Фин.мен. Ильин

Пример 2.8

Предположим, инвестируется крупная сумма денежных средств в акции «Газпрома». Компания «Газпром» выплачивает 30 руб. дивидендов на одну акцию. Ожидается, что дивиденд будет повышаться на 20% ежегодно в течение последующих трех лет. Рассчитаем дивиденды за первый год и за последующие два года.

Решение

Используем формулу начисления сложных процентов

Fn = P(1+i)n = P ×T1(i, n),

согласно которой

F1 = 30(1 + 0,2) = 30 × (1, 200) = 30 × T1(0,2, 1) = 36 руб.;

F2 = 30(1 + 0,2)2 = 30 × (1, 200)2 = 30 × T1(1, 440) = 30 × T1(0,2, 2) = 43,2 руб.;

F3 = 30(1 + 0,2)3 = 30 × (1, 200)3 = 30 × (1, 728) = 30 × T1(0,2, 3) = 51,84 руб.

Продолжительность периода начисления может быть меньше года, поскольку существует необходимость рассчитывать будущую стоимость чаще, чем раз в год. Например, банки рассчитывают будущую стоимость раз в квартал, месяц, ежедневно и даже чаще, увеличивая количество периодов и уменьшая их продолжительность. Если будущая стоимость денег вычисляется m раз в году, то формула ее определения будет выглядеть следующим образом:

Fn = P ×(1+ mi )n×m = P ×T1( mi , n× m).

Например, если сложные проценты начисляются один раз в полгода, m = 2, то формула для расчета будущей стоимости денег выглядит так:

Fn = P ×(1+ 2i )n×2 = P ×T1(2i , n×2).

Формула Fn = P ×(1+ mi )n×m = P ×T1( mi , n× m) отражает большее ко-

личество периодов начисления (большую частоту компаундинга) n × m при меньшей процентной ставке i / m за период времени. В этом случае говорят о номинальной процентной ставке i / m.

Наряду с номинальной процентной ставкой используют реальную процентную ставку, т.е. процентную ставку, очищенную от инфляции.

Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближенной) формулой1:

ir = in - π,

где in — номинальная процентная ставка; ir — реальная процентная ставка;

π — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Пример 2.9

Предположим, что на банковский депозитный счет внесли 100 000 руб. на пятилетний срок под 20% годовых. Компаундинг дохода (начисление сложных процентов) осуществляется ежеквартально. Будущая совокупная стоимость накоплений на конец 5-го года составит:

Fn = P(1+ mi )n×m = P ×T1( mi , n×m).

Подставив в эту формулу исходные данные:

P = 100 000 руб.; mi = 204 = 5%;

n × m = 5 × 4 = 20,

получим

F5 =100 000×(1+0,05)20 =100 000×T1(5%, 20) =100 000×(2,653) =

= 265 300 руб.

Пример 2.10

Предположим, что начальная сумма (текущая стоимость)

P = 10 000 руб., i = 8%, n = 2 года.

В этом случае годовой компаундинг (m = 1) составит

F2 =10 000×(1+0,08)2 =10 000×T1(8%, 2) =10 000×(1,166) =11660 руб.;

полугодовой компаундинг (m = 2)

F2 =10 000×(1+ 0,208)2×2 =10 000×(1+0,04)4 = =10 000×T1(4%, 4) =10 000×(1170, ) =11700 руб.;

поквартальный компаундинг (m = 4)

1Ирвинг Фишер предложил более точную модель взаимосвязи реальной,

номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера: ir = 11++iπn -1.

=10 000×T1(2%, 8) =10 000×(11746, ) =11746 руб.

Этот пример показывает, что чем выше частота компаудинга внутри периода (учета будущей стоимости денег), тем большая стоимость дохода аккумулируется на конец периода. Это справедливо для любой процентной ставки и за любой период времени1:

T1( mi , n× m) =(1+ mi )n×m ≥(1+i)m (1+ mi )m ≥1+ mi × m =1+i.

Приведенная (дисконтированная) стоимость (present value) определя-

ется как сегодняшняя стоимость будущих платежей или потока наличности. Метод вычисления приведенной стоимости широко известен как метод дисконтирования. Фактически метод дисконтирования есть процесс, обратный вычислению будущей стоимости. Поэтому процентная ставка i, используемая при вычислении будущей стоимости, при определении приведенной стоимости денег называется ставкой дисконта. Ставка дисконта известна также как стоимость капитала (cost of capital) или минимальная ставка доходности, ожидаемая инвестором.

