Фин.мен. Ильин
.pdf2.2. Понятие и оценка стоимости денег при аннуитете... |
61 |
|
|
Расчет приведенной стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), производится по следующей формуле:
PPr e = |
A × |
1 |
1 |
- |
1 |
|
×(1+i) = PPost ×(1+i) =[A ×T (i, n)]×(1+i). |
|||
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
i |
|
|
(1+i)n |
n |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.15
Необходимо определить приведенную (текущую) стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), т.е. в начале каждого периода при следующих исходных данных:
а) период платежей по аннуитету предусмотрен в течение трех лет;
б) интервал платежей — один год (при внесении платежей в начале каждого года);
в) сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет
1 000 000 руб.;
г) ставка процента (дисконтная ставка) — 10% в год.
Решение
Приведенная стоимость аннуитета (пренумерандо) составит
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
P3Pre = 1000 000 |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ 0,1) = |
|||
0,1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1+ 0,1) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1000 000 |
10 |
1− |
|
|
|
11, |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1,331 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
10 |
(1− 0,7513) |
|
|
11, |
= |
|
|
|
|||||||||
1000 000 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1000 000 (10 |
0,2487) 11, = [1000 000 2,2487] 11, = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2 487 000 1,1 = 2 735700. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Расчет будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), т.е. когда каждый платеж происходит в конце, производится по следующей формуле:
SnPost = A(1+i)n−1 + A(1+i)n−2 +... + A(1+i)0 = A[(1+i)n−1 +
n−2 |
0 |
n−1 |
t |
|
(1+i)n -1 |
|
= A ×T2(i, n), |
+(1+i) |
+... +(1+i) |
] = A ×∑(1+i) |
= A |
i |
|
||
|
|
t=0 |
|
|
|
|
|
62 |
Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег |
|
|
|
|
где Т2(i, n) — будущая стоимость аннуитета одной денежной единицы за n лет при ставке процента i (см. приложение 2);
SnPost — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей за n лет;
А — сумма аннуитета (член аннуитета), характеризующая размер отдельного платежа;
i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
n — количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж в общем обусловленном периоде времени.
Пример 2.16
Необходимо определить сумму денег, которая будет на сберегательном счете по прошествии шести лет. Вложения в депозит в размере 10 000 руб. будут осуществляться в конце каждого года (постнумерандо) все шесть лет при ежегодной ставке дохода 8%.
Решение
В приложении 2 находим мультипликационный множитель будущей стоимости аннуитета Т2(8%, 6) = 7,336.
Будущая стоимость аннуитета (постнумерандо) составляет:
T2(i, n) = (1+ii)n -1,
T2(8%, 6) = (1+0,08)6 -1 = 0,586874322944 = 7,3359290368, 0,08 0,08
S6Post = 10 000 × Т2(8%, 6) = 10 000 × (7,3359290368) = 73 359,290368 руб.
Пример 2.17
Каждые полгода производят вложения в сумме 30 000 руб. в конце каждого периода (постнумерандо) в инвестиционный фонд в течение 10 лет. Ежегодная процентная ставка составляет 8%. Требуется найти будущую стоимость накоплений на условиях постнумерандо.
Решение
Сумма, накопленная к концу десятого года, вычисляется следующим образом:
|
SPost = A ×T (i, n), |
|
||
|
n |
|
2 |
|
где А — 30 000 руб.; i = (8/2)% = 4%; n = 10 × 2 = 20; |
|
|||
T |
(i, n) = (1+i)n -1; |
T |
(4%, 20) = (1+0,04)20 -1 |
= |
2 |
i |
2 |
0,04 |
|
|
|
|
||
= 1,1911231430334193505480762776603 ≈ 29,778078575. 0,04
2.2. Понятие и оценка стоимости денег при аннуитете... |
63 |
|
|
Таким образом, будущая стоимость накоплений на условиях постнумерандо в этом случае составит
S6Post = 30 000 Т2(4%, 20) = 30 000 29,778078575 = 893 342,357 руб.
