Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С.М. Кирова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по вышмату за 1 курс

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

функции, можно указать такую окрестность точки x, в которой V (x + x) > 0. Тогда получим

U(x+ x)

U(x)

U(x + x) V (x) U(x) V (x + x)

lim

= lim

V (x+ x)

V (x)

lim

x!0

x V (x) V (x + x)

lim

U(x + x) V (x) U(x) V (x) + U(x) V (x) U(x) V (x + x)

x!0

x V (x) V (x + x)

U(x) V (x) U(x) V (x)

U(x)

V (x)

U(x)

V (x)

lim

(x) V (x) U(x) V (x)

V (x) V (x + x)

V 2(x)

x!0

x V (x) V (x + x)

x!0

0(x) V (x) U(x) V 0(x)

Èòàê,

U(x)

x =

V (x)

V 2(x)

Пример 109 Найти p3

+ ln x x.

p3 x2 + ln x

+ (ln x)0

Решение

= x3

= 2

+ 1

3 px

x .

Пример 110 Найти x2 ex x.

= 2x ex+x2 ex = x2 + 2x ex.

Решение x2 ex x = x2 x ex+x2 (ex)x0

Пример 111 Найти

x2+1 .

x2+1

+1) xx0

+1)x x (x

2x x

Решение

2 .

39.6Дифференцирование тригонометрических функций

1. Найдем производную функции y = sin x.

lim

sin(x + x)

sin x

lim

2 sin 2x cos

x + 2x

(sin x)x = x!0

x!0

lim

cos x +

lim

cos

x +

= cos x:

x!0

Èòàê, (sin x)x = cos x.

2. Аналогично можно доказать, что (cos x)x = sin x.

131

3. Найдем производную функции y = tgx.

cos2 x

cos x x

(sin x)x

cos2 x

(tgx)0

sin x

cos x sin x (cos x)x

Èòàê, (tgx)x =

(x 6= n +

;

n = 0; 1; 2; :::).

cos2 x

4. Аналогично можно показать, что

(ctgx)x = sin12 x (x 6= n ; n = 0; 1; 2; :::).

39.7 Правило дифференцирования сложной функции

Рассмотрим функцию y = f (u), определенную на множестве U, и пусть, в свою очередь, u = '(x) определена на множестве X. Тогда можно гово-

рить о сложной функции переменной x: y = f ['(x)], определенной на множестве X X, которое состоит только из тех элементов xОX, для которых соответствующие значения u = '(x) 2U. При этом j называется

промежуточным аргументом сложной функции, а сама сложная функция y = f ['(x)] называется также суперпозицией функций f и j.

Теорема 45 Если функция u = '(x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u = '(x) , тогда сложная функция y = f ['(x)] дифференцируема в точке x, причем

0 0 0

ff ['(x)]gx = f' 'x(x) (правило цепочки).

Доказательство Функция u = '(x) дифференцируема в точке x, зна-

÷èò u = 'x0

x + ( x) x, ãäå ( x) ! 0 ïðè x!0.0

В свою очередь,

функция y = f (u) дифференцируема по u, тогда y = fu u + ( u) u,

u, и пусть xR

ãäå ( u) !

0 при u!0, значит y = fu0

'x0

x + ( x)

+ ( u)

тогда в силу непрерывности дифференцируемой функции окажется, что

lim

( u) 0

x 0

также и uR 0, следовательно, lim

lim

'0 + ( x)

( y)

x!0

x =

x!0

Здесь

x 0 x

= ux;

ïðè

0, ò.ê.

ïðè

и, кроме того, ( x) ! 0 при x!0. Окончательно получим (f [u(x)])x = fu0 u0x (правило цепочки).

Заметим, что правило цепочки можно обобщить на большее число промежуточных аргументов, если выполнены соответствующие условия:

(y fu [v(t < x >)] g)x = yu

tx:

Пример 112 Найти производную функции y = q

1 + 1+sin x

Решение

yx0

!x =

1 +

(1 + sin x)2

cos x:

1 + 1 + sin x

1+sin x

ux .

132

Пример 113 Найти производную функции y = log2 log3 x.

Решение yx

= (log2 log3 x)x =

(log3 x) ln 2

x ln 3

функции y = p

x + p

Пример 114 Найти производную0

Решение yx0

= p

x + p

x =

1 +

2p1

x+p

Пример 115 Найти производную функции y = q

1 + p

= q

x =

Решение yx0

1 + p

1 + px

2q1+p1+px 2p1+px

2px .

