2.7 Площа контакту та зближення при контакті шорсткої поверхні з гладкою

При визначенні розрахункових співвідношень зробимо наступні попередні припущення:

1. Модель шорсткості поверхні складається з сферичних сегментів радіусами „r”, розташованих на твердому фундаменті. При цьому зближення двох тіл визначається лише деформацією гладкого тіла і шорсткого шару.

2. Вважають, що найближчі контакти не впливають один на одного. Таким чином припускається існування однозначного зв’язку між навантаженням і деформацією на плямі контакту.

Перше припущення обумовлене наступними міркуваннями. Формування ФПК тісно пов’язане з неоднорідністю деформацій. Якщо до поверхні тіла прикладена система зосереджених сил з шагом S, та згідно принципу Сен-Венанана на відстані від поверхні, спів мірній з величиною S, розподілення навантажень таке саме, як коли б на поверхні діяло рівномірно розподілене навантаження. Звідси маємо, розміри шару з неоднорідним розподілом деформацій такого самого порядку, що і S. Які розміри цього шару при контакті двох шорстких тіл

Можна вважати, що на кожній плямі контакту діє зосереджена сила, тоді розміри цього шару можуть бути оцінені величиною порядку 100мкм, що більш ніж на порядок перевищує величину висоти шорсткості.

Однак напруження в ньому значно нижчі тих, котрі виникають на самих нерівностях, складаючи приблизно частину від них. Таким чином, переміщення за рахунок деформацій нижче розташованого шару матеріалу менше контактних переміщень в 10 – 10² разів, чим можна знехтувати в даному розрахунку.

IIприпущення не розповсюджується на всі види контакту. Для плоских спряжень, які характеризуються малою густиною плям контакту, це припущення не вносить істотних похибок у розрахунки

Роздивимось контакт гладкого тіла S з шорстким тілом R.

В ненавантаженому стані тіло R дотикається своїм максимальним виступом поверхні ОО тіла S (рис.9 а) зображено перетин контактуючих тіл площиною, перпендикулярною до гладкої поверхні тіла S ).

Після прикладання навантаження N тіла зближуються на величину Н₁-Н₂ (рис.9 б). В якості бази початку відліку величини зближення прийнята границя жорсткої опори тіла R та деяка точка поверхні тіла S, котра достатньо далеко знаходиться від області контакту.

Рис.9 Основна розрахункова схема – контакт ідеально гладкої поверхні з шорсткою.

а) початкове положення

б) після прикладення стискаючої сили

Штриховою лінією на (рис.9 б), зображені сферичні сегменти в не навантаженому стані. Всі нерівності, вершини котрих будуть лежати вище лінії ОО, вступлять в контакт, а задане зближення поверхонь буде досягнуте за умови, що кожна і-та нерівність, з числа тих що вступили в контакт, зблизяться з тілом S на величину h_i. Тут під величиною зближення розуміють відносне зміщення і-тої нерівності і тіла S , відраховане з моменту їх вступу в контакт. Тому зближення двох тіл чисельно рівне зближенню максимальної нерівності з тілом S.

На відстані х від вершини максимальної нерівності виділимо шар товщиною dх .Всі не рівності, вершини яких лежать в цьому шарі, зблизяться з поверхнею тіла S на однакову величину, рівну ε-х, де ε – відносне зближення тіл, рівне , де - безрозмірна координата.

Приймаючи неперервним, підрахуємо число нерівностей вершини яких лежать в шарі між рівнями х та x+dx

,

Допускаючи, що для даних умов взаємодії існує однозначний зв’язок між навантаженням, нерівністю, що сприймається, та величиною її зближення, тобто, знайдемо навантаження на всі нерівності, координати вершин яких розташовані в шарі dx:

Виконавши додавання по всім шарам, де лежать вершини контактуючих сфер, і записавши умови рівноваги, дійдемо до рівняння, що пов’язує величину зближення шорсткого шару з гладким з прикладеним навантаженням:

(6)

Функцію можна виразити через середній нормальний тиск на контакті та проекцією площі одиничного контакту на площину, паралельну гладкій поверхні, де - площа перетину виступу на відстані від вершини. Коефіцієнт α залежить від різновиду контакту (пружний чи пластичний).

Для сферичної моделі з геометричних міркувань площа може бути розрахована за формулою

(7)

При виводі цього співвідношення нехтуємо квадратом занурення сфери у порівнянні з добутком, оскільки завжди в розрахунках

З врахуванням вказаного формула (6) прийме вигляд

(8)

Рівняння (6), (8) записані у найбільш загальному вигляді. Коефіцієнт α і функції і, які входять в ці рівняння залежать від виду деформацій, що виникають при контакті тіл, а тому наступний розгляд поставленої задачі не можливий без такої конкретизації. Розглянемо два види контакту – пружний і пластичний. Найбільш вагоме значення для практики має випадок пружного контакту, який, як правило, реалізується у припрацьованих вузлах тертя.

Пружний контакт.

З рішення задачі Герца про контакт сфери з напівпростором випливає, що функція має вигляд

, (9)

де - узагальнена пружна константа Кірхгофа; Е_і, μ_і – модуль пружності та коефіцієнт Пуасона контактуючих тіл.

Враховуючи навіть, що

(10),

і підставляючи у формулу (6) вираз (9) і (10). Знайдемо

, (11)

де

Інтеграл в цьому виразі уявляє собою бета-функцію , яка може бути виражена через гама-функцію

.

