Лекции по вышмату за 1 курс

74.3Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади S с глу-

биной погружения h равна

P = ghS;

где - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.

Пример 211 Треугольный щит вертикально опущен в воду, прич¼м основание треугольника находится на уровне воды (рис 2). Требуется найти силу давления P на одну из сторон щита, если щит имеет форму равно-

стороннего треугольника a.

Решение Прямыми, параллельными плоскости воды, разобь¼м треугольник на элементы (полоски) ширины dx. Площадь одного такого элемента

(отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии x от поверхности воды, равна dS = ldx. Из подобия треугольников,

изображенных на рис 2, ясно, что длина l полоски удовлетворяет соотношению

p

la 3=2 x

=p ; a a 3=2

Пример 212 Найти силу давления P , испытываемую полукругом радиуса R, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис 3).

Решение Разобь¼м площадь полукруга на элементы (полоски) ширины dx, параллельные поверхности воды.

Площадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии x от поверхности воды, равна

где - плотность воды, g - ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть

231

74.4 Моменты. Центры масс плоских фигур

Определение 130 Моментом инерцииотносительно оси l материальной точки M, имеющей массу m и отстоящей от оси l на расстояние d, называется величина J1 = md2.

Моментом инерцииотносительно оси l системы n материальных точек с массами m1; m2; :::; mn называется сумма

n

X

J1 = mkd2k

k=1

ãäå d1; d2; :::; dn - расстояния точек до оси l. В случае сплошной массы,

распредел¼нной в плоской области, вместо суммы должен быть соответствующий интеграл.

Пример 213 Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием a и высотой h, относительно его ос-

нования. Будет предполагать пластинку однородной, так что е¼ поверхностная плотность равна (т.е. масса, приходящаяся на единицу пло-

щади) будет постоянной и, следовательно, m = S, где S - площадь пластинки.

Решение За основание треугольника примем ось Ox, а его высоту за ось Oy (рис 4). Разобь¼м треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины dy, играющие роль элементарных масс dm = dS.

Используя подобие треугольников получаем:

ABa = h h y :

Площадь dS бесконечно тонкой горизонтальной полоски ширины dy равна dS = ABdy => AB =

Определение 131 Статическим моментом относительно оси l материальной точки M, имеющей массу m и отклонение x (с уч¼том знака) оси l, называется величина M1 = mx.

Статическим моментом относительно оси l системы n материальных точек с массами m1; m2; ; :::; mn, лежащих в одной плоскости с осью l и имеющих отклонения x1; x2; :::; xn (с уч¼том знаков) от этой оси (рис 5) называется сумма

n

X

M1 = mkxk:

k=1

Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости xOy, то вместо сумм должен быть соответствующий интеграл.

232

Пример 214 Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса R и плотность , относительно основания

полукруга.

Решение Основание полукруга поместим на ось Ox, а за ось Oy примем перпендикуляр к оси Ox, проходящий через центр полукруга (рис 6). Разобь¼м полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины dy. Элементарный статический момент dMx этой бесконечно тонкой полоски относительно оси Ox будет равен dMx = ydm = yABdy, следовательно, dMx = y2rdy.

ãäå My è Mx - статические моменты плоской фигуры массы m.

Пример 215 Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в предыдущем примере.

Решение Так как пластинка предполагается однородной (плотность ), то в силу симметрии пластинки е¼ центр масс C(x ; y ) должен лежать на оси Oy, т.е. x = 0 (рис. 7).

Масса mпластинки равна

m = S = 12 R2 ;

а так как из предыдущего примера известно, что Mx = 2R3 3 , то будем

74.5Приложение определ¼нного интеграла к экономи- ческим задачам

Рассмотрим следующую типовую задачу.

Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность е¼ выпуска в различные моменты времени t может быть различной в силу нерав-

номерности поставок сырья и других причин. Интенсивность выпуска продукции обозначим '(t) - это количество выпущенной продукции за единицу

времени, начиная с момента t (в предположении, что с этого момента интенсивность постоянна).

233

Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону f(t), в силу различной стоимости сырья, стоимости труда,

величины налогов и т.д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени [T1; T2]. Будем предполагать функции f(t) и '(t) непрерывными.

Пусть Q - искомая стоимость. Подсчитаем стоимость Q продукции, выпущенной за промежуток времени [t; t + t]. Если бы интенсивность '(t) и стоимость f(t) за этот малый промежуток времени не менялись, тоQ = '(t)f(t) t. Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью Q, пропорциональной t, что можно записать в виде

Q = '(t)f(t) t + o( t):

Здесь o( t) - бесконечно малая высшего порядка, чем t : o( tt) ! 0 при t ! 0. Действительно, за бесконечное время t функции f(t) и '(t)

изменятся на бесконечно малые величины ' и f соответственно, что в произведении с t даст бесконечно малую высшего порядка, чем t. Эта бесконечно малая отнесена в o( t).