Пример 116 Найти производную функции y = q

x + p

Решение

yx0

= r

!x = 2 x + x + px "1 +

2 x + px

1 + 2px #

x + qx + px

Пример 117 Найти производную функции y = 3sin(3x+ 4 ).

Решение yx0 =

3sin(3x+ 4 )

x = 3sin(3x+ 4 ) ln 3 cos1 3x + 4

Пример 118 Найти производную функции y = e

1+ln ln(1+ x1 )

Решение yx =

x = e

(1+ln ln(1+ x1 ))2 ln(1+ x1 )

1+ln ln(1+ x1 )

1+ x1

cos2 x

Пример 119 Найти производную функции y = 5tg2

Решение

x = 5tg2

ln 5 cos2

2cos2 x 2cos

x ln 2 2 cos x ( sin x) :

yx0

= 5tg2

cos2 x

ctg

Пример 120 Найти производную функции y = log5 3

Решение yx0 = log53

x+ 3

ctg

ln5

ln3 1

sin2(x+ 3 )

	1
	(x+ 3 )2 .

133

Пример 121 Найти производную функции y = e 3 x cos 2x2 + 4 .

8. Правило дифференцирования обратной

Решение yx =

x cos 2x2

x = e

x 3

cos 2x2

sin 2x +

4x:

функции

Рассмотрим функцию y = f (x), определенную на множестве X, и пусть Y множество ее значений. Допустим, что эта функция строго возрастает или строго убывает на множестве X, тогда каждому значению x2X отвеча-

ет единственное значение y2Y и наоборот, т.е. на множестве Y определена функция x = '(y) такая, что множество X является множеством ее значе-

ний. Эту функцию называют обратной по отношению к функции y = f (x). Если функция y = f (x) задана аналитически, то обратную функцию можно получить, разрешив это соотношение относительно x, после чего остается обозначить аргумент обратной функции через x, а саму функцию через y.

Итак, отметим, без доказательства, что если некоторая функция y = y(x) определена и строго возрастает на множестве X, то у нее существует обратная функция x = x(y), которая определена и строго возрастает на множестве Y, которое является множеством значений прямой функции y = y(x). Из курса математики средней школы известно, что графики прямой и обратной функции располагаются симметрично относительно биссектрисы

первого и третьего координатных углов. Например, выделим промежуток строгого возрастания функции y = tgx: x 2 2 ; 2 . Ïðè ýòîì y2]-1; +1[.

Очевидно, что обратная функция y = arctgx строго возрастает на всей числовой оси, и при этом arctgx 2 2 ; 2 . Ñì. ðèñ. 2.2.1.

Теорема 46 Если функция y = y(x) имеет в некоторой окрестности точ- ки x обратную функцию x = x(y) и функция y(x) дифференцируема в точке x, тогда обратная функция x = x(y) также дифференцируема в соответствующей точке y = y(x) и имеет место соотношение

y0	(x) =		1		:
		x0		(y)
x
		y

Доказательство Функция y = y(x) по условию теоремы дифференцируема в точке x, значит в этой точке она и непрерывна, т.е. если функция, например, возрастает (убывает) и x6=0, то и y6=0, причем y ! 0 при

x!0. Тогда xy = 1y . Пусть теперь y!0, тогда в силу непрерывности

è x

0, следовательно, x0

= lim

x =

lim

yx0

x!0

Èòàê, yx

= 1 ) yx

xy0

39.8Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Доказанная теорема о дифференцировании обратной функции позволяет легко получить формулы для вычисления производных от обратных тригонометрических функций.

134

Рассмотрим функцию y = arcsinx. Она определена и строго возрастает

на интервале ]-1; 1[. Она служит обратной для функции

= siny, опреде-

ленной на интервале

;

. Следовательно (arcsin x)

(sin y)y0

cos y

1 sin2 y

1 x2

Èòàê, (arcsin x)x =

]

1; +1[.

Аналогично (arccos x)x =

] 1; +1[.

1 x

Функция y = arctgx определена на интервале ]-1; +1[ и служит обратной для функции y = tgx, определенной на интервале 2 ; 2 , значит

(arctgx)0

= cos2 y =

1 + tg

1 + x

(tgy)y

Èòàê, (arctgx)x =

8x 2 ] 1; +1[.