Приймаючи до уваги співвідношення (5), після деяких перетворень отримаємо

;

(12)

де - числовий коефіцієнт, що залежить від ν;

- контурний тиск.

При, а

Якщо модуль пружності одного з тіл значно більший другого, то перше з них можна рахувати абсолютно жорстким, і зближення в цьому випадку буде визначатися лише пружними властивостями другого тіла.

Величини, що входять до формули (12), можна класифікувати:

зовнішні умови ; в якості таких тут фігурує контурний тиск р_с .Наближення пропорційне контурному тиску в степені ,тобто менше 1;

пружні властивості матеріалу ;представлені величиною θ (узагальнена пружна константа Кірхгофа). Оскільки коефіцієнт Пуассона змінюється несуттєво для широкого кола матеріалів, то жорсткість контакту в основному залежить від модуля пружності. Зближення зворотно пропорційне модулю пружності в степені ;

мікрогеометрія поверхні; вплив її проявляється в двох напрямках. По-перше, параметр ν приймає участь в формуванні степені при р_с і θ. По-друге, якщо перейти від відносних величин зближення до абсолютних, то всі показники мікрогеометрії поверхні можна перетворити в комплекс

Загально відомо, що чим вищий клас шорсткості спряжених поверхонь, тобто, чим менше R_max , тим більш жорстким є стик. В цьому відношенні приведений комплекс тільки підтверджує широко відоме правило. Принциповим є те, що поряд з класом шорсткості велике значення має і технологія обробки поверхонь, від якої залежать інші характеристики, що входять в цю формулу .

Наприклад, радіус закруглення вершин нерівностей для одного й того ж класу шорсткості в залежності від виду обробки може змінюватися в межах двох порядків, що призводить до зміни величини занурення приблизно в 10 разів.

Для розрахунку ФПК використаємо наступні міркування. Радіус кругової площі контакту по Герцу

(13)

Тоді площа одного контакту, що утворюється нерівністю, вершина якої лежить на рівні x

Всі ці нерівності утворюють площу

Підставивши в цей вираз замість і їх значення з виразу (9) і (10) та виконавши інтегрування, отримаємо

; (14)

Множник у формулі (14) є α. З урахуванням виразу (12) формула (14) прийме вигляд

(15)

З формули (15) видно, що ФПК пропорційне контурному тиску і зворотно пропорційне модулю пружності в степені дуже близькій до 1. Так при ν=2 показник степені буде , а при ν=3 він буде .

Всі характеристики, що відносяться до мікро геометрії поверхні поєднуються комплексом . Встановлено, що для найбільш розповсюджених видів обробки його величина змінюється на 5 порядків. Звідси випливає, що розміри ФПК повинні миттєво реагувати на зміни мікро геометрії поверхні. Припрацюванні поверхні характеризується рівноважною шорсткістю, що залежить від властивостей матеріалів пар тертя і умов припрацювання. Досить цікавим є те, що параметри кривої опорної поверхні b і ν при цьому приймають постійні значення і . З урахуванням цього для найбільш розповсюдженого випадку (контакт припрацьованих поверхонь) формули (12) і (15), приймають вид:

;

Формула (15) добре описує процес формування площі контакту при .

Орієнтовно можна сказати, що подібні величини зближення мають місце при . Однак можливо вказати такі спряження, при яких . В цьому випадку рекомендується використовувати формулу Бартенєва-Лаврентєва , котра при за своєю структурою аналогічна формулі (15) ( - коефіцієнт, що залежить від якості поверхні).

Пластичний контакт.

Цей випадок має незрівнянно менше практичне значення , ніж пружний контакт. Пов’язано це з тим, що навіть якщо при першому навантаженні спостерігаються пластичні деформації, то при повторному навантаженні з силою, що не перевищує попереднього рівня, пластичний контакт вироджується в пружній. Тому пластичний контакт частіше за все реалізується в нерухомих контактах, а результати, що представлені нижче , можуть бути використані для розрахунку міцності нерухомих посадок і т. п.

Оскільки середнє нормальне напруження на контакті у випадку втиснення сфери у пружнє середовище значно слабше, ніж при пружньому контакті, залежить від величини занурення, їх можна можна прийняти приблизно постійними:

(16)

А. Ю. Ішлінський встановив, що при зануренні сфери . В загальному випадку коефіцієнт с залежить від форми штампу. Приймаючи до уваги (16), знайдемо

(17)

Підставляючи вираз (17) в формулу (3), отримаємо

(18)

Відмітимо, що на відміну від пружного контакту ФПК при пластичних деформаціях взагалі не залежить від мікро геометрії поверхні, а зближення залежить лише від параметрів апроксимації b і ν, тобто визначається розподіленням матеріалу в шорсткому шарі.

Приведені тут залежності були ретельно експериментально перевірені. В більшості випадків розрахунки добре співпадають з результатами експериментів. Залежність ФПК від нормального навантаження, отримана з використанням методу Мехау на спеціально розробленому приладі, зображена на рис. 10. Точками позначені емпіричні дані, а суцільними лініями – результати розрахунків.

Рис. 10. Залежність фактичної площі контакту від навантаження (контакт зразка із сталі 10, з оптично гладкою призмою); контурна площа контакту 19,7 мм²):

○ – перше навантаження; ● – повторне навантаження.