Итак, слагаемое '(t)f(t) t есть главная часть Q, пропорциональнаяt, т.е. по определению - дифференциал функции Q(t) - стоимость выпущенной продукции к моменту t, начиная с какого-либо фиксированного момента:

dQ = '(t)f(t) t:

Тогда, интегрируя дифференциал в пределах T1 è T2, находим

Часть X

НЕСОБСТВЕННЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ

75Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

75.1Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +1[ и интегрируема на любом отрезке [a; A] [a; +1[.

Определение 132 Несобственным интегралом Ra+1 f(x)dx îò ôóíê- ции f(x) по бесконечному промежутку [a; +1[ (несобственным интегра-

лом 1го рода) называют предел

234

Z A

lim f(x)dx

A!1 a

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Если f(x) > 0 (рис 1), то очевидно, что Ra+1 f(x)dx да¼т нам площадь бесконечной криволинейной трапеции.

Принимая во внимание формулу Ньютона-Лейбница и определение несобственного интеграла I рода вычислим

Z +1

f(x)dx = lim F (x) F (a) = F (+1) F (a);

ax!1

где F (x) - первообразная функции f(x) на любом промежутке [a; A] [a; +1[. Обобщив формулу Ньютона-Лейбница, можно окончательно написать

В том случае, когда бесконечны и верхний и нижний пределы интегрирования, то по определению имеем:

где c - любое действительное число. При этом несобственный интеграл

R +1

1 f(x)dx называется сходящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие справа.

75.2 Главное значение интеграла R +1

1 f(x)dx

Определение 133 Главным значением несобственного интеграла R +11 f(x)dx

называется предел

которое обозначается так:

(от франц. valleur principal - главное значение)

235

Заметим, что в определении главного значения несобственного интеграла имеется в виду симметричное возрастание модуля переменной x в поло-

слагаемого, не накладывая никакой связи на вычисление возникающих при этом несобственных интегралов.

Может оказаться, что несобственный интеграл расходится, а его главное значение сходится.

Очевидно, что для несобственных интегралов справедливы все основные свойства определ¼нного интеграла.

неч¼тной функции по симметричному промежутку).

Ответ: данный интеграл расходится, в то время как его главное значение сходится.

Пример 219 Вычислить, при каком значении параметра p несобствен- ный интеграл Ra+1 xdxp (a > 0) сходится.

Решение Ранее мы установили , что при p = 1 данный интеграл расходится, поэтому при дальнейшем исследовании случай p = 1 мы рассматри-

вать не будем. Следовательно

236

Èòàê, Ra+1 xdxp (a > 0) сходится, если p > 1 и расходится, если p 1. В дальнейшем этот факт можно использовать как очевидный при решении

примеров.

75.3Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов по неограниченному промежутку

Часто бывает нужно определить, сходится или расходится несобственный интеграл, не находя его первообразной, т.е. оценить сходимость несобственного интеграла. Для этого можно воспользоваться в частности так называемыми признаками сравнения, которые мы оформим в виде теорем.

Теорема 77 (Первый признак сравнения) Если функции f(x) и '(x)

непрерывны на промежутке [a; +1[ и при этом 0 f(x) '(x), то тогда

1.если сходится интеграл Ra+1 '(x)dx, то сходится и интеграл Ra+1 f(x)dx;

2.если интеграл Ra+1 f(x)dx расходится, то расходится и интеграл Ra+1 '(x)dx

(ðèñ 2).

одинаково, т.е. оба сходятся, или оба

расходятся.

237

Âсилу определения предела это означает, что для любого " > 0 при

R +

75.4 Абсолютная сходимость

Несобственный интеграл Ra+1 ся, если сходится интеграл от

интеграла) могут использоваться признаки сравнения, доказанные выше

сходится, следовательно, сходится и данный интеграл.

76Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b[, а в точке b не ограничена, т.е. имеет в этой точке бесконечный разрыв, т.е. lim f(x) = 1

зывается сходящимся, если указанный предел конечен и расходящимся в противном случае.

238

Аналогично определяется несобственный интеграл, если f(x) не ограни- чена в точке a (рис 2):

aA!a+0 A

Âэтом случае, когда функция претерпевает бесконечный разрыв во внутренней точке c 2]a; b[ (рис 3а), то несобственный интеграл Rab f(x)dx

определяется равенством