1+x2

Аналогично можно доказать, что (arcctgx)x =

8x 2 ] 1; +1[.

(1+x2)

Пример 122 Найти производную функции y = earctgp

Решение yx0 = earctgp

x = earctgp

2p1

1+x

Пример 123 Найти производную функции y = arcsin x

arcctgx .

Решение y0 =

arcsin x

= p1 x2 arcctgx

1+x2

arcctgx x

arcsin x

(arcctgx)

39.9 Таблица производных

Теперь остается полученные формулы и правила дифференцирования записать в таблицу, которую необходимо выучить наизусть.

1. c'=0

= axa 1

(x > 0)

2. (xa)0

3.(ax)0

= ax ln a (a > 0; a 6= 1)

4.(ex)0

= ex

5.(ln x)

= 1

6.(loga x) =

(a > 0; a 6= 1)

x ln

7. (sinx)' = cosx

8.(cos x)x = sin x

9. (tgx)

cos2 x

10. (ctgx) =

sin2 x

11. (arcsin x)

1 x

12. (arccos x)

1 x2

13. (arctgx)

1+x

14. (arcctgx)

1+x2

135

39.10 Правила дифференцирования

1.	(cy(x))0	= c y0;

2.	0	0	0

	[U(x) V (x)] = U (x)		V (x);

3.[U(x) V (x)]0 = U0(x) V (x) + U(x) V 0(x);

4.U(x) 0 = U0(x) V (x) U(x) V 0(x);

V (x) V 2(x)

0 0 0

5. ff [U(x)] gx = fU Ux

(правило цепочки);

0	1
yx =		:
yx =	0	:
	x
	y

39.11 Логарифмическое дифференцирование

Для нахождения производных некоторых функций, в том числе так называемых сложно-показательных, т.е. функций вида [ U (x)]V (x), полезно применять прием, который заключается в том, что функцию, которую нужно продифференцировать, предварительно логарифмируют (предполагается при этом, что логарифм от этой функции существует).

Итак, пусть y(x) = [U (x)]V (x), тогда lny(x) = V (x) : lnU (x). Продиф-

ференцируем левую и правую часть этого равенства по									x:
1		0	0		1			0
		yx(x) = V (x)		ln U(x) + V (x)			U (x) )
	y				U(x)
yx0		(x) = [U(x)]V (x)		V 0(x) ln U(x) +	U (U(x)				!	:
						0 x)		V (x)

Пример 124

Найти производную функции y = xx (x > 0, x 6= 1).

Решение ln y = x ln x ) yy

= ln x + 1 ) (xx)x = xx(ln x + 1).

Пример 125

Найти производную функции y = q

(xx(x+4)

+1)(x+2)

Решение ln y = 21 [ln(x + 1) + ln(x + 2) ln x ln(x + 4)] )

)

x + 1

x + 2

x + 4

yx =

= 2s

x + 1

+ x + 2

x + 4

x(x + 4)

(x + 1)(x + 2)

1 (x + 1)(x + 2)

136

39.12 Производные высших порядков

Производная f '(x) функции y = f (x), определенной и дифференцируемой на интервале ]a; b[, представляет собой функцию, также определенную на интервале ]a; b[. Если эта функция f '(x) сама является дифференцируемой в некоторой точке x2]a; b[, то ее производную называют второй

производной (или производной второго порядка) функции y = f (x)

и обозначают f (x), или f (81)(x). После того, как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой и т.д.

Таким образом, понятие n-ой производной вводится индуктивно, при переходе от первой производной к последующим из рекуррентного соотношения f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную n-го порядка, называют n раз дифференцируемой на этом множестве.

Пример 126 Найти y '(x), если y(x) = x : ex.

Решение yx0 = ex + x ex = (x + 1) ex;

00	x		x	x	;
yxx = e			+ (x + 1) e = (x + 2)	e	;
000		x	x	x		:
yxxx = e			+ (x + 2) e = (x + 3)	e		:

40 Дифференциал функции

40.1 Дифференциал функции, его геометрический смысл

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, т.е. приращение этой функции в точке x может быть представлено в виде y = f '(x) : x + ( x) : x,

где ( x) ! 0 при x! 0. Очевидно, что приращение функции y пред-

ставляет собой сумму двух слагаемых: первое слагаемое является линейной относительно x частью приращения функции. Это слагаемое является

бесконечно малой того же порядка малости, что и x; второе слагаемое( x) : x представляет собой бесконечно малую более высокого порядка

малости, чем x, т.е. lim ( x) = 0. Первое слагаемое, т.е. выражение

x!0

f '(x) x, называется также главной частью приращения дифференцируемой функции.

