленні поверхонь (крива 1) і при наявності зони просковзування (крива 2) (вісь ординат співпадає з лінією дії сили N, прикладеного до сфер А і Б).

3.6 Попереднє зміщення шорстких тіл

3.6.1 Пружний контакт

Прикладення до тіл тангенціальних зусиль призводить до зміщення тіла відносно іншого на величину δ. На таку ж величину зміщуються дві будь–які контактуючі нерівності. Коефіцієнт тертя на кожному з контактів вважається однаковим.

Оскільки вершини нерівностей розміщені на різних рівнях, вони зжаті різними силами, і однакове зміщення на одних контактах викличе повне проковзування, а на інших проковзування буде захвачувати лише деяку зону плями контакту. По цьому признаку всі контакти розіб’ємо на 2 групи.

До І групи відносяться ті контакти, котрі утворилися в результаті стиснення, більш чим Δ_кр. Ці контакти утворились на тих виступах, вершини яких лежать між рівнями x₁ = 0 і x₂ = ε – Δ_кр. Зсув на величину δ викличе лише часткове просковзування на кожному такому контакті. Для них справедливе співвідношення

До ІІ групи віднесемо контакти, які утворилися внаслідок стиснення, меншого чи рівного Δ_кр. На кожному із них зсув на величину δ призведе до того, що вся пляма контакту буде зайнята зоною просковзування, тобто виконується співвідношення

Очевидно, що виконуються наступні умови:

,

де N і T – нормальне і тангенційне навантаження, прикладене до спряження; N₁ і N₂ – нормальні навантаження а T₁ і T₂ – тангенційні зусилля, які сприймаються контактами I і II групами відповідно.

Зусилля T₁ можна визначити, обчисливши інтеграл

Розв’язуючи T₁ відносно T_1i і, беручи до уваги: ,, і,

можна показати, що

Величина граничного зміщення [δ], після якого починається ковзання однієї поверхні відносно іншої, визначається умовою T = fN, і тоді із попередньої формули випливає

Критична деформація Δ_кр, відповідна поточному значенню зміщення визначається із співвідношення

Зіставивши ці співвідношення знайдемо

Беручи до уваги попередні співвідношення, знайдемо

Пропорціональність величини граничного зміщенню [δ] зближенню поверхонь дозволяє перенести весь аналіз залежностей зближення від мікрогеометрії поверхонь, діючих навантажень, механічних властивостей матеріалів на граничне зміщення. Граничне зміщення пропорційне навантаженню в степені , тобто менше 1. Граничне зміщення прямопропорційне коефіцієнту тертя спокою. В показаних розрахунках приймалось, що сила зчеплення розподілена рівномірно по площі контакту. Стосовно до протяжних тіл ця гіпотеза не виправдана.