Лекции по вышмату за 1 курс

эквивалентно заданию трех скалярных функций: ax = ax (t), ay = ay(t), az = az (t).

Определение 99 Годографом вектора a(t) называют кривую, которую вычерчивает конец вектора a(t) при перемещении с изменением параметра t при условии, что начало вектора a(t) находится в начале координат (рис.4.1.1).

Введем понятие производной векторной функции a(t) в данной фиксированной точке t. Дадим t приращение t 6= 0 и рассмотрим вектор

Вектор a

t представляет собой среднюю скорость изменения векторной функции a = a(t) на отрезке [t, t + t]. Производной векторной функцииa

= a(t) в данной фиксированной точке t называется предел при t! 0 от-

С геометрической точки зрения ясно, что производная a0(t) представ-

ляет собой вектор, касательный к годографу функции a(t) в точке t. Яс-

но также, что координаты производной a'(t) равны производным функций a0x(t); a0y(t); a0z(t). Таким образом, вычисление производной векторной

функции сводится к вычислению производных от ее координат.

Замечание 14 Если векторная функция a = a(t) определяет закон движения материальной точки по кривой Z, то a'(t) скорость движения точки.

Замечание 15 Отметим, что правила дифференцирования произведения двух векторных функций будут такими же, как и для произведения двух скалярных функций, а именно:

[a(t) : b(t)]' = a'(t) : b(t) + a(t) : b'(t); [a(t) b(t)]' = a'(t) b(t) + a(t) b'(t).

41.3Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой, заданной параметрическими уравнениями

Пусть некоторая пространственная кривая Z определена как годограф вектора a(t) = ax (t)i + ay(t)j + az (t)k. Тогда очевидно, что эта кривая имеет такие параметрические уравнения: x = ax (t), y = ay(t), z = az (t), где t изменяется на некотором множестве T.

Пример 129 Нарисовать кривую Z, определенную как годограф вектора a(t) = r cost : i + r sint : j + ht : k, 0 t 2 , h>0.

Решение Перейдя к параметрическим уравнениям x = r cost, y = r sint, z = ht,

нетрудно нарисовать кривую (0 t < 2 ), которая называется

винтовой линией (рис. 2.4.2).

Рассмотрим кривую Z, определенную как годограф вектора a(t) = ax (t)i + ay(t)j + az (t)k, и пусть на множестве T функции ax (t), ay(t), az (t) дифференцируемы. При

некотором фиксированном значении параметра t02T на кривой Z получим

141

точку M 0 (x0, y0, z 0), где x0 = ax (t0), y0 = ay(t0), z 0 = az (t0). Мы установили, что вектор a0(t0) = a0x(t0)i + a0y(t0)j + a0z(t0)k лежит на касательной

к годографу вектора a(t) в точке t0, следовательно, его можно принять за направляющий вектор касательной, а тогда уравнение касательной будет иметь вид

Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке M 0 (x0, y0, z 0), называется нормальной плоскостью к пространственной кривой и, очевидно, имеет такое уравнение:

p p p p

Нормальная плоскость: 2(x 2) + 2(y 2) + 3(z 34 ) = 0.

42 Теоремы о дифференцируемых функциях

42.1 Теорема Ролля

Теорема 47 (Теорема Ролля) Если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], в каждой точке интервала ]a; b[ существует конечная производная f '(x) и, кроме того, f (a) = f (b), то тогда между точками a и b найдется хотя бы одна точка c (a < c < b) такая, что

f '(ñ) = 0.

Доказательство Функция f (x) непрерывна на промежутке [a; b], следовательно, на этом промежутке она принимает наименьшее значение m и наибольшее значение M.

xy0a)xyx2ax2 x < 0 x > 0x1bx1 + xx1 + xb)xy0a)xyx2ax2 x <

0 x > 0x1bx1 + xx1 + xb)Если окажется, что m = M, то f (x) постоянна

на промежутке [a; b] (рис.2.5.1), т.е. f (x) = const, следовательно, f '(x) = 0, 8 x2[a; b], в частности и в некоторой точке c2]a; b[.