Определение 98 Линейная относительно x часть приращения диффе-

ренцируемой функции y = f (x) называется дифференциалом этой функции и обозначается dy, т.е.

def 0

dy = yx x:

Заметим, что дифференциал данной функции dy зависит от того, какая точка закреплена, т.е. он зависит от x и, кроме того, он является функцией приращения независимой переменной x.

137

цируемы в точке x, то dy =

U(x)

Если мы будем искать дифференциал функции y = x, то ясно, что dx = x0x x = 1 x ) dx = x, т.е. дифференциал независимой

переменной совпадает с ее приращением . Следовательно, дифференциал можно записать так:

dy = yx0 dx:

Отсюда следует обозначение производной: yx0 = dxdy (обозначение Лейбница).

Поскольку дифференциал функции пропорционален ее производной, то для дифференциала справедливы те же правила вычисления, что и для

производной. Например, если y = V (x) и функции U (x) и V (x) дифферен-

V (x)dU U(x)dV

V 2(x) . Дифференциал функции dy в точке x, вообще говоря, не равен приращению y в этой точке. Это осо-

бенно хорошо видно при рассмотрении графика функции y = f (x). Замена приращения функции ее дифференциалом означает замену участка графика функции на промежутке [x, x + x] участком касательной к графику

функции, проведенной через точку M (x, y) (рис. 3.1.1).

40.2 Инвариантность формы первого дифференциала

Итак, если x независимая переменная, а y = f (x) дифференцируемая функция, то dy = yx0 dx. Покажем, что если x является функцией

другой независимой переменной, то дифференциал сохраняет свою форму.

Пусть x = x(t) дифференцируемая функция переменной t. Следовательно, y = y[x(t)] сложная функция переменной t, а тогда dy = yt0 dt = yx0 x0tdt = yx0 dx, ò.å. dy = yx0 dx. Такое свойство первого дифференциала

функции y = f (x) называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

40.3Приложение теории дифференциала к приближенным вычислениям. Линеаризация функций

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x и x приращение аргумента в этой точке, а y соответствующее приращение функции.

Тогда f (x + x) - f (x) = f '(x) : x + ( x) : x, где lim ( x) = 0.

x!0

Заменив приращение функции ее дифференциалом, получим приближенное равенство:

f (x + x) f (x) + f '(x) : x.

Заметим, что дифференциал вычислить проще, чем приращение функции, поэтому последнее равенство играет большую роль в приближенных вычислениях. Оценка абсолютной и относительной погрешностей приближенных вычислений по этой формуле требует особого рассмотрения. На этом вопросе мы остановимся при изучении формулы Тейлора.

Пример 127 Плоский металлический диск имеет радиус R =1м. После нагревания диска его радиус увеличился на 1см. Вычислить площадь диска после нагревания.

138

= 0; 02 (2%).

Решение Площадь диска до нагревания S(R) = R2, т.е. S = м2.

После нагревания

S(R + R) = (R + R)2,ò.å.

S + S = (1+ 0,01)2 = (1+ 0,02 + 0,0001) = : 0,0201 м2. Приращение площади S = 0,0201 м2.

Если заменить приращение площади дифференциалом, то получим S dS = S' : R = 2 R : R, т.е. S 2 : : 0,01 = 0,02 : м2.

Итак, заменив приращение площади ее дифференциалом, имеем приближенное значение площади диска после нагревания: S(1+ 0,01) 1,02 : м2;

точное значение S(1+ 0,01) = 1,0201 : м2. Нетрудно теперь вычислить аб-

солютную погрешность этих приближенных вычислений: j S - dS j = j0,0201 : - 0,02 : j = 0,0001 : м2.

Относительная погрешность: S dS

В заключение заметим, что заменяя приращение f функции в точке x для малых приращений x ее дифференциалом, мы тем самым на участке [x, x + x] заменяем функцию y = f (x) линейной функцией. Поэтому такая приближенная замена называется линеаризацией функции.

