Лекции по вышмату за 1 курс

погрешностей с помощью полного дифференциала

При выполнении различных экспериментов приходится снимать показания с приборов, а затем вычислять интересующую нас физическую вели- чину по некоторой формуле. Естественно, что при этом экспериментатора интересуют погрешности таких измерений. Рассмотрение проведем для слу- чая функции, зависящей от двух независимых переменных, т.е. z = f (x; y).

Пусть мы измеряем величины x и y с погрешностями x и y. Погреш-

ности эти нам не известны, но мы можем оценить их сверху: j xj 1, j yj 2. Здесь положительные величины 1 è 2 дают нам абсолютные

погрешности измерений величин x и y.

Допустим, что нам надо оценить абсолютную погрешность вычисления величины z = f (x; y). Очевидно, что ошибка вычисления величины z :

z = f (x + x; y + y) f (x; y).

Если приращения x и y малы по абсолютной величине, то, заменяя полное приращение функции ее дифференциалом, получим

52Дифференцирование сложных функций нескольких переменных

52.1Дифференцирование сложной функции одной переменной

Рассмотрим функцию двух аргументов z = f (x; y). Пусть, в свою очередь аргументы x и y являются функциями некоторого аргумента t : x = x (t), y = y (t). Тогда ясно, что z является сложной функцией аргумента t, причем x и y выступают здесь в качестве промежуточных аргументов, т.е.

z = f [x (t) ; y (t)] :

Предположим, что функция f (x; y) дифференцируема в некоторой точ- ке M (x; y), а функции x = x (t) и y = y (t) дифференцируемы по переменной

171

t. Тогда ясно, что если переменная t получит приращение t, то переменные x = x (t) и y = y (t) получат приращения x и y, следовательно, функция z = f [x; y] получит полное приращение

z = @x@z x + @y@z y + x + y;

где ! 0, ! 0 при x ! 0, y ! 0. Разделим обе части этого равенства на t:

zt = @x@z xt + @y@z yt + xt + yt :

Нетрудно обобщить сказанное на случай z = f [t; x (t) ; y (t)]. Получим

52.2Дифференцирование сложной функции нескольких переменных

Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании функции z = z (u; ), где в свою очередь, u = u(x, y), = (x; y), причем функция z = z (u; ) дифференцируема по своим аргументам u и , а функции u (x; y) и (x; y), в свою очередь, дифференцируемы по переменным x и y. Дадим приращение

172

переменной x, тогда функции u (x; y) и (x; y) получают частные приращения xu è x , функция z = z (u; ) получит полное приращение, вызванное изменениями переменных u и , но по отношению к переменной x это приращение будет частным, т.е. получим

Предоставим читателю возможность найти выражение для частной производной @z

@y .

52.3 Дифференцирование неявных функций

Рассмотрим функцию аргумента x, заданную неявно, т.е. функцию y (x), заданную соотношением вида F (x; y) = 0. Очевидно, что это выражение

задает функцию лишь в том случае, если каждому значению аргумента x в силу этого соотношения соответствует лишь единственное значение y. Очевидно, что не всегда из соотношения F (x; y) = 0 уда¼тся найти y. Тем не

менее, возникает необходимость находить производную yx0 неявно заданной функции. Очевидно, что операцию отыскания производной в данном случае не следует выполнять формально, т.е. нужно отдавать себе отчет в том, а задает ли вообще соотношение F (x; y) = 0 функцию, единственная ли

173

она и существует ли производная yx0 . Очевидно, например, что уравнение x2 + y2 + 1 = 0 не определяет никакой функции.

Приведем без доказательства формулировку теоремы, дающей достаточ- ные условия существования, единственности и дифференцируемости неявно заданной функции y = y (x), определяемой соотношением F (x; y) = 0.

Теорема 64 Если функция z = F (x; y) удовлетворяет следующим усло-

âèÿì:

1) F (x; y) определена в окрестности точки (x0; y0), причем F (x; y) и

2)F (x0; y0) = 0;

@F (x;y) 6

3) @y = 0.

x=x0 y=y0

Тогда существует, и причем единственная, функция y = y (x), которая

определена в некоторой окрестности точки x0 и обладает следующими свойствами:

1) функция y = y (x) дифференцируема в окрестности точки x0; 2)y0 = y (x0);

3)F [x; y (x)] 0.

Допустим теперь, что некоторая функция z = F (x; y) удовлетворя-

ет условиям, сформулированным в теореме. Найдем производную неявно заданной функции yx0 (x). Продифференцируем по x обе части тождества

F [x; y (x)] 0, принимая во внимание, полученное выше правило диффе-

ренцирования сложной функции, зависящей от нескольких переменных, получим

@F@x + @F@y dxdy = 0;

откуда следует

@F

dxdy = @F@x :

@y

Аналогичное рассмотрение можно провести и для функции z = z (x; y), определяемой соотношением F (x; y; z) = 0.

Если функция z = z (x; y) определяется этим соотношением, то F [x; y; z (x; y)]

Пример 149 Найти производную yx0 функции y = y (x), заданной неявным уравнением x2 + y2 1 = 0.

Решение Заметим, что данное уравнение определяет окружность. Дифференцируем уравнение x2+y2+1 = 0 почленно по x как сложную функцию:

2x + 2y yx0 = 0. Откуда следует yx0 = xy . Ясно, что в точках, где y = 0, производная обращается в 1 (касательная перпендикулярна к оси 0x).

174

53 Частные производные высших порядков

Рассмотрим дифференцируемую функцию z = f (x; y). Очевидно, что вы-

f2 (x; y), ãäå f1 (x; y) è f2 (x; y) некоторые функции, и если они в свою оче-

Аналогично вводятся в рассмотрение частные производные 3го, 4го,. . . , nго порядка. Например,

@x@y è @y@x .

Очевидно, что эти смешанные производные отличаются только порядком выполнения операции дифференцирования. Возникает вопрос, при выполнении каких условий эти смешанные производные совпадают, т.е. не зависят от порядка дифференцирования. Приведем без доказательства следующую теорему о смешанных частных производных.

Теорема 65 Если у функции z = f (x; y) в некоторой области существу-

Пример 150 Убедиться, что у функции z = sin xy2 совпадают смешан- ные производные.

рывность на всей плоскости x0y очевидна.

175

54Дифференциалы функции нескольких переменных. Исследование инвариантности их формы

Рассмотрим функцию z = z (x; y). Если она дифференцируема, то, как мы это выяснили ранее, линейная относительно x и y часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции, т.е.

Заметим, что здесь x и y приращения независимых переменных x

и y соответственно. Напомним, что в случае дифференцируемой функции одной переменной y = y (x) ее дифференциал определяется так:

def 0

dy = yx x:

В частности, если y (x) = x, то дифференциал этой функции dx = 1 x.

Отсюда следует, что дифференциал независимой переменной x совпадает с ее приращением. Совершенно аналогично dy = y. А тогда полный диф-

ференциал функции можно записать так:

dz (x; y) = @z (x; y) dx + @z (x; y) dy: @x @y

Покажем, что эта форма дифференциала обладает свойством инвариантности и на тот случай, когда переменные x и y не независимые, а являются функциями некоторого аргумента t, т.е. z = z [x (t) ; y (t)]. Действи-

тельно:

ò.å. dz = @x@z dx + @y@z dy, ãäå x = x (t), y = y (t).

Теперь предположим, что x и y зависят не от одного, а от двух независимых аргументов, т.е. x = x (s ; t), y = y (s ; t). Тогда z = z [x (s ; t) ; y (s ; t)],

причем функции x (s ; t) и y (s ; t) предполагаются дифференцируемыми по переменным s и t. Очевидно, что

= @x@z @x@s ds + @x@t dt + @y@z @y@s ds + @y@t dt = @x@z dx + @y@z dy

т.е. окончательно

dz = @x@z dx + @y@z dy;

т.е. форма полного дифференциала сохраняется в том случае, если x и y зависят в свою очередь от двух независимых переменных s и t. Сделаем

176

теперь некоторые обобщения. Итак, рассмотрим дифференцируемую функцию двух независимых переменных z = z (x; y). Тогда, как мы только что

выяснили, ее полный дифференциал dz = @x@z x + @y@z y.

Очевидно, что приращения независимых переменных x и y не за-

висят от того, в какой точке выполняется дифференцирование функции z = z (x; y). Будем считать, что выбрав эти приращения, мы их зафиксиро-

вали. Тогда полный дифференциал dz может рассматриваться как некото-

рая функция независимых переменных x и y, а тогда можно ставить вопрос о ее дифференцировании, т.е. о существовании дифференциала от дифференциала, т.е. d (dz). Если дифференцируема не только функция z (x; y), но и ее частные производные @z @z

@x è @y , то тогда существует дифференциал от дифференциала, который называется вторым дифференциалом функции

Напомним, что здесь x = dx, y = dy; обозначая их квадраты ( x)2 = dx2, ( y)2 = dy2, можем записать второй дифференциал так:

Напомним, что мы предполагали здесь, что x и y независимые переменные. Совершенно аналогично, определяя полный дифференциал третьего порядка функции z = z (x; y) как полный дифференциал от дифференци-

ет понимать как некий оператор , применение которого к функции z = z (x; y) предполагает выполнение частного дифференцирования функции z = z (x; y), причем порядок этих частных производных определяется сте-

пенью соответствующего слагаемого в правой части, которая раскрывается как формула бинома Ньютона. Естественно, при этом предполагается, что функция z = z (x; y) дифференцируема n раз, а это следует понимать так:

если существует дифференциал ( n-1)го порядка функции z = z (x; y), то функция z = dn 1z (x; y) дифференцируема по своим аргументам.

Заметим, что формулу для полного дифференциала, приведенную выше, можно доказать методом полной, т.е. математической индукции.

Нетрудно доказать, что если некоторая функция u = u (x; y; z) зависит

от трех независимых аргументов, то очевидно, что ее полный дифференциал

177

du = @u@x dx + @u@y dy + @u@z dz;

причем для обозначения полного дифференциала nго порядка такой функции, если он существует, имеет место такая символическая запись:

Рассмотрим теперь полный дифференциал второго порядка:

Выясним, сохраняется ли форма второго полного дифференциала, если переменные x и y не независимые, а являются функциями некоторого аргумента t, т.е x = x (t), y = y (t); другими словами, выясним, обладает ли

полный дифференциал второго порядка свойством инвариантности своей

формы ?

Итак, полагаем z = z [x (t) ; y (t)]. Тогда dz = zt0 dt = @x@z dx + @y@z dy (т.е. первый дифференциал свойством инвариантности своей формы обладает). Далее: