Фин.мен. Ильин

Таблица 4.4

Анализ риска и дохода в условиях неопределенности (взаимосвязь между ковариацией и корреляцией). Определение NPV *

*Чистая приведенная стоимость (net рresent value) — приведенная стоимость чистых денежных потоков инвестиционного проекта минус первоначальные инвестиции, необходимые для его реализации.

какими-либо одними инвестициями. Поэтому следует рассматривать случай сравнения одних инвестиций с другими. В особенности следует принять во внимание ковариацию — числовую характеристику совместного распределения двух случайных величин с конечными дисперсиями. Напомним, что ковариация определяется как

Cov(Rj ,Rk ) = Cor(Rj ,Rk )σjσk ,

т.е. путем умножения стандартных девиаций доходов от каждого проекта на уровень корреляции между доходами от двух инвестиций.

Корреляция — статистическая мера степени, в которой связаны изменения значений двух переменных. Корреляция между доходами — это другой базисный элемент статистики. Напомним, что коэффициент корреляции может колебаться от +1 (совершенная положительная степень корреляции) до –1(совершенная отрицательная степень корреляции). Нулевая корреляция показывает отсутствие взаимосвязи между двумя инвестициями, следовательно, два инвестиционных проекта с нулевой корреляцией могут быть рассмотрены как независимые инвестиции.

Рассмотрим связь между ковариацией и корреляцией на примере корреляции, равной –1. Используем для расчета корреляции связь между ковариацией и корреляцией:

Cor(Rsj ,Rsk ) = -Cov(Rsj ,Rsk )

σjσk

и результаты вычислений запишем в табл. 4.5.

Данные в табл. 4.5 показывают связь между доходом и риском, величину ковариации и коэффициент корреляции.

Анализ риска и доходности не может быть ограничен только одной какой-либо инвестицией, поэтому продемонстрируем концепцию взаимосвязи между ковариацией и корреляцией на примере портфеля ценных бумаг, состоящего из двух видов активов.

Будем использовать следующие обозначения: E(Rр ) — ожидаемая доходность портфеля;

σр — стандартное отклонение доходов портфеля или риск портфеля;

wj — доля j-й ценной бумаги в портфеле.

Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений (дис-

персий) доходностей активов. Дело в том, что различные активы могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени. Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов используют такие показатели, как ковариация и коэффициент корреляции.

Показатель ковариации определяется по формуле

n

∑(Rsj − Rj )(Rsk − Rk )

где Cov(Rj,Rk ) — ковариация доходности активов Rj и Rk; Rj — средняя доходность актива Rj за n периодов;

Rk — средняя доходность актива Rk за n периодов; Rs j — доходность актива Rj в периоде s;

Rsk — доходность актива Rk в периоде s;

n — число периодов, в которых регистрировалась доходность активов Rj и Rk .

E(Rp) = 0,5(10) +0,5(12) =11%,

1

σp = (0,5)2 ×(6)2 +(0,5)2 ×(10)2 +2(0,5) ×(0,5) ×(-1) ×(6) ×(10) 2 =

1

= (0,25) ×(36) +(0,25) ×(100) -(0,5) ×(60) = 2%,2

σp = 2%.

Ожидаемый доход по портфелю является средним взвешенным ожидаемых доходов от двух индивидуальных инвестиций с весами, равными долям, с которыми соответствующий актив входит в портфель. Однако стандартное отклонение (девиация1), или риск портфеля, составляет только 2%, что значительно ниже 6% по инвестициям j и 10% по инвестициям k.

В примере 4.5 показана реальная возможность диверсификации портфеля. Ожидаемая доходность — просто средневзвешенная от пропорции инвестиций в портфеле. Однако, как видно из примера, стандартное отклонение (девиация), или риск портфеля, значительно снижается в связи с диверсификацией портфеля. Это снижение происходит потому, что существует идеально негативная (отрицательная) корреляция между доходами от двух инвестиций. Таким образом, при совершенной корреляции, равной –1, риск, измеряемый стандартным отклонением портфеля, может быть практически устранен.

Умеренные альтернативные возможности могут быть достигнуты тогда, когда корреляция между двумя инвестициями будет равна нулю. Это означает, что эти инвестиции независимые и экономическое влияние двух инвестиций на совокупный риск происходит независимо и невзаимосвязано.

Пример 4.6

В этом примере удельные веса каждого актива одинаковы и составляют 50% (wj = 0,5) при корреляции между двумя активами, равной нулю:

Cor(Rj,Rk) = 0.

1Отклонение параметров от нормы. Первые методики расчета и компенсации девиации были предложены Питером Барлоу (1776–1862) — английским специалистом по фундаментальной и прикладной математике.

Ожидаемый доход портфеля равен 11%, так как пропорции инвестиций не изменились. Но поскольку корреляция между доходами от двух инвестиций теперь уже равна нулю, стандартное отклонение портфеля выросло до 5,8%. Следует отметить, что риск портфеля в целом (совокупный) остается пока еще ниже, чем риск от каждой индивидуальной инвестиции.

Попробуем изменить соотношения инвестиций в портфеле при различных значениях корреляции.