Расчет будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), т.е. когда каждый платеж происходит в начале периода, производится по следующей формуле:
|
|
(1+ i)n −1 |
(1+ i |
||
SnPre = A |
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = A T2(i, n) (1+ i) = SnPost (1+ i),
где SnPre — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей за n лет.
Пример 2.18
Необходимо определить сумму денег на сберегательном счете по прошествии шести лет при ежегодных вложениях в депозит в размере 10 000 руб. в конце каждого года (пренумерандо). Ежегодная ставка дохода составляет 8%.
Решение
В приложении 2 находим мультипликационный множитель будущей стоимости аннуитета Т2(8%, 6) = 7,336, или рассчитываем
T |
(i, n) = (1+i)n -1; |
T |
(8%, 6) = (1+0,08)6 -1 = |
2 |
i |
2 |
0,08 |
|
|
= 0,586874322944 = 7,3359290368. 0,08
Будущая стоимость накоплений на условиях пренумерандо в этом случае будет
n |
= 10 000 × Т2(8%; 6) × (1 + 0,08) = 10 000 × 7,336 × 1,08 = |
|
= 73 360 × 1,08 = 79 228,8 руб. |
2.3. Использование будущей и приведенной стоимости в финансовых и инвестиционных расчетах
Методы количественного оценивания будущей и приведенной стоимости денег имеют большое количество приложений в финансовых и инвестиционных решениях и являются необходимыми и простейшими элементами математических моделей, широко использу-
64 |
Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег |
|
|
|
|
емых в финансовом менеджменте для принятия решений. Приведем шесть наиболее распространенных методов оценки будущей и приведенной стоимости.
1. Для определения ежегодной суммы депозита, необходимого для накопления нужной суммы в будущем, используется формула будущей стоимости аннуитета
Sn = A × T2(i, n).
Исходя из этой формулы сумма ежегодного депозита будет равна
A = Sn .
T2(i, n)
Пример 2.19
Необходимо определить сумму депозита, вносимого в конце каждого года для того, чтобы накопить 5 000 000 руб. к концу пятого года накоплений. Процентная ставка (ставка дохода) — 10%.
Решение
В прил. 2 находим мультипликационный множитель будущей стоимости аннуитета Т2(10%, 5) = 6,105 или рассчитываем:
T (i, n) = (1+ i)n −1; |
T (10%, 5) = (1+ 0,1)5 −1 |
= |
0,61051 |
= 6,1051. |
|||||
|
|||||||||
2 |
i |
|
2 |
0,1 |
0,1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
Sn |
= |
|
5 000 000 |
= 818 987,40397 руб. |
|||
|
T (i, n) |
6,1051 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в течение пяти лет в конце каждого периода необходимо вкладывать в депозит 818 987,40397 руб. при ставке доходности
10%.
Пример 2.20
Для гарантии инвесторам большей безопасности контракт на выпуск облигаций содержит условие о внесении платежей в фонд погашения. Необходимо рассчитать ежегодный вклад (вносится в конце каждого года) для накопления 1 000 000 руб. при выпуске облигаций на 30-летний период. Ставка доходности — 10%.
Решение
В приложении 2 находим мультипликационный множитель будущей стоимости аннуитета Т2(10%, 30) = 164,494 или рассчитаем его:
2.2. Понятие и оценка стоимости денег при аннуитете... |
65 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
(i, n) = |
(1+i)n -1 |
; |
|
T |
(10%, 30) = |
(1+0,1)30 -1 |
|
≈ |
||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
i |
2 |
0,1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
≈ |
16,44940226888640 |
=164,4940226888640. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
1000 000 |
= |
6079,24825 руб. |
|
|||||
|
|
|
164,494 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В течение 30 лет в конце каждого периода необходимо вкладывать в фонд погашения 6079,2425 руб. для того, чтобы накопить к концу 30-го года 1 000 000 руб.
2. Для определения сумм периодических платежей. Амортизируемая ссуда представляет собой ссуду, возвращаемую равными периодическими платежами. Примером могут служить кредиты на приобретение автомобиля, ипотечные ссуды, а также большое количество коммерческих кредитов. Периодические платежи А определяются по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рn = А × Т4(i, n), |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
где |
T4 |
(i, n) = |
|
|
|
× 1 |
- |
|
|
|
. |
|
i |
(1+i) |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для того чтобы определить сумму периодического платежа, преобразуем выражение и получаем
A = Pn .
T4(i, n)
Пример 2.21
Необходимо рассчитать ежегодную сумму платежа по кредиту на сумму 2 000 000 руб. на 5 лет при ставке 14%.
Решение
В приложении 4 находим дисконтирующий множительТ4(14%, 5) =3,433 или рассчитаем
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
T4(i, n) = |
|
|
|
× 1 |
- |
|
|
|
= |
|
× 1- |
|
|
|
|
= 7,14285714 |
× |
|
|
i |
(1+i) |
n |
0,14 |
1,14 |
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
× (1- |
|
|
|
|
1 |
|
|
) ≈ 7,14285714 ×(1-0,51936866435) = |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
1,9254145824 |
|
|||||||||||||||||
= 7,14285714×0,48063133565 = 34,330809. |
|
|
||||||||||||||||
66 |
Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
Ежегодная сумма платежа в конце каждого года составит |
||||
|
|
|
P5 |
2 000 000 |
|
|
|
|
A = |
|
= |
|
= 582 580,83 руб. |
|
|
T (14%, 5) |
3,433 |
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
Пример 2.22
Необходимо определить ежемесячный платеж в погашение основной суммы и процента за кредит в размере 500 000 руб. на 40 месяцев под 12% годовых.
Решение
Исходя из того что годовая ставка процента за кредит составляет 12%, получаем, что месячная ставка процента за кредит составит 1%.
Вприл. 4 находим дисконтирующий множитель Т4(1%, 40 месяцев) =
=32,835 или рассчитываем:
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
) ≈ |
||||||||
T4(i, n) = |
|
|
|
× 1 |
- |
|
|
|
|
= |
|
|
|
× 1- |
|
|
≈100×(1 |
- |
|
|
|||
|
i |
(1 |
+i) |
n |
0,01 |
5 |
1,4888637 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,01 |
|
|
|
|||||||||||||
≈100×(1-0,6716531) =100×0,3283468 = 32,83468. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ежемесячная сумма погашения долга и процента составит |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A = |
|
P5 |
|
= |
500 000 |
|
|
=15 227,65 руб. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T (i, n) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
32,835 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.23
Малое предприятие взяло кредит 200 000 руб., который необходимо погасить в три равных очередных взноса в конце каждого периода в течение трех лет. Ставка процента за кредит составляет 12%. Требуется определить сумму каждого платежа.
Решение
Вприложении 4 находим дисконтирующий множитель Т4(12%, 3) =
=2,402 или рассчитаем
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
T4(i, n) = |
|
|
× |
1- |
|
|
= |
|
× 1- |
|
|
|
= |
||
|
i |
(1+i) |
n |
0,12 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1,12 |
|
|
|||||
= 8,333 |
×(1- |
|
|
1 |
) ≈ 8,333×(1-0,71178024) = |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
1,404928 |
|||||||||||||||
= 8,333 |
×0,28821975 ≈ 2,4017351949. |
|
|
||||||||||||
Сумма каждого платежа составит
А = 200 000 / 2,402 = 83 263,95 руб.
2.3. Использование будущей и приведенной стоимости в финансовых... |
67 |
|
|
3. Для распределения каждого платежа в погашение ссуды отдельно
на сумму процентной ставки и сумму погашения основного долга часто используют амортизационный график1. Амортизационный график
(amortization schedule) — это таблица, показывающая суммы основного долга и процентов, подлежащих выплате через регулярные промежутки времени, а также остаточную сумму долга после очередного платежа.