40.4Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность их формы

Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x). Если y = f (x) дифференцируема, то dy = f '(x) : dx. Пусть x независимая

переменная, тогда dx от x не зависит и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянная. Учитывая это, мы можем рассматривать dy как функцию от x; если функция f (x) дважды дифференцируема, то можно найти дифференциал от dy; он называется

дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и

обозначается d2y или d2f (x).

Предположив существование третьей производной f '(x),0 придем к диф-

ференциалу третьего порядка: d3y = d d2y = f00(x) dx2 dx = f000(x)

dx3.

И вообще, предположив, что функция y = f (x) n раз дифференцируема, последовательно, по индукции, придем к понятию дифференциала n-го порядка: dny = f (n)(x) : dxn. Отсюда, кстати, следует, что

f(n)(x) = dny : dxn

Выясним теперь, обладают ли дифференциалы высших порядков свойством инвариантности. Мы выяснили ранее, что для дифференциала первого порядка dy = f '(x) : dx, где x независимая переменная, форма диф-

ференциала сохраняется и для случая, когда x функция какого-то другого аргумента. Рассматривать будем дифференциал второго порядка. Итак, пусть y = f (x) и, в свою очередь, x = x(t), причем функции f (x) и x(t) диф-

ференцируемы дважды0

ïî

y = d(dy) = d

yt dt =

переменной t. Тогда

yt0t0dt2 = yx0 xt0

t dt2 ==

yx0 x0 xt0

+ yx0 xt0 t0 dt2

= yx0 x0dx2+yx0

d2x )

0 0

ytt dt

6= yxx dx

139

т.е. форма второго дифференциала свойством инвариантности не обладает точно так же, как и не обладает свойством инвариантности и форма дифференциала любого порядка выше первого.

41Дифференцирование функций, заданных параметрически. Векторная функция скалярного аргумента

41.1Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t: x = x(t), y = y(t). Предположим, что функции x(t) и y(t) дважды дифференцируемы по переменной t на множестве, где эти функции определены. Тогда

dy	=	yt0	t	=	yt0
dx			t
	0			0
		xt			xt

x (t) 6= 0 :

Вычисленная производная является функцией аргумента t, т.е. yx0 = yx0 (t).

Тогда можно ставить вопрос об отыскании второй производной yxx00 . ßñíî, ÷òî

		0		0
yxx00 =	dyx0	=	yx0 t t	=	yx0 t	:
	dx		0		0
			xt t		xt

Пример 128 Вычислить yx0 8 yxx00 для функции y от x, заданной парамет-

рически:

x = a(t sin t);

< t < +

y = a(1 cos t);

Напомним, что рассматриваемая кривая называется циклоидой.

Решение Ясно, что

[a(1 cos t)]t

a sin t

[a(t sin t)]t0

= a(1 cos t)

= ctg

(t 6= 2k )

Отсюда

ctg

y00

cos t)

4a sin

41.2Векторная функция скалярного аргумента, ее производная. Геометрический и механический смысл производной

Если каждому значению переменной t из некоторого множества T ставится в соответствие по известному закону определенный вектор a, то говорят, что на множестве T задана векторная функция a = a(t). Поскольку каждый вектор a в прямоугольной системе координат однозначно определяется тремя координатами ax, ay, az, то задание векторной функции a = a(t)

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2015428.16 Кб36ЛЕКЦИИ ИТ_ЛА.docx
#
15.03.2015839.92 Кб20ЛЕКЦИИ ИТ_ЛА.pdf
#
18.09.2019767.23 Кб17Лекции ИТМ семестр 2.docx
#
02.09.2019329.22 Кб18Лекции по Бухгалтерскому (финансовому) учёту.doc
#
15.03.2015329.22 Кб159Лекции по Бухгалтерскому (финансовому) учёту.doc
#
15.03.20151.53 Mб110Лекции по вышмату за 1 курс.pdf
#
15.03.20153.88 Mб69Лекции по ИТМ семестр 1.docx
#
07.05.20193.88 Mб15Лекции по ИТМ семестр 1.docx
#
15.03.2015722.94 Кб70Лекции по экономике недвижимости.doc
#
15.03.20153.9 Mб92ЛЕКЦИИ часть 2.doc
#
15.03.20154.46 Mб62Лекции,часть1.pdf