Так как будущая стоимость денег определяется по формуле

Fn = P ×(1+i)n,

где Р — приведенная (текущая) стоимость денежных средств, то, преобразовав это выражение, получим

где T3(i; n) представляет собой приведенную стоимость одной денежной единицы (1 руб., 1 долл.), ожидаемую к получению через n периодов. Для практических расчетов используются финансовые таблицы, содержащие данные дисконтирующих множителей (см. приложение 3).

Для сравнения различных вариантов инвестирования (с разными периодами начисления процентов) используют эффективные годовые процентные ставки2.

1Последнее верно в силу неравенства Бернулли.

2Эффективная годовая процентная ставка — это начисляемая ежегодно процентная ставка, обеспечивающая такой же годовой процентный доход, как и номинальная ставка при начислении m раз в году.

Пример 2.11

Предлагается инвестировать денежные средства в какой-либо проект. При дисконтной ставке 12% через шесть лет планируется получение 4 000 000 руб. В качестве альтернативы можно вложить денежные средства в сумме 2 256 000 руб. в коммерческий банк под 10% годовых на шесть лет. Какой из вариантов инвестирования предпочтительнее?

Решение

Чтобы ответить на вопрос, какой вариант выгоднее, вычислим приведенную стоимость, или сумму, которую необходимо вложить в инвестиционный проект для того, чтобы через шесть лет при ставке дисконта 12% заработать 4 000 000 руб. Затем сравним оба варианта и выберем наиболее выгодный.

Приведенная стоимость равна:

= 4 000 000(1+01,12)6 = 4 000 000×T3(12%, 6) =

Будущая стоимость денежных средств в сумме 2 256 000 руб., вложенных в банковский депозит, составит

Fn = P ×(1+i)n = 2 256 000×(1+0,1)6 = ×T1(10%, 256 000 ) = = 2 256 000×1,771581 = 3996 641,616 руб.

Анализируя суммы денежных средств, которые необходимо инвестировать в первом и втором вариантах, и суммы средств, которые можно заработать за шесть лет, получаем, что наиболее привлекательным выглядит первый вариант, так как текущая, первоначальная (приведенная) стоимость составляет 2 026 524,48 руб., что на 229 475,52 руб. меньше, чем во втором варианте, при практически одинаковых итоговых результатах.

Однако следует обратить внимание на то, что дисконтная ставка в первом варианте выше, чем годовая депозитная ставка в банке. Поэтому можно сделать вывод о рискованности инвестиционного проекта, и решение о выборе варианта для инвестирования средств следует подкрепить дополнительно анализом риска первого проекта.

Заметим, что приведенная стоимость ряда множественных выплат (или притоков) денежных средств представляет собой сумму приведенной стоимости каждого индивидуального платежа.

Пример 2.12

Оценивается проект запуска новой поточной линии, стоимость которой составляет 3 200 000 руб. В течение трех лет планируется получить: в первый год 1 000 000 руб., во второй — 2 000 000 и в третий — 500 000 руб. Ставка доходности, планируемая по предлагаемым инвестициям, составляет 10%. Определить целесообразность этого проекта.

Решение

Для оценки целесообразности проекта необходимо найти приведенную стоимость каждого из притоков денежных средств.

Приведенная стоимость суммы, планируемой к получению за первый год эксплуатации, составит (см. приложение 3):

P1 = F1 × T3(10%;1) = 1 000 000 × 0,909 = 909 000 руб.;

за второй год

P2 = F2 × T3(10%;2) = 2 000 000 × 0,826281 = 1 652 562 руб.;

за третий год

P3 = F3 × T3(10%;3) = 5 000 000 × 0,7295889 = 3 647 944 руб.

Совокупная приведенная стоимость полученного за три года дохода составит 6 209 506,714 руб. Таким образом, сумма дохода, приведенная к моменту вложения инвестиций, больше, чем объем инвестиций (3 200 000 руб.). Поэтому вложения в этот проект целесообразны.

«Правило 72». Задача удвоения капитала при начислении сложными процентами решается с помощью «правила 72»: для определения процентной ставки i при которой произойдет увеличение сбережений при начислении сложными процентами за n периодов времени нужно 72 разделить на n, т.е. i ≈ 72/n.

Непрерывный процент. На практике встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, например каждый день (или за сколь угодно малый промежуток времени). Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения

выглядел так: (1+ 365i )365. Для непрерывного начисления процентов,

т.е. при n → ∞, имеем:

Fn = P ×(1+ ni )n ≈ P ×ei, поскольку n → ∞,

где e ≈ 2,718281… называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов (i).

Пример 2.13

Кредит в размере 100 тыс. долл. получен сроком на три года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться: а) один раз в год; б) ежедневно; в) непрерывно.