Следует иметь в виду, что сумма процента имеет наибольшую величину в первый период, поскольку основная сумма долга максимальная и в последующие периоды уменьшается, тогда как сумма погашения основного долга, наоборот, имеет наименьшую величину в первый период и растет в последующие. Проверим это на следующем примере.
Пример 2.24
Построим амортизационный график по исходным данным при-
мера 2.21 (табл. 2.3).
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
|
|
|
Амортизационный график |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
Сумма платежа |
Сумма |
|
Год |
Сумма процента |
остаточного |
|
||
платежа |
основного долга |
|
|||
|
|
долга |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0-й |
|
|
|
200 000 |
|
1-й |
83 263,95 |
24 000* |
59 263,95** |
140 736,05 |
|
|
|
|
(83 263,95 - |
20 000 - |
|
|
|
|
- 24 000) |
- 83 263,95 + |
|
|
|
|
|
+ 24 000) |
|
2-й |
83 263,95 |
16 888,33 |
66 375,62 |
74 360,43 |
|
|
|
140 736,05 × 0,12 |
(83 263,95 – |
140 736,05 |
|
|
|
|
– 16 888,33) |
-83 263,95 + |
|
|
|
|
|
+ 16 888,33) |
|
1Амортизация (аmortization — англ.) — погашение долга в рассрочку в течение регулярного периода времени. Амортизация в широком смысле — бухгалтерская и налоговая концепции, используемые для оценки потери величины стоимости активов с течением времени; в узком смысле — списание балансовой стоимости основных фондов. Амортизационные отчисления — сумма, начисляемая на счет прибылей и убытков и представляющая износ или уменьшение стоимости актива. Обычно сумма амортизационных отчислений определяется процентом от стоимости актива, зафиксированной в бухгалтерских книгах.
68 |
Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 2.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
Сумма платежа |
|
Сумма |
|
Год |
Сумма процента |
|
остаточного |
|
||
платежа |
основного долга |
|
|
|||
|
|
|
долга |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-й |
83 263,95 |
8923,25 |
74 340,7*** |
|
|
|
|
|
4360,43 × 0,12) |
(83 263,95 - 8923,25) |
|
|
|
*Процент вычисляется умножением оставшейся суммы долга на начало
года на процентную ставку. Поэтому сумма процента в первый год соста-
вит 200 000 × 0,12 = 24 000, во второй — 140 736,05 × 0,12 = 16 888,326 ≈
≈16 888,33, в третий– 74 360, 43 × 0,12 = 8923,25.
**Сумма платежа основного долга равна сумме платежа минус сумма про-
цента: 83 263,95 - 24 000 = 59 263,95.
***Сумма последнего платежа неточна из-за аккумулированной величины округления.
4. В различных типах инвестиций используют различные периоды для
начисления сложных процентов (компаудинга). Например, в большин-
стве случаев по облигациям выплачивают процент (доход) раз в полгода, тогда как банки предпочитают платить процент (доход) поквартально. Если финансовый менеджер хочет сравнить инвестиции при разных периодах начисления процента (дохода), то ему необходимо привести их к общей базе. Для этих целей используется процентная
ставка в годовом исчислении (annual percentage rates, APR). Ее также называют действительной годовой ставкой1.
Действительная годовая ставка вычисляется по следующей формуле:
APR = 1+ i m −1,0,
m
где i — заявленная, номинальная (процентная ставка, не скорректированная в соответствии с инфляцией), котировочная ставка; m — количество периодов начисления дохода в году.
Пример 2.25
Если номинальная ставка 6%, начисляется поквартально, то действительная годовая ставка APR составит
APR = |
1+ |
i m |
-1,0 = |
1+ |
0,06 |
4 |
-1,0 = (1,015)4 -1,0 ≈ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
||
≈1,0614-1,0 = 0,0614 = 6,14%.
1Выраженная в процентах стоимость кредита в годовом исчислении.
2.3. Использование будущей и приведенной стоимости в финансовых... |
69 |
|
|
Это означает, что если один банк предлагает 6% годовых с начислением поквартально, в то время как другой предлагает 6,14% с годовым начислением дохода, то оба банка имеют одинаковую эффективную ставку доходности.
5.Для расчета годовой ставки роста, связанной с потоком доходов.
Вфинансах часто требуется уметь рассчитывать такую годовую ставку роста. Вычисление годовой ставки роста доходности на одну акцию производят исходя из формулы
Fn = P × T1(i, n),
где i — годовая ставка дохода.
Преобразовав эту формулу, получаем
Т1(i, n) = Fn / P.
Пример 2.26
Доходность одной акции компании составляла 25 руб. в 2006 г., а через 10 лет она вырастет до 37 руб. на одну акцию. Требуется рассчитать годовую ставку роста доходности на одну акцию за десятилетний период.
Решение
Поскольку F10 = 37 руб., а Р = 25 руб., то
Т1(i, 10) = 37/25 = 1,48.
В приложении 1 находим, какой процентной ставке соответствует множитель наращения 1,48 при 10 годах наращения, это 4%, или рассчитываем:
(1+i)10 =1,48,1+i =10 1,48 ≈1,3999828 ≈1,4, i = 4%.
Таким образом, годовая ставка наращения (роста) доходности равна 4%.
6. Для определения ценности облигации с денежным потоком в виде постоянных полугодовых процентных платежей. Ценность облигации с денежным потоком в виде постоянных полугодовых процентных платежей определяется приведенной стоимостью ожидаемого денежного потока. Общий денежный поток по облигации складывается из денежных потоков по выплате процентов, зависящих от количества периодов выплат, и единовременно выплачиваемой величины номинала в момент погашения. Следовательно, нужно найти приведенную стоимость аннуитета и единовременно выплачиваемой величины номинала:
70 |
Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег |
|
|
|
|
n |
I |
|
|
M |
|
V = ∑ |
+ |
|
= I ×T4(i, n) + |
||
(1+i)t |
|
+i)n |
|||
t=1 |
(1 |
|
|||
где I — годовой купонный доход по облигации; М — нарицательная (номинальная) стоимость i — требуемая доходность инвестированного такого типа;
n — количество периодов облигации; V — приведенная стоимость облигации.
M ×T3(i, n),
облигации; капитала по облигациям
Пример 2.27
Необходимо определить приведенную стоимость облигации нарицательной стоимостью 10 000 руб., со сроком погашения 10 лет, купонной ставкой 10% годовых, по которой доход выплачивается дважды в год. Требуемая доходность инвестированного капитала по облигациям такого типа составляет 12%.
Решение
Так как процент по облигации выплачивается дважды в год, то количество периодов выплат равно 20, а полугодовой денежный поток составит
10 000 / 2 = 500 руб.
В этом случае приведенная (текущая) стоимость этой облигации будет равна:
V = 500 × T4(6%; 20) + 10 000 × T3 (6%; 20) = 500(11,470) + 10 000 × × (0,312) = 5735 + 3120 = 8855 руб.
Заметим, что объявленная купонная ставка равна 10%, а требуемая доходность по облигациям такого типа составляет 12%. Поэтому приведенная стоимость (текущая) облигации меньше, чем нарицательная (номинальная). Инвестор охотно приобретет эту ценную бумагу, если ее стоимость будет не выше 8855 руб. при ее номинальной стоимости 10 000 руб. Разница между рыночной ценой (ценой продажи) облигации и ее номиналом представляет собой скидку (дисконт) в момент продажи, так как рыночная норма прибыли по такого типа облигациям превосходит ее купонную ставку. Но может иметь место и обратная ситуация, когда рыночная норма прибыли меньше объявленной купонной ставки. В этом случае облигация будет продаваться выше нарицательной стоимости, а разница носит название «ажио» (agio, или премия).
Подведем итог. Алгоритмы определения стоимости в случае неоднородных денежных потоков основаны на приведении к одному и тому же моменту времени и последующем суммировании полученных результатов.