142

Если m < M, то существует точки x1 и x2 такие, что f (x1) = m, f (x2) =

M, причем, если бы оказалось, что точки x1 и x2 находятся на концах отрезка [a; b], то мы пришли бы к первому случаю, поэтому хотя бы одна из точек x1 или x2 лежит внутри промежутка [a; b]. Пусть для определенности a < x1 < b и f (x1) = m. Тогда при любом достаточно малом по модулю

как функция f (x) дифференцируема в точке x, то это значит, что предел первой дроби должен быть равен пределу второй дроби, а это может быть только 0.

Итак, нашлась точка c = x1 такая, что f '(c) = 0 (рис. 2.5.1).

Для точки x2, в которой функция достигает наибольшего значения, доказательство аналогично.

Замечание 16 (Геометрический смысл теоремы Ролля) Если выполнены условия теоремы Ролля, то в некоторой точке x = c f '(c) = 0, а это означает, что касательная к графику функции y = f (x) в точке x = c параллельна оси 0x.

Заметим, что если хотя бы в одной точке промежутка [a; b] функция не дифференцируема, то производная функции f (x) может в нуль и не обратиться (см. рис. 2.5.2). Например, функция y =1- jxjнепрерывна на

промежутке [-1; +1], дифференцируема на ]-1;+1[ за исключением точки x0 = 0, причем f (-1) = f (80) = 0, т.е. условие теоремы Ролля нарушено в единственной точке x0 = 0 (в ней функция не дифференцируется). Очевидно, что ни в одной точке графика функции на промежутке [-1; 1] касательная к графику не параллельна оси 0x.

42.2 Теорема Лагранжа

Теорема 48 (Теорема Лагранжа) Если функция y = f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и дифференцируема на интервале ]a; b[, то внутри промежутка [a; b] найдется хотя бы одна точка c (a < c < b)

такая, что будет иметь место равенство f (b)-f (a) = f '(c)(b - a)

формула конечных приращений Лагранжа.

Доказательство Введем в рассмотрение вспомогательную функцию(x) = [f (x) - f (a)](b - a) - [f (b) - f (a)](x - a). Функция (x) непрерывна на

промежутке [a; b] как сложная функция непрерывных функций; кроме того, она дифференцируема на интервале ] a; b[, причем, (a) = (b) = 0. Сле-

довательно, функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля; значит, найдется точка c, лежащая внутри промежутка [ a; b] такая, что '(c) = 0.

Найдем '(x). Ясно, что '(x) = f '(x) : (b - a) - (f (b) - f (a)). Предположив здесь x = c, получим '(c) = f '(c) : (b - a) - (f (b) - f (a)) = 0.

Отсюда следует, что

f (b) - f (a) = f '(c) : (b - a).

Формулу конечных приращений Лагранжа можно записать несколько иначе, если положить b = x + x, a = x и обозначить c = x + : x, где

некоторое число, удовлетворяющее неравенству 0 < < 1. А именно: формула Лагранжа будет иметь вид

143

f (x + x) - f (x) = f '(x + : x) : x (0 < < 1).

Замечание 17 (Геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 2.5.3))

x cbaf(b) f(a)B Ab ax cbaf(b) f(a)B Ab a

Итак, пусть выполнены условия теоремы Лагранжа, тогда справедлива формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть точки A и B, лежащие на графике функции, имеют координаты A

f(b) f(a)

(a; f (a)), B (b; f (b)), тогда очевидно, что величина дроби b a равна

тангенсу угла наклона хорды AB к оси 0x, т.е. tg = f(b) f(a)

b a .

С другой стороны, f '(c) = tg . Значит, в точке x = c касательная к

графику функции y = f (x) параллельна хорде, стягивающей дугу кривой AB. В этом и заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа.