Решение

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов. Начисление один раз в год:

F3 = 1 000 000 × (1 + 0,08)3 ≈ 125 971,2 долл.;

ежедневное начисление процентов:

F3 = 1 000 000 × (1 + 0,08)365×3 ≈ 127 121,6 долл.;

непрерывное начисление процентов:

F3 = 1 000 000 × e0,08×3 ≈ 127 124,9 долл.

2.2.Понятие и оценка стоимости денег при аннуитете1. Долгосрочные финансовые операции

Долгосрочные финансовые операции подразделяются на две категории: активные (вложения средств в различные виды финансовых активов) и пассивные (обеспечение деятельности хозяйствующего субъекта необходимыми финансовыми ресурсами). Активные долгосрочные финансовые операции состоят из последовательности денежных поступлений или выплат, называемых потоком платежей2. В потоке платежей выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны,

называют финансовой рентой, или аннуитетом.

Финансовая рента3 применяется в сберегательных, страховых и пенсионных схемах, инвестиционных проектах, облигационных займах, взносах по погашению потребительского кредита и т.д.

1Аннуитет (от лат. annuitas — ежегодный платеж) — это: 1) один из видов

срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть суммы; 2) равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определенные промежутки времени в счет погашения полученного кредита, займа и процентов по нему; рента.

2К долгосрочным финансовым операциям относятся размещение свободных денежных средств, привлечение собственного и заемного капитала, участие в капитале других организаций.

3Рента (от лат. reddita — возвращенная) — 1) доход, регулярно получаемый владельцем от использования земли, имущества, капитала, не требующий

Приведем классификацию и перечислим основные параметры финансовых рент (табл. 2.2).

Любое денежное поступление в условиях аннуитета называется членом ренты. Если все выплаты или поступления одинаковой величины, то рента называется постоянной (fixed annuity), и в противном случае — переменной (variable annuity). Временной интервал между поступлениями называется периодом аннуитета (ренты). Зная число выплат (периодов), можно легко определить календарный срок аннуитета (ренты). Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной (ordinary annuity),

а если в начале периода, то пренумерандо или авансированной (аnnuity due).

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным, например платежи за пользование сданным в аренду земельным участком. Аннуитет называется бессрочным (perpetuity), если денежные выплаты или поступления продолжаются достаточно долго. Теоретически это означает, что число выплат бесконечно. Бессрочный аннуитет часто называют вечной рентой. Например, среди ценных бумаг, выпускаемых британским правительством, есть бессрочные облигации, по которым не даются обязательства погашения, но предлагается ежегодный фиксированный доход в течение неограниченного периода.

Ренты делятся на безусловные (annuity certain), когда заранее договариваются о датах первой и последней выплаты, и условные (contingent annuity), когда дата первой и (или) последней выплаты зависит от обусловленного события. Примером условной ренты может являться пенсионное обеспечение.

Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае — общей.

Приведем параметры, определяющие стоимость обычной и срочной ренты (аннуитета):

от получателя дохода осуществления предпринимательской деятельности, затраты дополнительных усилий. Такой доход может быть получен, например, от сдачи земли или помещений в аренду, предоставления кредита; 2) денежная сумма, выплачиваемая ежегодно застрахованному лицу по страховому полису со стороны страхового общества; 3) годовой доход по ценным бумагам или аннуитету, облигациям государственного займа; 4) любое поступление денежных средств через строго определенные отрезки времени.

58Глава 2. Математические модели оценки временной ценности денег

приведенная стоимость обычного аннуитета — вычисляется на момент времени, отстоящий на один период до появления первого денежного потока;

приведенная стоимость срочного аннуитета — вычисляется на момент первого денежного потока;

будущая стоимость обычного аннуитета — вычисляется на момент последнего денежного потока:

будущая стоимость срочного аннуитета — вычисляется на момент времени, отстоящий на один период до появления первого денежного потока.

Рассмотрим некоторые методы оценки стоимости денег при аннуитете.

Расчет приведенной стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), производится по формуле

где А — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа (выплат) в конце текущего периода;

i — используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени;

ющий приведенную стоимость срочного аннуитета постнумерандо в рубль продолжительностью в n периодов (см. приложение 4).

Пример 2.14

Необходимо определить приведенную (текущую) стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), т.е. в конце каждого периода, при следующих исходных данных:

а) период платежей по аннуитету предусмотрен в течение трех лет; б) интервал платежей — один год (при внесении платежей в конце

года); в) сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет

1 000 000 руб.;

г) ставка процента (дисконтная ставка) — 10% в год.

Решение

Приведенная стоимость аннуитета (постнумерандо) составит: