Лекции по вышмату за 1 курс

36.2 Односторонняя непрерывность функции в точке

3.выполняется условие f (x0) = f (x0-0).

Âзаключение приведем еще одно определение непрерывности функции

âточке x0.

Определение 88 Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она в этой точке непрерывна и слева, и справа.

36.3 Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 33 Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f (x0) 0, то существует некоторая окрестность U(x0, d), в которой функция имеет такой же знак, что и в точке x0.

Доказательство Пусть для определенности f (x0)>0; поскольку в точке x0 f(x) непрерывна, то это означает, что ("e >0)( d = d(e)>0)("xЩ(x0; d)) : f (x0) e<f(x)< f (x0) + e:

Теорема 34 Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то справедливы следующие утверждения:

1.функция c f1(x) непрерывна в точке x0 (c =const);

2.функция f1(x) f2(x) непрерывна в точке x0;

3.функция f1(x) f2(x) непрерывна в точке x0;

f(x)

4.функция f12(x) (f2(x0) 0) непрерывна в точке x0.

121

Доказательство Докажем одно из этих утверждений (остальные доказываются аналогично), а именно: произведение f 1(x) f 2(x) непрерывно в

f2(x0).

Àэто и говорит о том, что произведение f 1(x) f 2(x) непрерывно в точке

x0.

Теорема 35 (Непрерывность сложной функции) Если функция j(x) непрерывна в точке x0, а функция f(U) непрерывна в точке U0, где U0=j(x0), то функция f[U(x)] непрерывна в точке x0, т.е. суперпозиция непрерывных функций непрерывна в данной точке.

Доказательство (Без доказательства).

Теорема 36 (Непрерывность обратной функции) Если функция y=y(x) строго возрастает (строго убывает) на промежутке [a; b] и непрерывна в точке x0О]a; b[, то у нее существует обратная функция x=x(y), которая строго возрастает (строго убывает) на промежутке [p, q], где p=y(a), q=y(b) и непрерывна в точке y0=y(x0).

Доказательство (Без доказательства).

Теорема 37 Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке

ååмножества определения.

Доказательство (без доказательства)

36.4 Вычисление пределов от непрерывных функций

В силу теоремы о непрерывности элементарных функций следует, что для

В частности, ex-1 x в точке x0 = 0.

122

Пример 97 Вычислить lim (1+arcsin x)8 1 x!0 ln(1+tgx) .

Решение Заменяя числитель и знаменатель на эквивалентные бесконечно малые, получим

123

36.5Непрерывность функции на замкнутом промежутке

Определение 89 Функция f(x), непрерывная в каждой точке замкнутого промежутка [a; b], называется непрерывной на этом промежутке.

Заметим, что под непрерывностью функции на концах промежутка понимается ее односторонняя непрерывность.

Заметим также, что графиком функции, непрерывной на промежутке, служит сплошная (непрерывная) линия на этом промежутке, которую можно вычертить одним движением карандаша, не отрывая его от бумаги.

Сформулируем теперь достаточно очевидные с геометрической точки зрения теоремы, дающие нам свойства функций, непрерывных на промежутке.

Теорема 38 (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], то на этом промежутке она и ограничена.

Теорема 39 (2-я теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], то среди ее значений на этом промежутке имеется наименьшее и наибольшее значение.

Теорема 40 (1-я теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри промежутка найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Теорема 41 (2-я теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], то, принимая любые два значения на [a; b], функция принимает и всякое промежуточное значение.

37Разрыв функции в точке. Классификация разрывов

Определение 90 Точка x0, принадлежащая множеству определения функции или являющаяся его граничной точкой, называется точкой разрыва, если в этой точке функция не является непрерывной.

Пример 101 Исследовать непрерывность функции y=x2 на промежутке [0; 2].

Решение Функция является элементарной на этом промежутке, следовательно, она на нем и непрерывна.

Пример 102 Исследовать непрерывность функции

124

Решение 1) В точке x0=1 функция определена: y(80) =1.

Решение Функция y = tgx

x в точке x0=0 не определена; действительно, в точке x0=0 имеем неопределенность 0

0 .

Вывод: функция y = tgx

x в точке x0=0 разрывна. Установлена нижеследующая классификация точек разрыва.

Определение 91 Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, или точкой конечного разрыва, если в этой точке функция определена, односторонние пределы y(x0+0) и y(x0-0) конечны, но не равны между собой.

Число w= y(x0+0)- y(x0 -0) называется скачком функции в этой точ-

êå.

Определение 92 Точка x0 называется точкой разрыва второго рода , или точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 обращается в бесконечность.

Определение 93 Точка x0 называется точкой устранимого разрыва , если в точке x0 функция не определена, а односторонние пределы y(x0+0) и y(x0-0) конечны и равны между собой, т.е. y(x0+0)=y(x0-0).

При этом говорят, что разрыв в точке x0 можно устранить, если доопределить функцию в точке x0, положив f(x0)= f(x0+ 0)= f(x0 -0).

e+11 = 0.

Вывод: функция в точке x0=0 претерпевает разрыв 2-го рода (бесконеч- ный разрыв), функция в точке x0=0 непрерывна слева.

Пример 105 Исследовать непрерывность функции

!

Вывод: в точке x0=1 функция претерпевает конечный разрыв (разрыв 1-го рода) (Рис. 1.10.1).

Скачок функции в точке x0=-1: w= y(1+0)- y(1-0)=1-(-1)=2.

125

Часть VI

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

38Производная. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Односторонние производные. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции

38.1 Определение производной

Рассмотрим функцию y = f (x), определенную на множестве X. Возьмем некоторое фиксированное значение xОX и столь малое приращение независимой переменной x, что точка (x + x)ОX, причем приращение x по-

ложительное или отрицательное число. Выражение y = f (x + x) - f (x) является приращением функции, соответствующим указанному прираще-

но при всех x 0, достаточно малых по абсолютной величине. Поскольку x фиксировано, отношение xy является функцией только x.

Определение 94 Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Производную функции y = f (x) в точке x будем обозначать символом f '(x) или yx0 (x). Èòàê

Очевидно, что производная fx0 (x) представляет собою функцию, определенную на некотором множестве X 1.

38.2 2. Механический смысл производной

Допустим, что некоторая материальная точка M перемещается прямоли-

нейно, а путь, пройденный этой точкой за время t, изменяется по закону s = s(t). Очевидно, что отношение s

t

Итак, производная от функции, описывающей закон движения материальной точки, перемещающейся прямолинейно, определяет мгновенную скорость этой точки.

126

Заметим, что производная может иметь смысл скорости и в том случае, когда функция не определяет закона механического движения. Например, если функция y = f (x) определяет количество вещества, уже вступившего в химическую реакцию к моменту x, то тогда производная f '(x) определяет скорость химической реакции в данный момент времени x.

38.3 Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной обратимся к графику функции y = f (x) (рис. 2.1.1). Возьмем на нем точку M (x, y), где y = f (x), и близкую к ней, тоже лежащую на кривой точку N (x + x, y + y).

y

x , где b угол, образованный секущей MN с положительным направлением оси 0 x. При стремлении x к нулю точка N,

оставаясь на кривой, будет неограниченно приближаться к точке M, а секущая MN будет разворачиваться и займет предельное положение станет касательной MK, которая образует угол a с осью 0 x. Таким образом, ясно, что производная f '(x) равна тангенсу угла a, образованного касательной к кривой в точке M (x, f (x)) с положительным направлением оси 0 x.

Следовательно, существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f (x), причем угловой коэффициент касательной tg = f '(x) должен быть конечен (касательная не должна быть параллель-

на оси 0y): в этом случае = 2 èëè = 32 , а тангенс такого угла равен бесконечности (рис. 2.1.1) и при соответствующих x функция f (x) не имеет

производной.

ронняя

y = f (x) в точке x способ стремления приращения x к нулю предполага-

ется произвольным. Поэтому ясно, что если у функции y = f (x) существует производная, то f0(x) = f+0 (x) = f0 (x).

127

Пример 106 Рассмотрим функцию y = x (рис. 2.1.2) и вычислим ее односторонние производные в точке x0 = 0.

Односторонние производные функции в точке x0 = 0 существуют, но не совпадают, значит, в нуле у данной функции производная не существует. Заметим, кроме того, что данная функция непрерывна в начале координат. Отсюда можно сделать вывод, что из непрерывности функции в некоторой точке x0 еще не следует, что в этой точке у функции существует производная (рис.2.1.2).

38.5 Дифференцируемость функции

Определение 97 Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0, называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечная производная f '(x0).

Теорема 42 (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке)

Для того, что бы функция y = f (x) была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции в точке x, соответствующее приращению x, можно было представить в виде

y = A x + a( x) x, где A не зависит от x, а a( x) R 0 приxR 0.

y = yx0 x + ( x) x. Остается только обозначить yx0 = A и оконча- тельно получим y = A x + ( x) x.

Достаточность. Допустим, что полное приращение функции можно

получим отсюда x = A + ( x), где a( x) R 0 при xR 0. Перейдя к

пределу, получим lim y = A, а это и означает, что функция y = f (x) в

x!0 x

точке x имеет конечную производную A, т.е. yx0 = A.

Замечание 13 Отметим, что иногда функцию, дифференцируемую в точ- ке, определяют как функцию, полное приращение которой в точке x можно представить в виде y = A : x + ( x) : x, где a( x) R 0 при

xR 0. В силу доказанной теоремы очевидно, что оба эти определения эквивалентны.

128

Операцию нахождения производной от функции в дальнейшем будем называть дифференцированием этой функции.

38.6 Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 43 Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, то в этой точке она и непрерывна.

Доказательство Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогда полное приращение функции в этой точке y = A x + x )

lim y = 0, а это означает, что функция y = f (x) непрерывна в точке x.

x!0

Мы отметили выше, что обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в данной точке x не следует ее дифференцируемость в точке x. (Это было показано при рассмотрении вопроса о дифференцируемости функции y = x в начале координат).

Если функция дифференцируема в каждой точке замкнутого промежутка [a, b], то ее называют дифференцируемой на этом промежутке. 0 дифференцируемости функции на концах промежутка, т.е. в точках x = a и x = b говорить нельзя, так как в этих точках могут существовать только правосторонняя и левосторонняя производные соответственно.

39Правила дифференцирования. Таблица производных

39.1 Производная постоянной

39.2 Дифференцирование степенной функции

Найдем производную степенной функции y = xa, где a любое веществен- ное число. По определению производной

129

0

Пример 107 Найти 1

x x.

00

Решение x1 x = x 1 x = 1 x 2 = x12 .

p0

Пример 108 Найти ( x)x.

39.3 Дифференцирование показательной функции

39.4 Дифференцирование логарифмической функции