43 Теорема Коши

Теорема 49 (Теорема Коши) Если на промежутке [a; b] функции ' (x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в каждой точке интервала ]a; b[, причем 0(x) 6= 0 ни в одной точке этого интервала, то тогда между точками a и b существует такая точка c (a < c < b), что имеет место

Ясно, что функция (x) определена и непрерывна на промежутке [a; b]

как сложная функция непрерывных функций, кроме того, она дифференцируема на интервале ]a; b[. Заметим, что (a) = (b) = 0, т.е. (x)

удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Итак, найдется точка c такая, что будет 0(c) = 0, но 0(x) = '0 (x) : [ (b) (a)] 0 (x) : [' (b) '

Замечание 18 (Геометрический смысл теоремы Коши) Нетрудно убедиться в том, что геометрический смысл теоремы Коши совпадает с геометрическим смыслом теоремы Лагранжа.

Действительно рассмотрим кривую АВ (рис.3), заданную параметри- ческими уравнениями

причем функции ' (t) и (t) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Пусть параметр t2[a; b], тогда A ( (a), ' (a)), B ( (b), ' (a)). Угловой коэффициент касательной к графику кривой АВ в некоторой точке

144

коэффициентом секущей, проходящей через точки А и В.

Итак, если выполнены условия теоремы Коши, то на графике кривой, заданной параметрическими уравнениями

найдется хотя бы одна точка С, такая, что касательная к графику этой кривой параллельно хорде, проведенной через точки А и В.

43.1 Правило Лопиталя

Теорема 50 Если функции ' (x) и (x) дифференцируемы в окрестности точки a и, кроме того, lim ' (x) = 0, lim (x) = 0, причем в окрестно-

lim ' (x) = lim '0 (x)

x!a (x) x!a 0 (x)

при условии, что второй предел существует (здесь a конечное число, либо a = 1, либо a = +1, либо a = 1).

Доказательство Докажем теорему для случая, когда a конечное число. По условию теоремы функции ' (x) и (x) дифференцируемы в окрестно-

сти этой точки, а следовательно и непрерывны в точке a, это означает, что

lim ' (x) = ' (a) = 0, lim (x) = (a) = 0.

x!a x!a

Пусть x точка, принадлежащая окрестности точки a, тогда выполнены условия теоремы Коши и имеет место формула

Замечание 19 Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции ' (x) и (x) обращаются в бесконечность.

Принимая во внимание доказанную теорему, сформулируем следующее правило.

Следствие 8 (Правило Лопиталя) Для раскрытия неопределенностей

01

0è 1 надо заменить предел отношения двух функций пределом отноше-

ния их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных

фукций.

Для раскрытия других неопределенностей 0 1, 1 1, 11, 00 эти неопределенности следует предварительно преобразовать к неопреде-

прологарифмировать.

145

Если неопределенность не раскрылась после применения правила Ло-

x!0

44 Формулы Тейлора и Маклорена

44.1 Формула Тейлора

Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом. О нем мы поговорим особо. Если отбросить остаточный член, то по-

Многочлен, стоящий справа, называется многочленом Тейлора. Заметим, что коэффициенты многочлена Тейлора вычисляются без труда: для

этого достаточно вычислить значения функции f (x) и ее производных f0 (x), f00 (x), . . . ,f(n 1) (x) в точке a.

Заменив функцию ее многочленом Тейлора, мы совершим ошибку, равную отброшенному остаточному члену Rn в формуле Тейлора. При решении практических задач эту ошибку точно указать, как правило, нельзя, однако всегда можно ее оценить, т.е. можно указать такое положительное число, которого не превосходит модуль отброшенного остаточного члена.

146

Выведем формулу Тейлора. Для этого прибегнем к такому искусственному приему: допустим, что некоторое неизвестное число R определено равенством

Âсилу равенства (64) (a) = 0. Очевидно, что (b) =0. Кроме того,

(x) дифференцируема и непрерывна на промежутке [a; b]. Следовательно,

(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Значит, между точками a и b существует некоторая точка c такая, что 0(с) = 0.

Продифференцируем равенство (65) почленно:

Подставим найденное значение R в формулу (64) и заменим в ней b на x, тогда получим

Здесь c лежит между a и x.

Формула (66) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если в формуле Тейлора положить a = 0, то получим частный случай

Заметим, что точка c лежит между a и x, а поэтому c = a + : x, 0 < < 1.

147

Отметим некоторые частные случаи формулы Тейлора.

Положим в формуле Тейлора n = 1. Тогда получим формулу f (x) = f (a) + f0 (c) (x a); (c лежит между a и x). Это и есть ни что иное, как

полученная ранее формула Лагранжа.

(Этот факт станет очевидным, если заменить x на b). Положим теперь в формуле Тейлора n = 2.

f (x) = f (a) + f0 (a) (x a) + f00 (c) (x a)2 2!

и заменим в этом выражении x на x + x ,а точку a на x, тогда получим

f (x + x) = f (x) + f0 (x) x + f00(c) ( x)2

2!

Отбросим последнее слагаемое, тогда f (x + x) f (x) + df (x).

Этой формулой часто пользуются в приближенных вычислениях, заменяя полное приращение функции ее дифференциалом.

Заметим, что формула Тейлора имеет очень широкое применение, поскольку позволяет любую функцию (лишь бы она была нужное число раз дифференцируема!) заменить многочленом с любой степенью точности.

44.2 Представление функций ex, cosx, sinx, ln(1+x), (1+x) формулой Тейлора

1.y = ex. Очевидно, что эта функция дифференцируема сколько угодно

раз на всей числовой оси. Найдем ее разложение по формуле Маклорена

y (x) = ex; y (0) = 1

y0 (x) = ex; y0 (0) = 1

y00 (x) = ex; y00 (0) = 1

y(n 1) (x) = ex; y(n 1) (0) = 1

y(n) (x) = ex; y(n) (c) = ec

лежит между 0 и x).

2.y = sin x. Функция y = sin x сколько угодно раз дифференцируема на всей числовой оси.

y = sin x; y (0) = 0

148

Подставим найденные значения производных в формулу Маклорена,

3. y = cos x. Èòàê:

y = cos x; y (0) = 1

y0 = sin x = cos x + 2 ; y0 (0) = 0 y00 = cos x = cos x + 2 2 ; y00 (0) = 1 y000 = sin x = cos x + 3 2 ; y000 (0) = 0 y0v = cos x = cos x + 4 2 ; y0v (0) = 1

y(n 1) = cos hx + (n 1) 2 i; y(n 1) (0) = cos (n 1) 2 y(n) = cos x + n 2 ; y(n) (c) = cos hc + n 2 i

Таким образом, разложение функции y = cos x по формуле Маклорена

4. y = ln (1 + x). Функция определена и дифференцируема 8 x > 1.

y (x) = ln (1 + x) ; y (0) = ln 1 = 0

y0 (x) = 1 +1 x; y0 (0) = 1

149

y000 (x) = ( 1) ( 2) (1 + x) 3 ; y000 (0) = ( 1)2 1 2

y0v (x) = ( 1) ( 2) ( 3) (1 + x) 4 ; y0v (0) = ( 1)3 3!

y(n 1) (x) = ( 1)n 2 (n 2) ! (1 + x) (n 1) ; y(n 1) (0) = ( 1)n 2 (n 2) !

y0 (x) = (1 + x) 1 ; y0 (0) =

y00 (x) = ( 1) (1 + x) 2 ; y00 (0) = ( 1)

y000 (x) = ( 1) ( 2) (1 + x) 3 ; y000 (0) = ( 1) ( 2)

y(n 1) (x) = ( 1) ::: ( n + 1) (1 + x) n+1 ; y(n 1) (0) = ::: ( n + 1)

150