Пример 4.7

Предположим, что корреляция между двумя активами отрицательна: Cor(Rj,Rk) = –1. Воспользуемся уравнением (3) и определим соотношение ценных бумаг в портфеле:

E(Rp) = wjE(Rj ) +(1-wj )E(Rk ) =

=0,625×10+0,375×12 = 6,25+4,5 =10,75%,

σp =[(0,625)2 ×(6)2 +(0,375)2 ×(10)2 +2(0,625) ×(0,375) ×(-1) ×

Пример 4.8

Предположим, что корреляция между двумя активами отсутствует: Cor(Rj,Rk) = 0. Воспользовавшись уравнением (3), определим соотношение ценных бумаг в портфеле:

E(Rp) = 0,735×10+0,265×12 = 7,35+3,18 =10,53%,

σp =[(0,735)2 ×(6)2 +(0,265)2 ×(10)2 +2(0,735) ×(1-0,735) ×

1 1

×(0) ×(6) ×(10)] =[0,540]×36+0,070+0]2 =[19,45+7,02]2 = 5,14%.

Впримере 4.5 наилучшей пропорцией при корреляции, равной –1,

является wj = 0,625. В этом случае стандартное отклонение доходов портфеля равно нулю. В примере 4.6 наилучшей пропорцией при кор-

реляции, равной нулю, является wj = 0,735.

Объединим результаты вычислений в табл. 4.6 и проанализируем их. Достаточно четко виден эффект изменения доходов портфеля (Ep)

ириска портфеля (σp) при условии изменения пропорции двух инвестиций в портфеле. Когда корреляция между доходами от двух типов ценных бумаг носит отрицательный характер, увеличение пропорции бумаги j до 0,625 даст возможность снизить стандартную девиацию (риск) портфеля до нуля. Однако при этом и доход портфеля снизится с 11 до 10,75%. Похожее происходит, когда корреляция между доходами от двух типов ценных бумаг равна нулю, пропорция ценных бумаг j повышается до 0,735, риск повышается до 5,14%, а доходы снижаются до 10,53%.

Эти примеры показывают, что означает формирование наилучшего для отдельного инвестора портфеля. Наилучшим считается тот портфель, в котором минимизируется его среднее квадратичное отклонение (standard deviation). Однако при этом включается механизм компромисса. Снижение среднеквадратичного отклонения обязательно дает потери в доходе.

Таблица 4.6

однозначного ответа для всех инвесторов. Каждая точка на границе эффективности будет эффективной. Комбинация риска и дохода на этой линии зависит от предпочтения менеджера, принимающего решение (decision-maker). При анализе наилучшего решения о комбинации риска и дохода, кроме денежной оценки, следует учесть фактор полезности (utility) результатов какого-либо решения. Принятие решения также в какой-то степени зависит и от психологической готовности, а точнее, от интуиции менеджера принять или не принять на себя конкретный риск.

4.5. Риск и теория полезности

Так как полезность1 — психологическая категория, носящая абст­ рактный характер, ее измерение включает решение ряда проблем. Выбор инструмента и единицы измерения носит произвольный характер. Рассмотрим концепцию полезности на следующем примере.

Пример 4.9

Выберем любые две величины дохода, например 500 млн и 1000 млн руб. Определим любые произвольные значения полезности этих доходов, допустим, 0 пользы и 1 пользы соответственно. Выберем любой промежуточный доход, например 600 млн руб.

Предположим, что потребителю нужно сделать выбор между:

1)  шансом а получить 500 млн руб. и (1 — а) получить 1000 млн руб.; 2)  гарантированно получить 600 млн руб.

1Названа в честь Дж. Нейманна и О. Моргенштерна. Подход включает следующие аксиомы.

1.Все альтернативы являются предметом предпочтений или безразличия (аксиома полноты).

2.Имеет место транзитивность предпочтений.

3.Если вероятность X равна p=p(X), а вероятность D равна p(D)=(1– p) и если X предпочитается Y, когда оба события являются достоверными, то лотерея pX + (1 — p)D предпочитается pY + (l — p)D.

4.Если X предпочитается Y, а Y предпочитается Z, то существует некоторая вероятность p*, при которой потребитель рассматривает ситуацию p*X как имеющую равную полезность с (1 — p*)Z и с достоверным значением Y (аксиома непрерывности). Проще говоря, потребитель готов «обменять» риск на потерю дохода.

Теория утверждает, что потребители ведут себя таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность, т.е. сумму отдельных полезностей, взвешенных по их вероятностям (Словарь современной экономической теории Макмиллана. М., 1997).

Изменяя пропорцию в поисках соотношения для случая, когда потребитель безразличен к росту или уменьшению дохода, предположим, что уровень безразличия находится в точке, где а составляет 40% (шанс получить 500 млн руб.) и (1 — а) составляет 60% ( шанс получить 1000 млн руб.). Если гипотеза верна, то полезность получения 600 млн руб. равна

U(600) = 52U(500) + 35U(1000) = 0,6.

Сточки зрения полезности таким же образом можно оценить любой доход между 500 млн и 1000 млн руб.

После оценки всех степеней полезности связь между полезностью и доходом будет выглядеть следующим образом (табл. 4.7).

Эту зависимость проиллюстрируем графиком (рис. 4.5).

График кривой, построенной для индивидуального инвестора, показывает рост полезности дохода при снижающихся темпах ее роста при одновременном росте дохода инвестора. Прирост полезности, или предельная полезность1 дохода, снижается, в то время как уровень дохода растет. Такая кривая называется кривой безразличия (indifference curve). Инвестору безразлично, какую точку на этой кривой выбрать.

Другие возможности имеют место в случае, когда предельная полезность денег есть возрастающая функция дохода или когда предель-

1Предельная полезность (маржинальная полезность, marginal utility — MU) — дополнительная полезность, которую потребитель получает от потребления дополнительной единицы товара или услуги. В условиях чистой конкуренции предельная полезность определяет рыночную цену товара или услуг. Вдвойне дает тот, кто дает быстро, — образное выражение правила предельной полезности: одинаковое благо в данный момент важнее, чем в будущем.